学案36 函数 章末总结-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

8.解：(1)y=-x2十18x一25=-(x-9)2十56，当x=9时， a(x4-x3) ymx=56,故这台机器运转9年时，可获得的总利润最大，最 =(x-a)(x4-a) 大总利润为56万元. 因为a>0,x4-x3>0, (2w-+185-18-(+）<18-2v历=8 所以要使f(x3)-f(x4)>0,只需(x3-a)(x4-a)>0恒成 x 立，所以a≤1. 当且仅当x=5时，等号成立，故这台机器运转5年时，可获 综上所述，a的取值范围是(0,1]. 得的年平均利润最大，最大年平均利润为8万元 跟踪训练3解：(1)f(x)是奇函数， .f(-x)=-f(x), 学案36章末总结 mx+2=mz2+2 -3x+n -3x-n 1-x>0, 【例题1】(1)D(2)A[(1)由题意得， 比较得n=一n,解得n=0. 3x-1≠0， 部得<1温行 又2)-号细-，解得阳-2 ∴.实数m和n的值分别是2和0. (2)设u=x+1,由一2≤x≤3，得一1≤x十1≤4，所以y= f(u)的定义域为[一1,4].再由一1≤2x-1≤4， (2)由（①）知f(x)=2+2_2z+2 3x 33x 新得6低≤名即函数y=2:-D的定又域光，]，门 任取x1,x2∈[-2，-1]，且x1≠x2, 记y1=f(x1),y2=f(x2), 跟踪训练1D[根据题意可得函数f(x+1)的定义域为 [-2,1],可知x+1∈[-1,2]， 则△yf)-r()xx21》 △x x1-x2 x1-x2 即f(x)的定义域为[-1,2]， 所以g(c)-f需满足{厂1x≤2， =2.1x-1 3 x1x2 √2x+1 2x+1>0, 'x1,x2∈[-2，-1]且x1≠x2, 解得-号<x<2, 5>11-1>02>0, 即g)的定义城为(-合，2]故选D] 函数f(x)在[-2，-1]上为增函数， 【例题2】B[令t=1-x,则x=1-t,且x≠0，则t≠1， ∴fx)m=f-1D-专fxm-f-2》=-号 3 可得f)=1--)1 【例题4】解：(1)函数的定义域为R,关于原点对称， 1-)2a-1)-1u≠1)， f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x1. 1 则f(一x)=f(x), 所以fx)=a=1D-1x≠1).故选B] 所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称. 跟踪训练22巨[因为f(x)+2f()=5x+1 (x2-2x=(x-1)2-1,x≥0， (2)f(x)=x2-2|x|= x2+2x=(x+1)2-1,x<0. 所以f(）+2fx)=4红+， 画出函数图象如图所示， 两式联立得f)=2+x,又f（红)=名十x≥22， 当且权当2=工(x>0),即工=V2时取等号.所以f(x)的最 小值为2√2.] 0 【例题3】解：(1)证明：任取x1,x2∈(-∞，-2)，且x1<x2, ),年z 2(x1-x2) 因为(x1+2)(x2十2)>0，x1一x2<0, 根据图象知，函数f(x)的最小值是一1.单调递增区间是 所以f(x1)<f(x2), [-1,0],[1,+∞)；单调递减区间是(-∞，-1]，[0,1]. 所以f(x)在（一∞，一2）内单调递增. 跟踪训练4D[因为a>b>c且a十b十c=0,所以a>0, (2)任取x3,x4∈(1，十∞)，且x3<x4,则 c<0,令f(x)=ax2+bx十c,f(1)=0,则可知函数图象开口 fx,)-f(x4)=g-x4 向上，排除A和C,然后根据f(0)=c<0,可知函数图象与 x3-a xs-a y轴的交点在x轴下方.故选D.门] 391■人教B版数学必修第一册 课笔 学案36章末总结 网络构建 定义域 函数的概念 对应关系 函数的概念与性质 值域☐ 函数的单调性 函数的最值 性质 函数的奇偶性 函数的零点 函数与方程、不等 二次函数的零点及其与对应方程、不等式 式之间的关系 解集之间的关系 数 零点的存在性及其近似值的求法 一次函数模型的应用 函数的应用（一） 二次函数模型的应用 分段函数模型与对勾函数模型的应用 一 、函数的定义域 (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x)的定义域 【例题1】(1)函数f(x)= 3x+(3x-1)°的 √1-x 应由a≤g(x)≤b解出. 定义域是 ②若f(g(x)的定义域为[a,b],则f(x)的定义 A( 域为g(x)在[a,b]上的值域. 跟踪训练1函数f(x+1)的定义域为[-2,1)，函 成() 数g(x)= f(x) ,则g(x)的定义域为() W/2x+1 c(-3》 D.(-,3u(g C.[-2,1] n(-22 (2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2， 二、函数的解析式 3],则y=f(2x-1)的定义域是 ( 【例题】已知厨数f1-)-子（红≠0），则 「。5 A.0,2 B.C-1,4] f(x)= 1 C.[-5,5] D.[-3,7] x-1)2-1(x≠0) A.1 :「方法总结」求函数定义域的类型与相应的方法 1 a-1)-1(x≠1) B.- (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式 4 有意义的自变量的取值集合. C.a-1)-1x≠o） 、 (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有 4 意义，还应考虑使实际问题有意义. D.x-1) -1(x≠1) 1198 章未总结 学案36 「方法总结」求函数解析式的题型与相应的 「方法总结」函数的单调性和奇偶性 解法 (1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数 课 (I)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析 f(x)在区间I上单调递增：任取x1,x2∈I,且x1≠ 记 式，使用换元法或配凑法， (2)已知函数的类型（往往是一次函数或二次函 x,x,)·[fx)-f,)]>0,fx)-fz) x1一x2 数)，使用待定系数法· >0等. (2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值 (3)含fx)与f(-x)或f(x)与f(),使用解 f(a),f(一a)的转化，注意其图象的对称性的 方程组法 应用. (4)已知一个区间的解析式，求其对称区间的解析 式，可用奇偶性转移法. 跟踪训练3已知函数f(x)=+2 3x+n 奇函 跟踪训练2已知函数f(x)的定义域为 数，且/②=号 0,+∞)，且满足f(x)+2f()-5x+4,则 (1)求实数m和n的值； f(x)的最小值为 (2)求函数f(x)在区间[一2，一1]上的最值. 三、函数的单调性和奇偶性 【例题3】巳知f)=。 (x≠a). (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞，-2)内单 调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减， 求a的取值范围. 9910 人教B版数学必修第一册 四、函数图象的画法及应用 「方法总结」作函数图象的方法 课 【例题4】对于函数f(x)=x2-2x. (1)描点法 求定义域；化简；列表、描点、连线 记 (1)判断其奇偶性，并指出函数图象的对称性； (2)变换法 熟知函数的图象的平移、伸缩、对 (2)画出函数的图象，并指出函数的单调区间和 称、翻转. 最小值. ①平移：y=f(x) 左加右减 y=f(x土h); yv=f(x)上加下减 y=f(x)士k(其中h>0,k>0). ②对称：y=f(c)关于y轴对称 =f(-x); y-f(x)关于x轴对称 y=-f(x); y=f(x)关于原点对称 y=-f(-x). 跟踪训练4已知函数y=ax2十bx十c,如果a> b>c且a十b+c=0,则它的图象可能是( 个， 课后反思 11100