8.2.1 两角和与差的余弦-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦两角和与差的余弦公式这一核心知识点，通过向量数量积推导两角差余弦公式，进而延伸至两角和余弦公式，结合数据表观察、公式结构分析与记忆口诀，构建“推导-理解-应用”的学习支架。 资料通过数据表引导发现公式关系培养数学眼光，公式推导与逻辑辨析发展逻辑推理，角的变换训练提升数学思维。课中助力教师引导探究，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化公式应用能力。

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 学习任务 1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用．(逻辑推理) 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(逻辑推理) 3．能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(数学运算、逻辑推理) 观察下表中的数据： cos (60°－30°) cos (60°＋30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° 0 cos (120°－60°) cos (120°＋60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60° －1 － 问题　从中你能发现cos (α－β)，cos (α＋β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？ [提示]　cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． 知识点　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差 的余弦 Cα－β cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和 的余弦 Cα＋β cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 两角和与差的余弦公式的结构特征是什么？可用什么口诀记忆？ [提示]　可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos (70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°． (　　) (2)对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立． (　　) (3)对任意α，β∈R，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立． (　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1． (　　) [提示]　(1)cos (70°＋40°)＝cos 110°≠cos 70°－cos 40°． (2)当α＝－45°，β＝45°时，cos (α－β)＝cos (－45°－45°)＝cos (－90°)＝0，cos α－cos β＝cos (－45°)－cos 45°＝0，此时cos (α－β)＝cos α－cos β．再如α＝0°，β＝60°时也成立． (3)结论为两角和的余弦公式． (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝cos (60°－30°)＝cos 30°＝． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．cos ＝(　　) A．　　　　　　 B． C．　　　 D． B　[cos ＝cos ＝＝．] 3．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． B　[原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－60°)＝．] 类型1　利用两角和与差的余弦公式化简、求值 【例1】　【链接教材P92例2、P93例4】 (1)cos 1 875°＋＝(　　) A．－ B． C． D． (2)cos 40°cos 50°－sin 40°sin 50°＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．cos 10° (3)化简cos cos β＋sin sin β＝(　　) A．cos β B．cos α C．cos D．cos (1)C　(2)B　(3)D　[(1)因为cos 1 875°＝cos (360°×5＋75°)＝cos 75°，又cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝＝，所以cos 1 875°＋＝． (2)cos 40°cos 50°－sin 40°sin 50° ＝cos ＝cos 90°＝0． (3)cos cos β＋sin sin β ＝cos [－β]＝cos ．] 【教材原题·P92例2、P93例4】 例2　求cos 105°的值． 解：cos 105°＝cos (60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝ ＝． 例4　求cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°的值． 解：由Cα＋β可知 cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°＝cos (20°＋25°) ＝cos 45°＝． 　1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． [跟进训练] 1．求下列各式的值． (1)cos ；(2)cos ； (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α)． [解]　(1)cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝＝． (2)cos ＝cos ＝－cos 15° ＝－cos ＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝－＝－． (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α) ＝cos [(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝． 类型2　给值(式)求值 【例2】　【链接教材P93例3】 (1)若0<α<，－<β<0，cos α＝，cos β＝，则cos ＝(　　) A．　　　B．－　　　C．－　　　D． (2)(源自人教A版教材)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值． (1)D　[由0<α<，－<β<0，可得sin α＝，sin β＝－， 则cos ＝cos αcos β－sin αsin β ＝＝．] (2)[解]　由sin α＝，α∈，得 cos α＝－＝－＝－． 又由cosβ＝－，β是第三象限角，得 sin β＝－ ＝－＝－． 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝＝－． 【教材原题·P93例3】 例3　已知cos α＝－，其中<α<π，求cos ，cos ． 解：因为cos α＝－且<α<π，所以 sin α＝＝． 因此cos ＝cos cos α＋sin sin α ＝＝， cos ＝cos cos α－sin sin α ＝ ＝－． 　解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [跟进训练] 2．(1)已知α，β都为锐角，cos α＝，cos ＝－，则cos β＝(　　) A． B．－ C．－ D． (2)已知α，β为锐角，且4cos α＝5sin β＝3tan β，则cos ＝(　　) A． B． C． D． (1)A　(2)B　[(1)∵α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－， ∴sin α＝＝， sin＝＝， ∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－＝． (2)由题意，5sin β＝3tan β及β是锐角可知，sin β>0，cos β>0，5sin β＝，得到cos β＝， 于是sin β＝＝，故4cosα＝5sin β＝4， 得到cos α＝， 由α是锐角，则sin α>0，故sin α＝＝， 于是cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝．] 类型3　已知三角函数值求角 【例3】　已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． [思路导引]　已知角α，α－ββ＝α－(α－β)cos β求角β． [解]　由cos α＝，0<α<，得 sin α＝＝＝． 由0<β<α<，得0<α－β<． 又∵cos(α－β)＝， ∴sin (α－β)＝＝＝． ∵β＝α－(α－β)， ∴cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝＝． ∵0<β<，∴β＝． 　解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围． (3)根据角的范围写出要求的角． [跟进训练] 3．若cos αcos β＝－sin αsin β，且α∈，β∈，则α－β的值是(　　) A．－ B．－ C． D． A　[由cos αcos β＝－sin αsin β，可得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos ＝． 因为α∈，β∈，所以α－β∈， 所以α－β＝－．] 类型4　利用角的变换求三角函数值 【例4】　已知<β<α<，cos (β－α)＝，sin ＝－，则cos 2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[因为<β<α<， 所以－<β－α<0，π<α＋β<， 又cos ＝，sin ＝－， 所以sin ＝－＝－， cos＝－＝－， 所以cos2α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝ ＝－．] 　巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．常见的“变角”有：(1)单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝，α＝等．(2)倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等． 提醒：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误． [跟进训练] 4．已知α，β都是锐角，sin ＝，cos ＝－，则cos ＝(　　) A． B． C． D． B　[由于α，β都是锐角，则－<α－<，0<α＋β<π，因为sin ＝>0，cos ＝－<0，所以0<α－<<α＋β<π， 所以cos ＝，sin ＝， 所以cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－＝．] 1．下列式子中，正确的个数为(　　) ①cos (α－β)＝cos α－cos β； ②cos ＝sin α； ③cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β． A．0　　 　B．1　 　　C．2　 　　D．3 A　[由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ＝－sin α，故②错误． 故选A．] 2．(教材P94练习AT5(1)改编)cos 47°cos 137°＋sin 47°·sin 137°的值等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D． A　[原式＝cos (47°－137°)＝cos (－90°)＝0．] 3．已知α∈，cos ＝－，则cos α＝(　　) A．－ B． C． D．± B　[因为α∈，所以α＋∈，则sin >0， 所以sin ＝＝， 所以cosα＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝．] 4．(教材P94练习BT3改编)若α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，则cos (α＋β)＝________． 　[因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝， 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两角和与差的余弦公式如何表示？有何特点？ [提示]　cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β． 公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀“余余正正，符号相反”表示两角和与差的余弦公式结构． 2．在求值问题中，要注意角的变换，那么常见角的变换技巧有哪些？ [提示]　由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β；②α＝；③＝；④2α＝(α＋β)＋(α－β)；⑤2β＝(α＋β)－(α－β)． 课时分层作业(十七)　两角和与差的余弦 一、选择题 1．cos 71°cos 41°＋sin 71°sin 41°＝(　　) A．　　　B．－　　　C．－　　　D． D　[cos 71°cos 41°＋sin 71°sin 41°＝cos (71°－41°)＝cos 30°＝．] 2．(多选)下列各式化简正确的是(　　) A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos＝cos α－sin α ABC　[根据两角和与差的余弦公式可知选项A，B，C都正确，选项D，cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α．故选ABC．] 3．已知角α在第一象限，若sin ＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　[sin ＝，则cos α＝，由角α在第一象限得sin α＝，cos ＝cos αcos －sin αsin ＝＝－．] 4．若cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan α·tan β的值为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ B　[由cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝可得 则sin αsin β＝，cos αcos β＝． 故tan αtan β＝＝＝．] 5．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin ＝，则cos β＝(　　) A． B． C．－或－ D．或 A　[α，β都是锐角，则－<α－β<， 则由题意得cos (α－β)＝＝， 又sin α＝＝， 则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝＝．] 二、填空题 6．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，则β＝________． 　[cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)， 由已知cos α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜， 可知sin α＝，sin (α－β)＝， 代入上式得cos β＝＝， 所以β＝．] 7．在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，则cos C＝________． －　[△ABC中，A＋B＋C＝π，因为cos A＝，cos B＝， 所以sin A＝＝，sinB＝＝， 所以cosC＝cos ＝－cos ＝sin A sin B－cos A cos B ＝＝－．] 8．已知α为三角形的内角且cos α＋sin α＝，则α＝________． 　[∵cos α＋sin α＝cos cos α＋sin sin α＝cos ＝， 又0＜α＜π，－＜α－＜， ∴α－＝，α＝．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)利用两角和(差)的余弦公式，求cos 75°，cos 15°，sin 15°，tan 15°． [解]　cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝＝． cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝＝． sin 15°＝cos (90°－15°)＝cos 75°＝． tan 15°＝＝＝2－． 10．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ AC　[由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，∴－2cos (β－α)＝－1， ∴cos (β－α)＝，∴A正确，B错误．∵α，β，γ∈，sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误．故选AC．] 11．若0<α<，0<β<，cos (α＋β)＝，sin ＝，则cos ＝(　　) A． B． C． D． C　[因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π， 所以sin (α＋β)＝＝． 又－<β－<， 所以cos＝＝． 所以cos＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝＝．] 12．已知cos (α－β)＝－，sin (α＋β)＝－<α－β<π，<α＋β<2π，那么β＝________． 　[因为<α－β<π，cos (α－β)＝－， 所以sin (α－β)＝． 因为<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－， 所以cos (α＋β)＝． 所以cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)·cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝＝－1． 因为<α－β<π，<α＋β<2π， 所以<2β<，2β＝π，所以β＝．] 13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，则cos (α－β)＝________． 　[因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． 因为|a－b|＝， 所以＝， 即2－2cos (α－β)＝，所以cos (α－β)＝．] 14．若sin ＝－，sin ＝，其中<α<<β<，求α＋β． [解]　因为<α<，所以－<－α<0， 因为<β<，所以<＋β<， 由已知可得cos ＝，cos ＝－． 则cos (α＋β)＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝＝－． 因为<α＋β<π，所以α＋β＝． 15．已知向量a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)，且a·b＝2． (1)求cos (α＋β)的值； (2)若0<α<，0<β<，且sin α＝，求2α＋β的值． [解]　(1)因为a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)， 所以a·b＝sin α(cos β－sin β)＋(cos α－sin α)cos β＝cos αcos β－sin αsin β＝·cos (α＋β)，因为a·b＝2，所以cos (α＋β)＝2， 即cos (α＋β)＝． (2)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝． 因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π． 因为cos (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝， 所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos αcos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝． 因为0<α<，0<β<，所以0<2α＋β<， 所以2α＋β＝． 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $