7.3.5 已知三角函数值求角-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“已知三角函数值求角”核心知识点，系统梳理利用三角函数线求角的方法，明确arcsin x、arccos x、arctan x的符号含义，衔接三角函数图像与性质，为后续三角函数方程及应用构建学习支架。 以“大海航行方向”情境引入，通过例题展示三角函数线、图像等多法求角，培养逻辑推理与数学运算素养。课中辅助教师直观教学，课后分层作业助力学生巩固不同范围角的求解，有效查漏补缺。

7.3.5　已知三角函数值求角 学习任务 1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角．(逻辑推理、数学运算) 2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(逻辑推理) 在大海中航行需要正确计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识． 问题　已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ [提示]　x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z． 知识点　arcsin x，arccos x，arctan x的含义 1．已知正弦值求角 对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1，1])，那么在 上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin y． 2．已知余弦值求角 对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1，1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos y(其中－1≤y≤1，0≤x≤π)． 3．已知正切值求角 一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan y． 符号arcsin a(a∈[－1，1])，arccos a(a∈[－1，1])，arctan a(a∈R)分别表示什么？ [提示]　arcsin a表示在区间上，正弦值为a的角；arccos a表示在区间上，余弦值为a的角；arctan a表示在区间上，正切值为a的角． 1．已知tan α＝－1，且α∈，那么α的值等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[∵α∈且tan α＝－1，∴α＝．] 2．已知sin α＝，且α∈[0，2π]，则α的取值集合为________． 　[因为α∈[0，2π]，且sin α＝＞0， 所以α∈(0，π)，当x∈时，y＝sin x单调递增且sin ， 所以α＝，又sin ＝sin ， 所以α＝也符合题意． 所以α的取值集合为．] 3．在△ABC中，2sin A＝，则A＝________． 或　[因为2sin A＝，所以sin A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝或A＝．] 类型1　已知正弦值求角 【例1】　已知sin x＝－，求x． [解]　法一：由sin x＝<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，如图所示， 可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′． 因为sin ＝sin ， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z． 法二：因为sin x＝－， 如图所示， 由正弦函数的图象，知在[0，2π]内，sin ＝sin ， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z． 　已知正弦值求角的方法 利用正弦线、正弦函数的图象求出一个周期内的角，再表示出定义域上的所有取值，即加周期的k(k∈Z)倍，另外还要注意范围条件的约束作用． [跟进训练] 1．已知sin α＝，根据所给范围求角α． (1)α为锐角；(2)α∈R． [解]　(1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈， 所以α＝arcsin ． (2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)， α2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)， 即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z)． 类型2　已知余弦值求角、解不等式 【例2】　【链接教材P60例1】 (1)已知cos ，求x； (2)求不等式cos >－的解集． [思路导引]　(1)利用余弦线、图象求值． (2)先求出相等时的x，再写出满足不等式的x的范围． [解]　(1)由cos >0， 知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为， 如图所示， 可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′． 又因为cos ＝cos ， 所以2x－＋2kπ或2x－＋2kπ，k∈Z． 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z． (2)如图所示， 在[－π，π]上，当或时，cos ， 所以当＋2kπ或＋2kπ，k∈Z时，cos ． 令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为． 【教材原题·P60例1】 例1　已知cos ，求x． 解：由cos <0可知，角2x＋对应的余弦线方向朝左，且长度为． 作示意图，如图7­3­19所示．可知角2x＋的终边可能是OP，也可能是OP′．又因为 cos ＝cos ， 所以2x＋＋2kπ或2x＋＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z． 　已知余弦值求角、解不等式，将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围． [跟进训练] 2．已知cos x＝－． (1)当x∈[0，π]时，求x； (2)当x∈R时，求x的取值集合． [解]　(1)∵cos x＝－，x∈[0，π]， ∴x＝π－，即x＝． (2)∵cos x＝－，x∈R， ∴x的取值集合为， 即． 类型3　已知正切值求角 【例3】　【链接教材P61例2】 (1)若tan ，则在区间[0，2π]上解的个数为(　　) A．5　　　B．4　　　C．3　　　D．2 (2)当0<x<π时，使tan x<－1成立的x的取值范围为________． (1)B　(2)　[(1)因为tan ， 所以2x＋＋kπ，k∈Z， 解得x＝－，k∈Z， 又因为x∈[0，2π]， 所以x＝， 所以在区间[0，2π]上解的个数为4． (2)由正切函数的图象(图略)知，当0<x<π时， 若tan x<－1，则<x<， 即实数x的取值范围是．] 【教材原题·P61例2】 例2　已知tan x＝－1，x∈(3π，5π)，求x． 解：由tan x＝－1<0可知，角x对应的正切线的方向朝下，而且长度为1． 作示意图，如图7­3­20所示．可知角x的终边可能是OT，也可能是OT′．又因为 tan ＝tan ＝－1， 所以x＝－＋kπ，k∈Z． 又由3π<－＋kπ<5π，k∈Z可知k＝4或k＝5，因此x＝或x＝． 　1．已知角的正切值求角，可先求出在内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角． 2．tan α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k∈Z}． [跟进训练] 3．已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x． [解]　因为tan x＝－1＜0，所以x是第二或第四象限角． 由tan ＝－tan ＝－1可知， 所求符合条件的第四象限角为x＝－． 又由tan ＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－， 所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－． 类型4　三角方程的求解 【例4】　sin2x－sinx cos x＝0的解集为________． 　[因为sin2x－sinx cos x＝0， 所以sin x＝0，则sin x＝0或sin x－cos x＝0， 当sin x＝0时，x＝kπ，k∈Z； 当sin x－cos x＝0时，sin x＝cos x，则x＝＋kπ，k∈Z． 综上，x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z．] 　求解三角方程问题的基本方法 (1)首先解方程，将三角方程转化为已知三角函数值求角问题． (2)已知三角函数值求角的步骤 ①由三角函数值的符号确定角的象限． ②求出[0，2π]上的角． ③根据终边相同的角写出所有的角． (3)求解三角方程问题时，常利用“数形结合法”，解题常借助三角函数曲线或单位圆等图形的直观形象． [跟进训练] 4．若cos ，则满足条件的角x的集合是________． 　[因为cos ，所以x－＝2kπ－或x－＝2kπ＋， 解得x＝2kπ或x＝2kπ＋． 所以满足条件的角x的集合是．] 1．(教材P63练习AT2(2)改编)已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　) A．　　 　B．　　 　C．　　 　D． B　[因为x∈(π，2π)且cos x＝－，所以x＝．故选B．] 2．的值等于(　　) A． B．0 C．1 D．－ C　[因为arcsin ，arccos ， arctan ＝－，所以原式＝＝1．] 3．(多选)若cos ，则x可以是(　　) A． B． C． D． BC　[由cos ，得3x＋＝2kπ±(k∈Z)，解得x＝或x＝(k∈Z)，当k＝1时，x＝或．] 4．已知α∈，且1＋tan α≥0，则角α的取值范围是________． 　[因为1＋tan α≥0，所以tan α≥－1， 解得－＋kπ≤α<＋kπ，k∈Z．又α∈， 所以≤α<π，即α的取值范围是．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 已知ωx＋φ的某三角函数值求角的方法是怎样的？ [提示]　已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后判断角的个数求出角；也可以把ωx＋φ看成任意角，分类求出所有角，再根据x的范围确定整数k的值后得到所求角． 课时分层作业(十二)　已知三角函数值求角 一、选择题 1．若tan α＝，且α∈，则α＝(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． C　[因为tan ＝，又α∈，所以α＝π＋＝．故选C．] 2．已知cos x＝－，x∈[0，π]，则x的值为(　　) A．arccos B．π－arccos C．－arccos D．π＋arccos B　[因为arccos ∈， 所以π－arccos ∈． 所以cos x＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos ．] 3．动点P从点(1，0)出发，在单位圆上逆时针旋转角α到点M，已知角β的始边在x轴的正半轴上，顶点为(0，0)，且终边与角α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　) A．β＝2kπ－arccos ，k∈Z B．β＝2kπ＋arccos ，k∈Z C．β＝2kπ＋π－arccos ，k∈Z D．β＝2kπ＋π＋arccos ，k∈Z D　[角α的终边在第二象限，由角β与角α的终边关于x轴对称，则角β的终边在第三象限． 由arccos ∈得，π＋arccos ∈，只有D选项符合．] 4．已知α∈，点P是角α终边上一点，则α＝(　　) A．2＋π　　B．2　　C．π－2　　D．2－π A　[因为tan 2<0，所以P点在第四象限，即α是第四象限角，又tan α＝tan 2＝tan (π＋2)，α∈[0，2π)，所以α＝π＋2．] 5．若tan ＝1，则在区间[0，π]上的解为(　　) A．0 B．π C．0或π D． C　[由tan ＝1⇒x＋＝＋kπ⇒x＝kπ，又x∈[0，π]，所以x＝0或x＝π．] 二、填空题 6．已知cos ＝－，x∈[0，2π]，则x的取值集合为________． 　[令θ＝2x＋，所以cos θ＝－． 当0≤θ≤π时，θ＝，当π＜θ≤2π时，θ＝．所以当x∈R时，2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x∈．] 7．若sin x＝－，x∈，则x＝________． π＋arcsin 　[由题意知arcsin ∈， 故π－arcsin ＝π＋arcsin ∈， 而sin (π－θ)＝sin θ，故x＝π＋arcsin ．] 8．已知sin ＝，x∈，则x＝________． 　[由x∈，可知x＋∈， 又sin ＝， ∴x＋＝，即x＝．] 三、解答题 9．求满足下列条件的角x的集合． (1)cos ＝，x∈； (2)3tan ＝． [解]　(1)因为x∈，可得x＋∈，又cos ＝，所以x＋＝或x＋＝， 解得x＝或x＝π，故角x的集合为． (2)因为3tan ＝，即tan ＝， 所以x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，故角x的集合为 ． 10．(多选)若sin (x－π)＝－，且x∈[－2π，0]，则x＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ CD　[因为sin (x－π)＝－sin (π－x)＝－sin x＝－， 所以sin x＝，所以x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)，又因为x∈[－2π，0]，所以 x＝－或x＝－，故选CD．] 11．函数f ＝sin 的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位得到的，若g＝－f ，则φ的值为(　　) A． B． C． D． A　[函数f ＝sin 的图象是由函数g的图象向左平移φ个单位得到， 所以g＝sin ＝sin ． 因为g＝－f ，所以sin ＝－． 故可得－2φ＝2kπ－或－2φ＝2kπ－，k∈Z， 又0<φ<，所以φ＝．故选A．] 12．已知x＝是方程2cos ＝－1的解，其中α∈，则α＝________． 或π　[由题意可得2cos ＝－1， 则cos ＝－． ∵0<α<2π， ∴<＋α<， ∴＋α＝或＋α＝， 解得α＝或α＝π．] 13．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝________． 　[∵A＝， ∴A＝， ∵B＝， ∴B＝， ∴A∩B＝．] 14．已知函数f (x)＝2cos ． (1)求f (x)的单调递增区间； (2)求不等式f (x)>1的解集． [解]　(1)f (x)＝2cos ， 由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z， 所以f (x)的单调递增区间为 ，k∈Z． (2)因为f (x)>1，所以2cos >1， 所以cos >， 所以－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为． 15．已知cos x＝－． (1)当x∈[0，π]时，求x的值； (2)当x∈R时，求x的取值集合． [解]　(1)∵cos x＝－且x∈[0，π]， ∴x＝arccos ． (2)当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解． ∵cos x＝－， ∴x是第二或第三象限角． 由(1)知x＝arccos是第二象限角， 又cos， 且2π－arccos∈， ∴由余弦函数的周期性知， 当x＝arccos＋2kπ，k∈Z时，cos x＝－， 即所求x的取值集合是． 学科网（北京）股份有限公司 $