1.2.3 第1课时 充分条件与必要条件-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题“如果p，那么q”的推出关系切入，系统梳理定义、判断方法及与集合包含关系的联系，构建从概念理解到参数应用的学习支架。 资料以《墨经》名言和荀子警句导入渗透数学文化，通过思考提示辨析概念，例题与分层训练结合培养数学抽象和逻辑推理能力。课中助力教师引导知识构建，课后分层作业帮助学生查漏补缺强化应用。

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件与必要条件 学习 任务 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的定义．(数学抽象) 2．会判断充分条件、必要条件．(逻辑推理) 3．会根据所给条件求字母的取值范围．(数学抽象、逻辑推理) 《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”如今，在日常生活中，常听人说“这充分说明”“没有这个必要”等等，在数学中也会讲到充分和必要． 问题　荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言中，“积跬步”是“至千里”的充分条件还是必要条件？ 知识点1　充分条件与必要条件 (1)在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作p⇏q，读作“p推不出q”． (2)当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p⇏q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)相同，都是p⇒q．(2)等价． 知识点2　用集合知识理解充分条件和必要条件 1．充分条件、必要条件与集合的关系 记集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}． A⊆B p是q的充分条件 q是p的必要条件 AB p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 B⊆A q是p的充分条件 p是q的必要条件 BA q不是p的充分条件 p不是q的必要条件 2．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件． (　　) (2)“x>0”是“x>1”的充分条件． (　　) (3)若q不是p的必要条件，则p⇏q成立． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ [提示]　(1)因为“x2＝9”⇏“x＝3”． (2)因为“x>0”⇏“x>1”． (3)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．若x，y∈R，下列各式中是“xy≠0”的必要条件的是(　　) A．x＋y＝0　 B．x2＋y2>0 C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0 B　[因为xy≠0⇒x≠0且y≠0⇒x2>0且y2>0⇒x2＋y2>0，所以“x2＋y2>0”是“xy≠0”的必要条件．] 3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________(选填“充分”或“必要”)条件． 必要　[由于N⊆M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．] 类型1　充分条件的判断 【例1】　(1)(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x>2，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 (2)判断下列各题中，p是不是q的充分条件： ①p：x2＝y2，q：x＝y； ②p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0； ③p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数字为偶数； ④p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0． (1)BC　[A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．] (2)[解]　①若x2＝y2，则x＝y或x＝－y， 因此p⇏q，所以p不是q的充分条件． ②若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． ③若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． ④因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 　充分条件的判断方法 [跟进训练] 1．判断下列各题中，p是不是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3． [解]　(1)由于Q⊆R，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，因此p⇏q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1． 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}， 则B⊆A． 因此p⇏q， 所以p不是q的充分条件． 类型2　必要条件的判断 【例2】　(源自人教A版教材)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4)若x＝1，则x2＝1； (5)若ac＝bc，则a＝b； (6)若xy为无理数，则x，y为无理数． [解]　(1)这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以q不是p的必要条件． (4)显然，p⇒q，所以q是p的必要条件． (5)由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p⇏q，所以q不是p的必要条件． (6)由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，p⇏q，所以q不是p的必要条件． 　必要条件的判断方法 [跟进训练] 2．(1)使x>1成立的一个必要条件是(　　) A．x>0　　B．x>3　　C．x>2　　D．x<2 (2)判断下列各题中，q是不是p的必要条件： ①p：a是1的平方根，q：a＝1； ②p：4x2－mx＋9是完全平方式，q：m＝12； ③p：a是无理数，q：a是无限小数； ④p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等． (1)A　[只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出．] (2)[解]　①1的平方根是±1，所以p⇏q， 所以q不是p的必要条件． ②因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2是完全平方式， 所以m＝±12，所以p⇏q， 所以q不是p的必要条件． ③因为无理数是无限不循环小数， 所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． ④若a与b互为相反数， 则a与b的绝对值相等， 所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． 类型3　充分条件和必要条件的应用 【例3】　(1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　) A．0 B．2 C．4 D．16 (2)已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________． (1)B　(2)[－1，6]　[(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确． (2)化简p：a－4<x<a＋4，q：2<x<3，由于q是p的充分条件， 故有解得－1≤a≤6．] 　1．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号能否取到，取决于端点的取值． [跟进训练] 3．(1)已知α：－3≤x≤2，β：t－5≤x≤2t＋4，且α是β的充分条件，求实数t的取值范围． (2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． [解]　(1)设α：－3≤x≤2对应的集合为A＝{x|－3≤x≤2}，β：t－5≤x≤2t＋4对应的集合为B＝{x|t－5≤x≤2t＋4}，因为α是β的充分条件，所以A⊆B，则解得－1≤t≤2，故实数t的取值范围为[－1，2]． (2)由于p是q的必要条件，则{x|x>a}⊆{x|x<－3或x>1}， 即(a，＋∞)⊆(1，＋∞)．所以a≥1， 因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)． 1．已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[a－2b＝0时，可能a＝b＝0，无法推出＝2，而＝2时，隐含b≠0，两边同时乘以b，得到a＝2b．故“a－2b＝0”是“＝2”的必要条件．] 2．使x>3成立的一个充分条件是(　　 ) A．x>4　　B．x>0　　　C．x>2　　D．x<2 A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．] 3．俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 A　[“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A．] 4．“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的________(选填“充分”或“必要”)条件． 充分　[不等式2x＋3≤0的解集为A＝，不等式2x－6≤0的解集为B＝(－∞，3]，由于A⊆B，所以“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的充分条件．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何理解命题“如果p，那么q”？ [提示]　(1)“如果p，那么q”只是命题的一种形式，另外，“若p，则q”“只要p，就有q”也是常见的命题形式，当然有时也可以简写，省略掉标志性词语“若”“则”“如果”“那么”“只要”“就有”．一般地，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论． (2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．你对“充分条件”“必要条件”是如何理解的？ [提示]　(1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立．” (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立．” (4)p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件同样反映了p⇒q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同． (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p⇏q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 课时分层作业(八)　充分条件与必要条件 一、选择题 1．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 A　[两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数”⇒“a＋b是偶数”，“a＋b是偶数”⇏“a和b都是奇数”．所以“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的充分条件．] 2．“m>n”是“m2>n2”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[当m＝1，n＝－2时，m>n，但是m2<n2；当m＝－2，n＝1时，m2>n2，但是m<n，所以“m>n”是“m2>n2”的既不充分也不必要条件．] 3．已知p：0<x<1，则p的一个充分条件是(　　) A．0<x<1　　　 B．－1<x<1 C．<x< D．<x<2 C　[由0<x<1， 那么命题p的一个充分条件是<x<．] 4．使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　) A．x<0 B．x≥0或x≤－1 C．x>0 D．x≤－1 B　[因为|x|＝x⇒x≥0⇒x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1．] 5．(多选)有以下说法，其中正确的为(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 ACD　[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件； B不正确，因为“x∈A”⇏“x∈(A∩B)”， 所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件； C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”， 故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件； D正确，由于“x>3”⇒“x2>4”， 所以“x>3”是“x2>4”的充分条件．] 二、填空题 6．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”成立的________(选填“充分”或“必要”)条件． 必要　[由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<1”成立的必要条件．] 7．“某运动员在运动会中获得奖牌”是“该运动员参加运动会”的________(选填“充分”或“必要”)条件． 充分　[该运动员获得奖牌，一定参加了运动会；参加运动会，不一定获得奖牌，所以是充分条件．] 8．已知条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是 q的充分条件，则a的取值范围是________． (－∞，1]　[p：x>1，若p是q的充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1．] 三、解答题 9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(用“充分”，“必要”作答)． (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (3)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等． [解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． 10．设甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件又是甲的必要条件 D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 A　[由甲是乙的必要条件，得乙⇒甲．由丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，得丙⇒乙，但乙⇏丙，结构示意图如图．综上有丙⇒乙⇒甲，但是乙⇏丙．故有丙⇒甲，但是甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A． ] 11．x＋y>2m的一个充分条件是(　　) A．x>m或y>m B．x>m且y<m C．x>m且y>m D．x>m或y<m C　[选项A，取x＝m－1，y＝m＋0.5，满足x>m或y>m，但x＋y<2m，故充分性不成立； 选项B，取x＝m＋0.5，y＝m－1，满足x>m且y<m，但x＋y<2m，故充分性不成立； 选项C，由不等式的性质，x>m且y>m能推出x＋y>2m，故充分性成立； 选项D，取x＝m＋0.5，y＝m－1，满足x>m或y<m，但x＋y<2m，故充分性不成立．] 12．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a＋b>0的充分条件．(填序号) ①③④　[问题是“谁”是“a＋b>0”的充分条件，即为“谁”⇒a＋b>0． ①a>0，b>0⇒a＋b>0；②a<0，b<0⇏a＋b>0；③a＝3，b＝－2⇒a＋b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|⇒a＋b>0．] 13．用“充分”或“必要”填空： (1)“x≠3”是“|x|≠3”的________条件； (2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________条件． (1)必要　(2)充分　[(1)当|x|≠3时，x≠±3， 所以“x≠3”⇏“|x|≠3”，“|x|≠3”⇒“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件． (2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”，“这个自然数能被5整除”⇏“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件．] 14．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则|x|>1； (2)若x<3，则x2<4； (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等； (4)若A∩B＝A，则∁UB⊆∁UA． [解]　(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件． (2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4， 则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件． (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件． (4)A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA， 反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件． 15．(1)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件？ (2)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件？ [解]　(1)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1， 所以m≥2．故存在实数m≥2， 使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件． (2)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $