8.1.1 向量数量积的概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量的数量积这一核心知识点，从物理“功”的实例切入，依次讲解向量夹角的定义、数量积的概念及性质（含垂直的充要条件、模的计算），再延伸至投影向量的几何意义，通过例题与练习搭建从实例感知到概念理解再到应用的学习支架。 该资料以“水上飞机拉人做功”情境驱动数学抽象，结合图示解析与“思考辨析”互动环节培养直观想象，通过分层例题和课时作业强化数学运算。课中辅助教师引导探究，课后助力学生回顾知识、查漏补缺，有效提升知识转化与应用能力。

8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 学习任务 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义．(数学抽象) 2．体会平面向量的数量积与投影向量的关系．(直观想象) 3．会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个向量的垂直．(数学运算) 水上飞机用绳索拉着人进行水上运动，会让人感觉自己在水上漂动．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请认真学习本节的内容． 问题　(1)功与向量的数量积有什么联系？ (2)数量积的几何意义是什么？ [提示]　(1)物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． (2)两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影的数量|b|·cos θ的乘积． 知识点1　两个向量的夹角 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b． 在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直． 1．在△ABC中，向量与向量的夹角是角B吗？为什么？ [提示]　不是．向量与向量的夹角是角B的补角． 知识点2　向量数量积 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (1)当〈a，b〉∈时，a·b>0； 当〈a，b〉＝时，a·b＝0； 当〈a，b〉∈时，a·b<0． (2)两个非零向量a，b的数量积的性质： 不等式 |a·b|≤|a||b| 恒等式 a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝ 向量垂直的充要条件 a⊥b ⇔a·b＝0 2．(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ (2)根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ (3)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立？ [提示]　(1)向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘的结果仍是向量，既有大小又有方向． (2)先求cos 〈a，b〉＝，再根据余弦值求〈a，b〉． (3)当a与b共线时，等号成立． 知识点3　向量的投影与向量数量积的几何意义 (1)作法：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′． (2)结论：称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影． (3)投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量． (4)向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b 上的投影的数量与b的模的乘积． (5)当e为单位向量时，a·e＝|a|cos 〈a，e〉，即任意非零向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量． 3．一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？ [提示]　一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量的夹角是唯一确定的． (　　) (2)若非零向量a与b共线，则〈a，b〉＝0°． (　　) [提示]　(1)由两个向量的夹角的定义可知． (2)若非零向量a与b共线，则〈a，b〉＝0°或〈a，b〉＝180°． [答案]　(1)√　(2)× 2．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为，则a·b＝________． 3　[a·b＝|a||b|cos ＝2×＝3．] 3．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________． 　[设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝．] 4．已知|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为________． 　[设a与b的夹角为θ， 因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5， 所以|a|cos θ＝， 即a在b上的投影的数量为．] 类型1　平面向量数量积的概念与运算 【例1】　(1)以下四种说法中，正确的是________．(填序号) ①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角； ③在△ABC中，如果＝0，那么△ABC为直角三角形； ④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2． (2)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则＝________． (1)③④　(2)8　[(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)． ①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错误； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错误； ③由＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确； ④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确． (2)如图， 过点A作AD⊥BC，垂足为D． 因为AB＝AC，所以BD＝BC＝2， 于是||cos ∠ABC＝||＝2， 所以＝||||cos ∠ABC＝4×2＝8．] 　求平面向量数量积的方法 (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ． (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b． 提醒：在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，不能用“×”连接，更不能省略不写． [跟进训练] 1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则＝________，＝________，＝________． 