3.2 第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦函数零点及其与方程、不等式解集的关系，从函数零点概念切入，梳理其与方程根、函数图象交点横坐标的联系，通过表格对比三个“二次”（二次函数、方程、不等式）的关系，延伸至高次不等式的穿根法，构建从基础到应用的学习支架。 资料以“小明渡河”情境引入激发兴趣，结合思考辨析（如零点是否为点）和分层例题（二次不等式、高次不等式求解）培养数学思维，利用图象法和表格直观呈现知识，助力学生用数学眼光观察、用数学语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后分层作业与跟进训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 学习任务 1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(数学抽象) 2．会求函数的零点，能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在情况及求一元二次不等式的解集．(数学运算) 路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明一定曾渡过河？ ①　　　　　　　② 知识点1　函数的零点 (1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f (x)在实数α处的函数值等于零，即f (α)＝0，则称α为函数y＝f (x)的零点． (2)三者之间的关系： (1)函数F (x)＝f (x)－g(x)的零点就是方程f (x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f (x)与y2＝g(x)的图象交点的横坐标． (2)如果方程f (x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f (x)的二阶零点(二重零点)．如x＝2就是函数f (x)＝(x－2)2的二阶零点． (1)函数的零点是一个点吗？ (2)任何函数都有零点吗？ [提示]　(1)函数的零点是一个实数，而不是一个点． (2)并不是任何函数都有零点，如y＝1，y＝x2＋1就没有零点． 知识点2　三个“二次”的关系 1．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 画函数 y＝ax2＋bx ＋c(a＞0) 的图象 不等式的解集 y＞0 |x＜x1或x＞x2} R y＜0 {x {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2．图象法解一元二次不等式的步骤 (1)解一元二次不等式对应的一元二次方程． (2)求出其对应的二次函数的零点． (3)画出二次函数的图象． (4)结合图象写出一元二次不等式的解集． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　　) (2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点． (　　) (3)二次函数f (x)＝x2＋2x＋1－a2(a≠0)不一定存在零点． (　　) (4)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　) (5)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．函数y＝1＋的零点是(　　) A．(－2，0)　　 B．－2 C．x＝－1 D．(0，－2) B　[由y＝1＋＝0，得x＝－2，故选B．] 3．不等式－2x2＋5x－2>0的解集为________． 　[(法一)原不等式可化为2x2－5x＋2<0(把二次项系数化为正数)，则(2x－1)(x－2)<0，解得<x<2． (法二)方程－2x2＋5x－2＝0的根为x1＝，x2＝2，因为函数f (x)＝－2x2＋5x－2的图象开口向下(二次项系数是负数)，所以不等式－2x2＋5x－2>0的解集为．] 类型1　函数的零点及求法 【例1】　求下列函数的零点． (1)y＝－x2＋2x＋3(x>0)； (2)y＝－x4＋x2． [解]　(1)由－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3． 因为x>0，所以y＝－x2＋2x＋3(x>0)的零点是3． (2)由－x4＋x2＝0，得－x2(x＋1)(x－1)＝0． 解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1． 故y＝－x4＋x2的零点是－1，0，1． 　函数零点的求法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f (x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [跟进训练] 1．(1)若函数f (x)＝，求函数g(x)＝f (4x)－x的零点． (2)若函数f (x)＝2x2－ax＋3的一个零点为，求f (1)． [解]　(1)由题意可得g(x)＝f (4x)－x＝－x．令g(x)＝0，即－x＝0，解得x＝，则函数g(x)的零点是． (2)因为函数f (x)＝2x2－ax＋3的一个零点为， 所以x＝是方程2x2－ax＋3＝0的一个根， 则2×a＋3＝0，解得a＝5， 所以f (x)＝2x2－5x＋3， 则f (1)＝2－5＋3＝0． 类型2　二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 【例2】　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0． [解]　(1)设函数f (x)＝2x2＋5x－3， 令f (x)＝0，得2x2＋5x－3＝0， 即(2x－1)(x＋3)＝0， 从而x1＝－3，x2＝， 所以－3，是函数的零点， 所以函数f (x)的图象如图①， 与x轴相交于(－3，0)，， 又因为函数f (x)图象开口向上， 所以原不等式的解集为． (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0． Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0， 得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象， 如图②所示，由图可得原不等式的解集为． (3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－． 作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为． (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0， 所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅． 　求一元二次不等式的解集的步骤 [跟进训练] 2．解不等式： (1)2x2－3x－2<0； (2)x2－2x＋2>0． [解]　(1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2．因为函数是开口向上的抛物线，如图①，所以不等式的解集是． (2)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线，如图②，所以原不等式的解集为R． 类型3　用函数零点法求一元高次不等式的解集 【例3】　【链接教材P120例5】 求函数f (x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f (x)≥0和f (x)＜0的解集． [解]　函数的零点为－3，1，2． 函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如表所示． x (－∞，－3) (－3，1) (1，2) (2，＋∞) f (x) － ＋ － ＋ 由此可以画出此函数的示意图如图． 由图可知，f (x)≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞)，f (x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1，2)． 【教材原题P120例5】 例5　求函数f (x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f (x)>0和f (x)≤0的解集． [解]　函数零点为－2，－1，1． 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示． x (－∞，－2) (－2，－1) (－1，1) (1，＋∞) f (x) － ＋ － ＋ 由此可以作出函数图象的示意图，如图3－2－5所示． 由图可知f (x)>0的解集为 (－2，－1)∪(1，＋∞)；f (x)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，1]． 　1．穿根法解高次不等式 穿根法实质上就是求根法的深化与提升，穿根的过程实质就是画函数图象的过程．用该方法解高次不等式时，要注意三点： 一是需要把最高 次幂的系数化为正数； 二是穿根时先在数轴上把根标出来，然后从数轴的右上方开始依次穿过； 三是穿根时，偶数次重根要穿而不过，奇数次重根则要穿过． 2．穿根法解分式不等式的步骤 移项—通分—化成基本形式(因式的积的形式且x的系数为1)—穿根． [跟进训练] 3．求不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0的解集． [解]　原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0，解方程(x＋4)(x＋5)2(x－2)3＝0得方程的根为x1＝－4，x2＝－5，x3＝2，在数轴上将方程的三个根按从小到大的顺序标出，再用曲线从右上方开始穿根，其解集如图所示的阴影部分， 所以原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}． 4．求函数f (x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f (x)≥0和f (x)＜0的解集． [解]　函数的零点为－2，1，2． 函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示． x (－∞，－2) (－2，1) (1，2) (2，＋∞) f (x) ＋ － ＋ － 由此可以画出此函数的示意图如图． 由图可知，f (x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1，2]，f (x)＜0的解集为(－2，1)∪(2，＋∞)． 1．(教材P125习题3－2AT1(1)改编)函数y＝4x－2的零点是(　　) A．2 B．(－2，0) C． D　[令4x－2＝0，解得x＝，故函数y＝4x－2的零点是．] 2．已知函数f (x)＝则函数f (x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[只要画出分段函数的图象(图略)，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．] 3．不等式x(3－x)<0的解集为________． (－∞，0)∪(3，＋∞)　[原不等式可化为x(x－3)>0，解不等式可得x<0或x>3，所以不等式的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．] 4．不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集是________． {x|－3≤x≤－1或x≥3}　[原不等式可化为(x＋1)(x＋3)(x－3)≥0， 则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3． 如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过．由图可知不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集为{x|－3≤x≤－1或x≥3}．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何理解二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系？ [提示]　(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f (x)＝ax2＋bx＋c的零点． (2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f (x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f (x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合． 2．图象法解一元二次不等式分哪几步？ [提示]　(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程． (2)求出其对应的二次函数的零点． (3)画出二次函数的图象． (4)结合图象写出一元二次不等式的解集． 3．解一元高次不等式的方法是什么？ [提示]　穿根法：解简单的一元高次不等式常用穿根法． 课时分层作业(二十四)　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一、选择题 1．下列图象对应的函数中没有零点的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D A　[函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察题干中的四个图象，可知选项A中的图象对应的函数没有零点．] 2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A．[－4，4] B．(－4，4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) A　[由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0， 所以－4≤a≤4． 故选A．] 3．(多选)函数f (x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，x2的关系中正确的是(　　) A．x1<2且2<x2<5 B．x1<2且x2>5 C．2<x1<5且x2>5 D．x1＋x2＝7 BD　[y＝(x－2)(x－5)的图象向下移1个单位可得f (x)＝(x－2)(x－5)－1的图象，如图所示，易知x1<2且x2>5，x1＋x2＝7，故选BD． ] 4．(多选)下列各选项中能使不等式<0成立的是(　　) A．{x|－1<x<2}　 B．{x|1<x<3} C．{x|2<x<3} D．{x|3<x<4} AC　[原不等式⇔(x－2)2(x＋1)(x－3)<0， 所以－1<x<3且x≠2．] 二、填空题 5．若函数f (x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________． －，－　[依题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－和－．] 6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a＝________． 0或－　[当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点满足题意． 当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数． 因为y＝ax2－x－1只有一个零点， 所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a＝0，解得a＝－．综上，a＝0或－．] 7．若函数f (x)＝|x2－4x|－a有四个不同的零点，则实数a的取值范围是________． (0，4)　[令|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象如图所示，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4． ] 三、解答题 8．解下列不等式： (1)－2x2＋3x－2<0； (2)－x2＋7x>6； (3)2x3－x2－15x>0． [解]　(1)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R． (2)原不等式可化为x2－7x＋6<0． 解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6． 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知， 原不等式的解集为{x|1<x<6}． (3)原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)>0，解方程x(2x＋5)(x－3)＝0，并且在数轴上把方程x(2x＋5)(x－3)＝0的三个根x1＝0，x2＝－，x3＝3顺次标上，然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图的阴影部分． 所以原不等式的解集为． 9．(多选)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－2的零点是(　　) A． B． C．－ D．2 AB　[由题意得， 令函数g(x)＝f (x)－2＝0， 即f (x)＝2， 当x≤1时，令3－2x＝2， 解得x＝； 当x>1时，令x2＝2， 解得x＝或x＝－(舍去)， 所以函数g(x)的零点为．] 10．函数f (x)＝x2－＋1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[(法一)函数定义域为{x|x≠0}． 令x2－＋1＝0， ∴＝0， ∴x3＋x－2＝0， ∴x3－1＋x－1＝0， ∴(x－1)(x2＋x＋1)＋x－1＝0， ∴(x－1)(x2＋x＋2)＝0， ∴x＝1， ∴零点为1．因此零点个数为1． (法二)令x2－＋1＝0， ∴＝x2＋1，∴函数零点个数即为函数y＝与y＝x2＋1图象的交点个数，在同一坐标系中作出函数y＝和y＝x2＋1的大致图象，如图所示．由于两个函数的图象只有一个交点，故函数的零点个数为1．] 11．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为________． 　[由题意知a<0，且－＝＋2，＝×2，即＝－＝－，所以cx2＋bx＋a<0⇒x2＋x＋1>0⇒－x2－x＋1>0⇒2x2＋5x－3<0⇒－3<x<．] 12．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________． 　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)， ∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1， 即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立， 即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立， ∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0， 解得－＜a＜．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $