第三章 函数 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了函数模块核心内容，涵盖分段函数、“双曲”函数、“对勾”函数等特殊模型，以及函数性质、函数与方程不等式关系等专题，用例题解析呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型应用与性质综合”的分层练习设计，如用“对勾”函数解决车流量最大时红灯设置时间问题，培养数学思维与模型观念。例题解析注重通法指导，如分段函数“分段处理”技巧，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化应用，助力教师精准教学与学生自主复习。

类型1　特殊函数模型的应用 特殊函数是研究函数图象、性质的载体，本章涉及的特殊函数模型主要有一次函数、二次函数、反比例函数以及由这些函数衍生出的“含绝对值的函数”“分段函数”，还有形如“y＝(c≠0，a≠0)”和“y＝ax＋(a>0，b>0)”的函数模型． 1．分段函数 分段函数在函数中占有重要的地位，它是高考考查的热点内容．分段函数由于表达式复杂，涉及的知识点多，往往是学生的薄弱点．对有关分段函数的问题要注意以下两点： (1)分段函数的图象问题、求分段函数的解析式、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、解分段函数对应的方程或不等式等均可归纳为“分段处理”四个字． (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按照分段函数的含义及奇偶性的定义来处理． 【例1】　已知函数f (x)＝ (1)求f (f (－2))的值； (2)求f (a2＋1)(a∈R)的值； (3)当－4≤x<3时，求f (x)的值域． [解]　(1)因为f (－2)＝1－(－4)＝5， 所以f (f (－2))＝f (5)＝4－25＝－21． (2)因为a2＋1>0， 所以f (a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3． (3)当－4≤x<0时，因为f (x)＝1－2x， 所以1<f (x)≤9； 当x＝0时，f (0)＝2； 当0<x<3时，因为f (x)＝4－x2， 所以－5<f (x)<4， 故当－4≤x<3时，函数f (x)的值域是(－5，9]． 2．“双曲”函数 对形如y＝的函数，通过“分离常数法”总可以化成形如y＝m＋(t≠0)的函数，所以函数y＝的图象总可以由反比例函数y＝(t≠0)的图象经过平移变换得到，其形状与反比例函数图象的形状一样，故称为“双曲”函数． 【例2】　画出函数y＝的图象，写出函数的单调区间，并求出函数在[－1，2]上的值域． [解]　y＝＝＝－2－． 设f (x)＝，则y＝－2－＝f (x－3)－2， 根据图象的平移变换规律知，将函数f (x)＝的图象向右平移3个单位长度，得函数y＝－的图象，再向下平移2个单位长度，即得函数y＝－2－的图象，如图所示． 由图象知，其单调递增区间是(－∞，3)和(3，＋∞)．由于函数在[－1，2]上单调递增，且f (－1)＝－，f (2)＝1，故所求值域是． 3．“对勾”函数 形如f (x)＝ax＋(a>0，b>0)的函数的奇偶性、单调性、图象如下： (1)f (x)为奇函数． (2)函数f (x)在和上单调递减；在和上单调递增． (3)图象如图所示．这个函数的图象形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数． 【例3】　某县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间的函数关系为y＝，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T(秒)＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为________秒． 87.75　[先求车流量的最大值． y＝＝， 记f (v)＝v＋≥2＝80． 当且仅当v＝，即v＝40时取“＝”，此时，y取最大值，ymax＝＝3， y取最大值3时，红灯设置时间T＝325×＝87.75(秒)．] 类型2　函数的性质的综合应用 巧用奇偶性及单调性解不等式． (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)<f (x2)或f (x1)>f (x2)的形式． (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解． 【例4】　已知函数f (x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝． (1)求函数f (x)的解析式； (2)用定义证明f (x)在[－1，1]上是增函数； (3)若实数t满足不等式f (t－1)＋f (t)<0，求t的取值范围． [解]　(1)因为函数f (x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝＝0，b＝0， 又f (1)＝＝，所以a＝1，f (x)＝， 满足f (－x)＝－f (x)． 所以f (x)＝． (2)证明：设－1≤x1≤x2≤1， 则－1≤x1x2≤1，x2－x1>0， 所以f (x1)－f (x2)＝ ＝＝<0，即f (x1)<f (x2)， 所以f (x)在[－1，1]上是增函数． (3)不等式化为f (t－1)<－f (t)，又f (x)是奇函数，所以f (t－1)<f (－t)， 又f (x)是增函数且x∈[－1，1]， 所以 解得0≤t<． 所以t的取值范围是． 类型3　函数与方程、不等式之间的关系 函数与方程、不等式之间的关系，在高考中经常考查函数零点问题，这包括已知分段函数解析式求零点个数，和已知函数零点个数或已知方程解的个数，求参数的范围，考查的形式主要是选择题与填空题． 【例5】　(1)已知函数f (x)＝函数g(x)＝3－f (2－x)，则函数y＝f (x)－g(x)的零点个数为(　　) A．2 B．3　　　　 C．4 D．5 (2)已知函数f (x)＝其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． (1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)当x>2时，g(x)＝x－1，f (x)＝(x－2)2； 当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f (x)＝2－x； 当x<0时，g(x)＝3－x2，f (x)＝2＋x． 由于函数y＝f (x)－g(x)的零点个数就是方程f (x)－g(x)＝0的根的个数． 当x>2时，方程f (x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)； 当0≤x≤2时，方程f (x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解； 当x<0时，方程f (x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去)． 所以函数y＝f (x)－g(x)的零点个数为2． (2)当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2． (ⅰ)当4m－m2≥m，且m>0，即0<m≤3时，函数f (x)的图象如图①，方程f (x)＝b不可能有三个不同的实数根； (ⅱ)当4m－m2<m，即m>3时，函数f (x)的图象如图②，即当存在实数b使方程f (x)＝b有三个不同的实数根时，m的取值范围为(3，＋∞)．] 类型4　函数的应用 1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后转化成具体问题，作出解答． 2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键． 【例6】　小明将上周每天骑车上学路上的情况用图象表示： A　　　　　　B　　　　　　　C D　　　　　　E 很遗憾图象的先后次序不小心被打乱了，还好小明同时用文字进行了记录： 周一：匀速骑车前进； 周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次； 周三：骑车出门晚了，越骑越快； 周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿； 周五：…… (1)请将图象的编号填入表格中对应日期的下方． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 图象编号 (2)本周小明打算跑步上学，多消耗点热量．已知单位时间消耗的热量y(单位：卡/时)与跑步的平均速度v(单位：千米/时)满足函数y＝－v2＋350v－．小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗多少热量？ [解]　(1)根据实际情况，填表如下： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 图象编号 E A C B D (2)由题意可得，上学用时t＝时，设消耗的热量为S，则S＝yt＝＝－25＋525≤－25×2＋525＝－25×16＋525＝125，当且仅当v＝，即v＝8时，S取得最大值125，故他从家跑步到学校最多可以消耗热量125卡． 章末综合测评(三)　函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，1]　　　　 B．(－∞，1) C．(－∞，0)∪(0，1] D．(－∞，0)∪(0，1) C　[要使函数有意义，需满足即x≤1且x≠0．故选C．] 2．若f (x)＝(x＋a＋1)(x2＋a－1)为奇函数，则a＝(　　) A．1或－1　　　B．1　　　 C．0　　　D．－1 D　[∵f (x)＝(x＋a＋1)(x2＋a－1)＝x3＋(a－1)x＋(a＋1)x2＋(a2－1)，f (－x)＝－x3－(a－1)x＋(a＋1)x2＋(a2－1)， ∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， ∴∴a＝－1．故选D．] 3．已知函数f (x)＝则f的值为(　　) A． B．－ C． D．18 C　[由题意得f (3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f＝f＝1－＝．] 4．已知f＝2x－5，且f (a)＝6，则a等于(　　) A．－ B． C． D．－ B　[令t＝x－1，则x＝2(t＋1)，进而f (t)＝4(t＋1)－5＝4t－1，由f (a)＝6，得4a－1＝6，解得a＝．] 5．函数f (x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． B　[因为f＝＋4×－1＝＞0，f (0)＝－1＜0，所以f (x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为． 故选B．] 6．函数f (x)＝－的图象大致是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D A　[f (x)＝－是奇函数，图象关于原点对称，由此排除选项C．又x>0时，f (x)<0，排除选项B．当x>0时，x＋≥2，∴0<＝， ∴－≤－<0， ∴排除选项D．故选A．] 7．若函数f (x)＝在R上为减函数，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D．∅ A　[由题意可得解得<a≤，所以实数a的取值范围为． 故选A．] 8．已知定义域为R的函数f (x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则(　　) A．f (2)>f (3) B．f (2)>f (5) C．f (3)>f (5) D．f (3)>f (6) D　[∵y＝f (x＋4)为偶函数， ∴f (－x＋4)＝f (x＋4)． 令x＝2，得f (2)＝f (－2＋4)＝f (2＋4)＝f (6)， 同理，f (3)＝f (5)．又知f (x)在(4，＋∞)上为减函数， ∵5<6， ∴f (5)>f (6)， ∴f (2)<f (3)，f (2)＝f (6)<f (5)，f (3)＝f (5)>f (6)．故选D．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图②③所示．则下列说法正确的是(　　) A．图②的建议为减少运营成本 B．图②的建议可能是提高票价 C．图③的建议为减少运营成本 D．图③的建议可能是提高票价 AD　[根据题意和题图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由题图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得AD正确，BC错误．] 10．已知函数f (x)＝的最小值为f (1)，则a的可能取值是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 AB　[函数y＝x＋－3a在x∈(1，3)上单调递减，在x∈(3，＋∞)上单调递增， 故当x>1时，f (x)min＝f (3)＝6－3a． y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a， 当a≥1时，当x≤1时，f (x)min＝f (1)＝3－2a， 要想函数的最小值为f (1)，只需f (3)≥f (1)，6－3a≥3－2a，a≤3，即1≤a≤3， 显然选项AB符合． 当a<1时，当x≤1时，f (x)min＝f (a)＝2－a2，显然不是f (1)． 综上所述，只有选项AB符合条件，故选AB．] 11．设函数f (x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f (x)＋f (2－x)＝2的函数可以是(　　) A．f (x)＝2－x B．f (x)＝(x－1)2 C．f (x)＝ D．f (x)＝(x－2)3 AC　[(法一)A项，f (x)＋f (2－x)＝2－x＋[2－(2－x)]＝2为定值，故A项正确；B项，f (x)＋f (2－x)＝2(x－1)2不为定值，故B项错误；C项，f (x)＋f (2－x)＝＝＝2，符合题意，故C项正确；D项，f (x)＋f (2－x)＝(x－2)3－x3不为定值，故D项不正确． (法二)因为任意x∈A恒有f (x)＋f (2－x)＝2，所以函数的图象关于点(1，1)中心对称，函数f (x)＝2－x的图象是过点(1，1)的直线，符合题意；函数f (x)＝＝1＋的图象关于点(1，1)中心对称，符合题意；B，D中两个函数的图象都不关于点(1，1)中心对称，不符合题意．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f (x)在R上为奇函数，且x>0时，f (x)＝x3＋x2＋1，则当x<0时，f (x)＝________． x3－x2－1　[设x<0，则－x>0，故f (－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1＝－x3＋x2＋1，由于函数f (x)在R上为奇函数， 故f (－x)＝－f (x)，所以f (x)＝x3－x2－1．] 13．二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 3 4 y －12 m 0 m 则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________． (－1，3)　[对于二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c，由表格可得f (－2)＝f (4)，则二次函数的对称轴为直线x＝－＝＝1，则b＝－2a， 又结合b＝－2a，解得a＝－1，b＝2，c＝3， 所以不等式ax2＋bx＋c>0即为不等式－x2＋2x＋3>0，(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，则不等式的解集为(－1，3)．] 14．已知函数f (x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R． (1)若函数f (x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________； (2)若函数f (x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为________．(本小题第一空2分，第二空3分) (1)(1，＋∞)　(2)[－8，0]　[(1)∵f (x)的图象与x轴无交点， ∴Δ＝16－4(a＋3)<0， ∴a>1， 即实数a的取值范围为(1，＋∞)． (2)∵函数f (x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上， ∴f (x)在[－1，1]上单调递减， ∴要使f (x)在[－1，1]上存在零点， 需满足即 ∴－8≤a≤0， 即实数a的取值范围为[－8，0]．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f (x)＝． (1)求函数f (x)在R上的解析式； (2)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． [解]　(1)根据题意，f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0， 设x>0，则－x<0，则f (－x)＝， 又由f (x)为R上的奇函数， 则f (x)＝－f (－x)＝－， 则f (x)＝ (2)函数f (x)在(0，＋∞)上为增函数． 证明：根据题意，设0<x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝＝＝， 又由0<x1<x2， 则x1－x2<0，且1＋x1>0，1＋x2>0； 则f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)， 故函数f (x)在(0，＋∞)上为增函数． 16．(15分)已知函数f (x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a． (1)若函数f (x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围； (2)求a的值，使f (x)在区间[－5，5]上的最小值为－1． [解]　令x－1＝t，则x＝t＋1，f (t)＝(t＋1)2＋(2a－2)(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f (x)＝x2＋2ax＋2． (1)因为f (x)图象的对称轴为x＝－a， 由题意知－a≤－5或－a≥5， 解得a≥5或a≤－5． 故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)． (2)当a>5时，f (x)min＝f (－5)＝27－10a＝－1， 解得a＝(舍去)； 当－5≤a≤5时，f (x)min＝f (－a)＝－a2＋2＝－1， 解得a＝±； 当a<－5时，f (x)min＝f (5)＝27＋10a＝－1， 解得a＝－(舍去)． 综上，a＝±． 17．(15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图①中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系． (1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f (t)，图②表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)； (2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的纯收益最大？ [解]　(1)由题图①可得，当0<t≤200时，f (t)＝t＋300＝300－t； 当200<t≤300时，f (t)＝(t－300)＋300＝2t－300，即题图①表示的市场售价与时间的函数关系式为f (t)＝ 由题图②，设对应的二次函数解析式为g(t)＝a(t－150)2＋100， 又该函数过点(250，150)， 所以150＝a(250－150)2＋100， 解得a＝， 则g(t)＝(t－150)2＋100，0<t≤300． (2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)， 则由题意，得h(t)＝f (t)－g(t)， 即h(t)＝ 当0<t≤200时，h(t)＝－t2＋t＋ ＝－(t－50)2＋100， 当t＝50时，h(t)取得最大值100； 当200<t≤300时，h(t)＝－t2＋t－ ＝－(t－350)2＋100， 当t＝300时，h(t)取得最大值87.5． 综上，当t＝50时，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大． 18．(17分)函数f (x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时，f (x)<0． (1)证明：f (x)是奇函数； (2)证明：f (x)在R上是减函数； (3)若f (3)＝－1，f (3x＋2)＋f (x－15)－5<0，求x的取值范围． [解]　(1)证明：由f (x＋y)＝f (x)＋f (y)， 令y＝－x，得f (x＋(－x))＝f (x)＋f (－x)， 所以f (x)＋f (－x)＝f (0)． 又f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 所以f (0)＝0． 从而有f (x)＋f (－x)＝0． 所以f (－x)＝－f (x)． 所以f (x)是奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f (x1＋(x2－x1))＝－x1)． 由x1<x2，所以x2－x1>0， 所以f (x2－x1)<0． 所以－f (x2－x1)>0， 即f (x1)>f (x2)， 从而f (x)在R上是减函数． (3)因为f (3)＝－1，函数f (x)为奇函数， 所以f (－3)＝1， 又5＝5f (－3)＝f (－15)， 所以f (3x＋2)＋f (x－15)<5＝f (－15)， 由f (x＋y)＝f (x)＋f (y)得f (4x－13)<f (－15)， 由函数f (x)单调递减得4x－13>－15， 解得x>－， 故x的取值范围为． 19．(17分)在①a＝－2；②a＝1；③a＝5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 已知函数f (x)＝(x－a)2－3|x－1|－b，且________． (1)判断f (x)的单调性； (2)若f (x)的图象与x轴有两个交点，求实数b的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． [解]　f (x)＝(x－a)2－3|x－1|－b ＝ 选择①． (1)当x≥1时，f (x)的对称轴为x＝－≤1， 所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增． 当x＜1时，f (x)的对称轴为x＝－<1， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，f (x)在上单调递减， 在上单调递增． (2)由(1)知，f (x)min＝f＝－b－，f (1)＝9－b， 因为f (x)的图象与x轴有两个交点，所以f (x)min＜0， 即－b－＜0，所以实数b的取值范围是． 选择②． (1)当x≥1时，因为f (x)的对称轴为x＝＞1， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增． 当x＜1时，因为f (x)的对称轴为x＝－＜1， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，f (x)在上单调递减，在上单调递增． (2)由(1)知，f＝－b－，f＝－b－＝f，f (1)＝－b， 因为f (x)的图象与x轴有两个交点，所以f＝f＝0或f (1)＜0． 由－b－＝0或f (1)＝－b＜0，得b＝－或b＞0，所以实数b的取值范围是∪(0，＋∞)． 选择③． (1)当x≥1时，f (x)的对称轴为x＝＞1， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增． 当x＜1时，f (x)的对称轴为x＝＞1， 所以f (x)在(－∞，1)上单调递减． 综上所述，f (x)在上单调递减，在上单调递增． (2)由(1)知，f (x)min＝f＝－b－． 因为f (x)的图象与x轴有两个交点，所以f (x)min＜0． 由－b－＜0，得b＞－， 所以实数b的取值范围是． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $