1.2.3 第2课时 充要条件-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“充要条件”核心知识点，在充分条件、必要条件基础上，通过生活情境引入、概念辨析、例题解析（判断、应用、证明）构建逻辑体系，提供从情境到理论再到实践的学习支架。 以“主人请客”生活情境激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的意识，结合电路图、集合等实例解析，强化逻辑推理能力。分层作业设计兼顾不同层次需求，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　充要条件 学习任务 1．理解充要条件的概念．(数学抽象) 2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(逻辑推理) 3．会进行简单的充要条件的证明．(逻辑推理) 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“我临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，站起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 问题　请你用逻辑学原理解释二人离去的原因． 知识点　充要条件 1．充要条件的概念 一般地，如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 2．充要条件的判断 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q． (2)①p是q的充要条件，说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q，说明q是条件，p是结论． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． (　　) (2)若p⇏q和q⇏p有一个成立，则p一定不是q的充要条件． (　　) (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ [提示]　(1)当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确． (2)若p⇏q或q⇏p，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确． (3)因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． 2．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________． {a|0≤a≤2}　[A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2．] 类型1　充要条件的判断 【例1】　(1)(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D (2)指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选择)． ①p：|x|<3，q：x<3； ②p：ac>bc，q：a>b； ③p：两直线平行，q：同位角相等； ④p：设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，q：a＝2． (1)BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．] (2)[解]　①|x|<3⇒－3<x<3，x<3⇏|x|<3， 所以p是q的充分不必要条件． ②ac>bc⇏a>b，a>b⇏ac>bc， 所以p是q的既不充分也不必要条件． ③两直线平行⇒同位角相等，同位角相等⇒两直线平行，所以p是q的充要条件． ④A∩B＝{4}，则4∈A，a2＝4，a＝2或a＝－2，充分性不满足； a＝2时，A＝{1，4，－2}，因此有A∩B＝{4}，必要性满足，因此p是q的必要不充分条件． 　判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． (4)等价法：将命题转化为另一个等价且便于判断真假的命题，再去判断． [跟进训练] 1．在下列四个结论中，正确的有(　　) ①设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件； ②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件； ③“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件； ④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件． A．①②　　B．③④　　C．①④　　D．②③ C　[对于结论①，∵x>2⇒x>1，但x>1⇏x>2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确； 对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错误； 对于结论③，a2>b2不一定推出a>b，故③错误．] 类型2　充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例2】　已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　(1)因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇏p，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以或解得m≥9． 所以实数m的取值范围为[9，＋∞)． (2)设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 因为p是q的必要不充分条件，所以B⊆A， 故有或解得m≤3． 又m>0， 所以实数m的取值范围为(0，3]． 　利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的步骤 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系． (3)利用集合间的关系建立不等式(组)． (4)求解参数范围． [跟进训练] 2．已知集合A＝{x|2m－1≤x≤m＋1}， B＝． (1)若m＝，求A∩(∁RB)； (2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围． [解]　(1)由B＝， 则∁RB＝， 若m＝，则A＝， 所以A∩(∁RB)＝． (2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B． 当2m－1>m＋1时，即m>2时，A＝∅，符合题意； 当2m－1≤m＋1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得≤2m－1≤m＋1<2，解得≤m<1． 综上，实数m的取值范围为∪(2，＋∞)． 类型3　有关充要条件的证明或求解 【例3】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0． ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a12＋b1＋c＝0，即a＋b＋c＝0． ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [母题探究] (变条件)将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，如何证明？ [证明]　充分性：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，方程ax2＋bx＋c＝0中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一个正根和一个负根，所以ac<0⇒方程(※)有一个正根和一个负根． 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根， 由根与系数关系可知这两个根的积为<0， 所以ac<0，所以方程(※)有一个正根和一个负根⇒ac<0． 从而ac<0⇔方程(※)有一个正根和一个负根，因此ac<0是方程(※)有一个正根和一个负根的充要条件． 　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 提醒：证明时一定要注意，要从充分性和必要性两个方面进行，而且分清充分性与必要性的证明方向． [跟进训练] 3．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2． [证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0， 所以方程x2＋mx＋1＝0有实根， 设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1x2＝1>0，所以x1，x2同号． 又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数． 即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2． (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根， 设其为x1，x2，且x1x2＝1， 所以 即 所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2． 综上可知，m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件． 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当x＝1时，x2－2x＋1＝0．由x2－2x＋1＝0，解得x＝1， 所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件．] 2．王昌龄是唐代著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”了一定是“攻破楼兰”的前提下，必要．] 3．在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是________． {x|0<x<1}　[由题意，可得x>0，且1－x>0， ∴0<x<1．] 4．若“x≤－2”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． (－∞，－2]　[因为“x≤－2”是“x<a”的必要不充分条件，所以{x|x<a}⊆{x|x≤－2}，即有a≤－2．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何从命题的角度判断p是q的充要条件？ [提示]　(1)原理： 判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立． (2)方法： ①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件； ③若二者都成立，则p与q互为充要条件． 2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？ [提示]　 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊆B，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊆A，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}． 课时分层作业(九)　充要条件 一、选择题 1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由A∩B＝A可知A⊆B； 反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C．] 2．已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为a>6⇒a2>36， 所以“a>6”是“a2>36”的充分条件． 因为a2>36⇒a>6或a<－6， 所以“a>6”是“a2>36”的不必要条件． 故选A．] 3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[根据题意得，A⇏B，B⇒A，B⇔C，D⇒C，C⇏D， 所以D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A， 可从集合的角度考虑得出A⇏D， 所以A是D的必要不充分条件．] 4．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件可以是(　　) A．x>1　　B．x>2　　C．x≥2　　D．x>3 AC　[由x>2，可得构成集合M＝{x|x>2}，结合选项，可得集合{x|x>1}，{x|x≥2}均真包含M， 所以x>1与x≥2是x>2的一个必要不充分条件．] 5．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[(法一)若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab， 所以由a2＝b2⇏a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0， 所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2． 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． (法二)因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”， 所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系． 又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件， 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 二、填空题 6．《左传僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________．(将正确的序号填在横线上) ①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件． ①　[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①．] 7．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． {m|m>3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知 {x|x<3}⊆， 所以(m＋3)>3，解得m>3．] 8．已知2a－b＝3，则使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子表示) m＝0(答案不唯一，满足m>－1均可)　[2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． [证明]　设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切． (1)充分性(p⇒q)：如图，作OP⊥l于点P，则OP＝d．若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切． (2)必要性(q⇒p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r． 由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 10．(多选)已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是(　　) A．m≤－2 B．m<－2 C．m<2 D．－4<m<－3 BD　[因为集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}， 所以A∩B＝∅等价于m＋1≤－1，即m≤－2， 对比选项，m<－2，－4<m<－3均为A∩B＝∅的充分不必要条件．] 11．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxmin，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c， ∴l＝maxmin＝1×1＝1． ∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件． ∵a≤b≤c，∴max＝． 又∵l＝1， ∴min＝， 即＝或＝，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形． ∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．] 12．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则“x∈B”是“x∈A∪B”的________(选填“充分”“必要”或“充要”)条件． 充要　[由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故“x∈B”是“x∈A∪B”的充要条件．] 13．设p：实数x满足a<x<4a(a>0)，q：实数x满足2<x≤5．若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 　[因为q是p的充分不必要条件， 所以q对应的集合是p对应集合的真子集， 所以(2，5]⊆(a，4a)，其中a>0， 则得得<a≤2， 即实数a的取值范围是．] 14．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由． 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}，是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________？ [解]　选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)，又a>0，解得a≥3， 所以a存在，a的取值范围为{a|a≥3}． 选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)，又a>0，解得0<a≤1，所以a存在，a的取值范围为{a|0<a≤1}． 选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解，所以不存在满足条件的a． 15．对于非零实数x，y有x>y，试探求<的充要条件，并加以证明． [解]　充要条件是xy>0，证明如下： 必要性：由<，知>0，又x>y，则x－y>0，所以xy>0． 充分性：因为x>y，所以y－x<0． 因为xy>0，所以>0，所以<0，即<． 综上所述，对于非零实数x，y，当x>y时，<的充要条件是xy>0． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $