第二章 探究课1 不等式性质在现实生活中的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦不等式性质的现实应用，通过“分式分子分母同增变大、分子分母分别相加介于中间、分子不变分母变大变小”三个核心性质，以糖水浓度问题（加糖变甜、混合浓度介于两者、加水变淡）为典例构建认知支架，延伸至建筑学采光问题的实际应用。 资料以糖水浓度、建筑学采光等生活情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过作差比较法推理证明不等关系培养数学思维，用符号语言表达规律落实数学语言。课中助教师直观呈现抽象性质，课后帮助学生通过实例巩固理解，弥补应用盲点。

　不等式性质在现实生活中的应用 1．如果一个分式(b>a>0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大． 2．两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间． 3．一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小． 【典例】　下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)向一杯糖水里加水，糖水变淡了． [提示]　(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式＞(其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝＝． ∵a，b，m为正实数，且a＜b， ∴b＋m＞0，b－a＞0， ∴＞0，即＞． (2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且＜， 求证：＜＜(其中b＞a＞0，d＞c＞0)． 证明：∵＜，且b＞a＞0，d＞c＞0， ∴ad＜bc， 即bc－ad＞0， ＝＝＜0， 即＜＝＝＞0，即＜． ∴＜＜． (3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：＞(其中b＞a＞0，m＞0)． 证明：＝＝＞0， ∴＞． 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问：同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？ [解]　设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式” 可得：＜． 故住宅的采光条件变好了． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $