第三章 探究课2 f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦函数单调性，系统梳理和函数（同增/减则为增/减函数）、积函数（单调性不确定）及复合函数（同增异减）的规律，明确定义域条件（如复合函数内层值域为外层定义域子集），构建从基础运算到复合关系的学习支架。 资料通过定义法证明复合函数单调性培养推理能力（数学思维），以“同增异减”简洁概括体现数学语言，结合典例解析帮助学生用数学眼光观察函数关系。课中辅助教师清晰授课，课后例题助力学生巩固知识、查漏补缺。

　f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性 1．一般地，设函数f (x)，g(x)的定义域均为A． (1)若函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)＋g(x)在定义域A上为增(减)函数． (2)函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)g(x)在定义域A上的单调性不确定． 2．一般地，设函数f (x)的定义域为F，g(x)的定义域为G，且g(x)的值域为F的子集． (1)若f (x)，g(x)都是增(减)函数，则f (g(x))为增函数． (2)若f (x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f (g(x))为减函数． 上面的性质可简单概括为“同增异减”． 【典例】　探究复合函数的单调性 对于复合函数f (g(x))，设t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，且y＝f (t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么f (g(x))在(a，b)上的单调性如表所示： t＝g(x) y＝f (t) y＝f (g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 试证明：(1)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是增函数，则f (g(x))在(a，b)上是增函数． (2)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是减函数，则f (g(x))在(a，b)上是减函数． [证明]　(1)任取x1，x2∈(a，b)，x1<x2，因为t＝g(x)在(a，b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2)． 又y＝f (t)是增函数，所以有f (g(x1))<f (g(x2))，则根据增函数的定义知f (g(x))在(a，b)上是增函数． (2)任取x1，x2∈(a，b)，x1<x2，因为t＝g(x)在(a，b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2)． 又y＝f (t)是减函数， 所以有f (g(x1))>f (g(x2))， 则根据减函数的定义知f (g(x))在(a，b)上是减函数． 类似地，我们不难发现：当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f (t)是增函数时，f (g(x))在(a，b)上是减函数； 当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f (t)是减函数时，f (g(x))在(a，b)上是增函数． 1．求函数f (x)＝的单调区间． [解]　由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2， ∴函数f (x)的定义域为[－4，2]． 设y＝，u＝8－2x－x2． ∵二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)． ∴函数f (x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]． 2．已知函数f (x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f (1－x2)的单调递减区间． [解]　∵f (x)的定义域为[0，＋∞)， ∴1－x2≥0，即x2≤1，解得－1≤x≤1． 令u＝1－x2(u≥0)，则f (1－x2)＝f (u)． 当x∈[0，1]时，u＝1－x2单调递减，则f (1－x2)单调递增； 当x∈[－1，0]时，u＝1－x2单调递增，则f (1－x2)单调递减． 故f (1－x2)的单调递减区间为[－1，0]． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $