3.2函数与方程、不等式之间的关系 第1课时课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读教材本节内容，回答下列问题： 新知探究 问题2　已知函数f（x）＝x－1，我们知道，这个函数的定义域为______，而且可以求出，方程f（x）＝0的解集为______，不等式f（x）＞0的解集为_______，不等式f（x）＜0的解集为_______，在下图中作出函数f（x）＝x－1的图像，总结上述方 程、不等式的解集与函数定义域、函数 图像之间的关系． R {1} {x|x＞1} {x|x＜1} O x y 1 1 新知探究 形成定义： 由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合．具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若 显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D＝A∪B∪C． A＝{x∈D|f（x）＜0}， B＝{x∈D|f（x）＝0}， C＝{x∈D|f（x）＞0}， 新知探究 形成定义： 一般地，如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数y＝f（x）的零点．上述集合B就是函数所有零点组成的集合． 不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集． 归纳小结 问题3　如何认识函数零点？ 新知探究 函数零点 （1）函数的零点是一个实数，是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个二维有序数组，而是一维数轴上的点的坐标．函数的零点可以与函数的最值点进行类比，两者都是一个数． （2）函数y＝f（x）有零点函数y＝f（x）的图像与x轴有交点方程f（x）＝0有实数根． （3）不是所有函数都有零点，例如函数f（x）＝　就没有零点． 新知探究 函数零点 （4）从函数的图像上能方便地看出函数的零点，但是得到函数的图像并不是一件容易的事． （5）知道函数的零点之后，如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息，就能作出这个函数图像的示意图． 归纳小结 问题4　到目前为止，求函数零点的方法主要有哪些？ 新知探究 求函数零点的方法： （1）直接从函数解析式所对应的方程中求解； （2）直接从函数图像观察； （3）如果函数f（x）能够拆成两个函数差的形式，即f（x）＝g（x）－h（x ），那么函数f（x）的零点可以利用函数y＝ g（x ）与y＝ h（x ）的图像的交点得到． 整体概览 问题5　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系是什么？ 函数的零点就是对应方程的实根，也是相应不等式解集的端点． 新知探究 例1　如下图所示是函数y＝f（x）的图像，分别写出f（x）＝0， f（x）＞0，f（x）≤0的解集． 解： 由图可知，f（x）＝0的解集为{－5，－3，－1，2，4，6}． f（x）＞0的解集为（－5，－3）∪（2，4）∪（4，6）． f（x）≤0的解集为[－6，－5] ∪[－3，2] ． 12 依照零点的定义可知，求函数y＝f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）＝0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）＞0等不等式的解集． 新知探究 注意：写解答时，可以使用集合的并集符号，而且在表示集合时，要选择合适的集合表示方式． 新知探究 例2　求下列函数的零点： 解： （1）因为x3－2x2－x＋2＝ x2（x－2）－（x－2） ＝（x－2）（x2 －1）＝（x－2）（x－1）（x＋1） 所以函数的零点为－1，1，2． （1）y＝x3－2x2－x＋2；　（2） （2）当x＜1时，由（x－1）（x＋4）＝0得x＝－4； 当x≥1时，由－（x－1）（x－3）＝0得x＝1或x＝3． 由此可知该函数的零点为－4，1，3． 14 新知探究 例3　利用函数求下列不等式的解集： 解： 设f（x）＝x2－x－6，令f（x）＝0，得 x2－x－6＝0， 即（x－3）（x＋2）＝0，从而x＝3或x＝－2． （1）x2－x－6＜0；（2）x2－x－6≥0． 因此3和－2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交于（3，0）和（－2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示． 15 解： 新知探究 例3　利用函数求下列不等式的解集： 由图可知： （1）所求解集为（－2，3）； （1）x2－x－6＜0；（2）x2－x－6≥0． （2）所求解集为（－∞，－2］∪［3，＋∞）． 16 利用二次函数的图像来求解一元二次不等式，一是为了巩固一元二次不等式的解法，二是为了说明函数与方程、不等式之间的关系． 新