0　－16　－16　[由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以＝4×4×cos 90°＝0，＝4×4×cos 135°＝－16，＝4×4×cos 135°＝－16．] 类型2　向量数量积的几何意义 【例2】　【链接教材P79例2】 (源自北师大版教材)如图所示，已知向量a与b，其中|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°． (1)求a·b； (2)求向量b在a上的投影的数量，并画图解释． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝3×4×cos 150°＝12×＝－6． (2)如图，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，|b|cos θ＝4×＝－2．所以向量b在a上的投影的数量为－2． 【教材原题·P79例2】 例2　如图8-1-7所示，已知a为单位向量，求出以下向量的数量积． (1)b·a；(2)c·a；(3)d·a． 解：(1)(方法一)由图可知， |a|＝1，|b|＝，〈b，a〉＝， 因此b·a＝×1×cos ＝1． (方法二)由图可以看出，向量b在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知b·a＝1． (2)由图可知，〈c，a〉＝，因此c·a＝0． (3)由图可知，向量d在向量a上的投影的数量为－1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知d·a＝－1． 　求投影向量(或其数量)的关注点和计算方法 (1)关注点：注意a在b上的投影与b在a上的投影不同，审题时要看清． (2)a在b所在直线上的投影是一个向量，a在b所在直线上的投影的数量是一个实数． (3)计算方法： a在b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝， b在a上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝． [跟进训练] 2．(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为1，则a＋b在a上的投影的数量为(　　) A．－1　　　B．2　　　C．3　　　D． (2)已知＝3，且a在b上的投影的数量为，则a与b的夹角为________． (1)C　(2)　[(1)b在a上的投影的数量为＝1，即b·a＝＝2， a＋b在a上的投影的数量为＝＝＝3． (2)因为＝3，且a在b上的投影的数量为， 所以cos 〈a，b〉＝3cos 〈a，b〉＝， 所以cos 〈a，b〉＝，又〈a，b〉∈， 所以〈a，b〉＝．] 类型3　与向量的夹角、垂直有关的问题 【例3】　(1)已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若()·()＝0，则四边形EFGH是(　　) A．梯形　　　　　　 B．正方形 C．菱形 D．矩形 (2)已知a，b是两个非零向量． ①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角； ②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． (1)D　[连接AC，BD(图略)，则由题意可知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH． 同理可得EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形． 因为()·()＝0， 即＝0，所以AC⊥BD， 所以EF⊥GF，所以四边形EFGH为矩形．] (2)[解]　①因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a，b〉|＝|a||b||cos 〈a，b〉|＝6． 又|a|＝3，|b|＝4， 所以|cos 〈a，b〉|＝＝， 所以cos 〈a，b〉＝±． 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或． ②如图，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以为邻边作▱OACB，因为|a|＝|b|，即||＝||， 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝a＋b，＝a－b， 因为|a|＝|b|＝|a－b|， 即||＝||＝||， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为． [母题探究] (变条件，变结论)将本例(2)②条件“|a|＝|b|＝|a－b|”改为“|a＋b|＝|a－b|＝2|a|”，求向量a＋b与a－b的夹角． [解]　如图，在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中， 因为|a＋b|＝|a－b|，所以四边形ABCD为矩形． 在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|， 所以∠ABD＝． 所以a＋b与a－b的夹角为． 　求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中常利用消元思想计算cos 〈a，b〉的值． [跟进训练] 3．已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． C　[如图，设a＝，b＝，c＝， 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0， 可知A，B，C三点不共线，且O既是△ABC的重心也是△ABC的外心， 所以△ABC为等边三角形， 则a－c＝＝，b－c＝＝， 所以cos 〈a－c，b－c〉＝cos 〈〉＝cos ∠ACB＝．故选C．] 1．(教材P79练习AT1改编)已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝(　　) A．2　　 　B．3　　　 C．6　　 　D．0 B　[因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝， 则a·b＝|a|·|b|cos ＝2×3×＝3．故选B．] 2．在四边形ABCD中，若＝，且＝0，则四边形ABCD一定是(　　) A．正方形 B．梯形 C．矩形 D．菱形 D　[由＝，得＝＝，可知，四边形ABCD为平行四边形， 又由＝0可知，四边形对角线互相垂直， 故四边形ABCD为菱形．] 3．(教材P80练习BT1改编)在正三角形ABC中，AB＝2，M，N分别为AB，AC的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[如图所示，＝1，＝，向量的夹角为150°，所以＝cos 150°＝1×＝－． ] 4．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，和的夹角为________． 45°　135°　[等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB，所以CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．求两向量夹角时，两向量应具有什么特点？ [提示]　求两向量夹角时，两向量应具有共同的起点． 2．数量积的性质是什么？ [提示]　(1)|a·b|≤|a||b|； (2)a·a＝|a|2，即|a|＝； (3)a⊥b⇔a·b＝0． 3．若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？若a·b<0，则〈a，b〉一定是钝角吗？ [提示]　a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角，也可为〈a，b〉＝0． a·b<0时，〈a，b〉不一定是钝角，也可为〈a，b〉＝π． 4．向量b在向量a上的投影是向量吗？它与向量a有什么关系？ [提示]　是向量，投影向量与a共线，当〈a，b〉∈时，与a同向共线；当〈a，b〉∈时，与a反向共线，当〈a，b〉＝时，其投影为0． 课时分层作业(十四)　向量数量积的概念 一、选择题 1．已知|a|＝1，|b|＝2，则a2＋b2＝(　　) A．2　　 　B．3　　 　C．5　　 　D．－5 C　[因为|a|＝1，|b|＝2，所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5．故选C．] 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．向量b在向量a上的投影是向量 B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．0·a＝0 D．a·b＝0，则a⊥b ABD　[对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，零向量与任何向量的数量积都为0，故C错误；对于选项D，由a⊥b⇔a·b＝0知D正确．故选ABD．] 3．已知|b|＝3，a在b上的投影的数量是，则a·b 为(　　) A．3 B． C．2 D． B　[a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|b||a|cos 〈a，b〉＝3×＝．故选B．] 4．在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝，则的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 B　[由题意知，BA＝2，∠ABC＝45°，所以＝||·||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2．] 5．已知＝2，且a·b＝－2，则向量a在向量b上的投影的数量为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 A　[设a与b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ＝－2，又|b|＝2，∴|a|cos θ＝－1， 则向量a在向量b上的投影的数量为cos θ＝－1．] 二、填空题 6．已知a·b＝15＝3|b|，则向量a在b上的投影的数量为________． 3　[因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝3．] 7．已知平面向量a，b满足|b|＝2，a在b上的投影向量为－2b，则a·b＝________． －8　[因为|b|＝2，a在b上的投影向量为－2b， 所以·b＝·b＝－2b，解得a·b＝－8．] 8．若e1，e2是单位向量，且e1·e2＝－，则e1与e2的夹角是________． 　[由已知可得，cos 〈e1，e2〉＝＝－． 又0≤〈e1，e2〉≤π，所以〈e1，e2〉＝．] 三、解答题 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点． 求：(1)在上的投影的数量； (2)在上的投影的数量． [解]　连接AD．因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形． 又因为D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°， 所以BD＝2． 延长AB到E(如图所示)，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°． (1)在上的投影的数量是 ||cos 135°＝4×＝－2． (2)在上的投影的数量是 ||cos 135°＝2＝－2． 10．已知△ABC中，＝0，2＝，||＝||，则在上的投影向量为(　　) A．　　　　　　 B． C．－ D．－ C　[在△ABC中，由＝0，得⊥，即∠BAC＝， 由2＝，得线段AO是Rt△ABC斜边BC上的中线， 又||＝||，即有AO＝OB＝AB， 则△AOB是等边三角形，∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝BC cos ∠ACB＝BC， 于是＝||||cos (π－∠ACB)＝－|BC|2cos ＝－|BC|2， 所以在上的投影向量为＝－．故选C．] 11．(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中＝2，则下列结论正确的是(　　) 　 A．＝－2 B．＝－2 C．＝2 D．在上的投影的数量为－ ACD　[＝cos ∠AOD＝2×2×cos ＝－2，A正确； 由向量加法的平行四边形法则知是以OB，OH为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是O，易知该平行四边形的对角线长不等于OA的2倍，即≠2，而＝－，因此B错误； ＝＝＝ ＝2，C正确； ＝2×2×cos ＝－2， 在上的投影的数量为＝＝－，D正确．] 12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝________． 8　[cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]， ∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8．] 13．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则的值是________． －25　[因为||2＝||2＋||2， 所以B＝90°，所以＝0． 因为cos C＝，cos A＝， 所以＝||·||cos (180°－C) ＝4×5×＝－16， ＝||·||cos (180°－A) ＝5×3×＝－9． 所以＝－25．] 14．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)； (2)在上的投影向量； (3)在上的投影的数量． [解]　(1)因为||＝5，||＝4，||＝3， 所以||2＋||2＝||2，即AC⊥BC，所以cos B＝＝， 所以＝||||cos (π－B)＝||||·(－cos B)＝5×4×＝－16． (2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A＝＝， 所以在上的投影向量为||·cos A·＝3×＝． (3)由(1)知，cos B＝， 所以在上的投影的数量为||(－cos B)＝5×＝－4． 15．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且＝6，与的夹角为θ，求θ的取值范围． [解]　因为＝||·||cos θ＝6>0， 所以cos θ>0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sin θ． 由题意知，＝||||cos θ＝6，① S＝||||＝||||sin θ．② 由②÷①得＝tan θ，即3tan θ＝S． 因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1． 又因为θ为与的夹角，θ∈[0，π]， 所以θ的取值范围为． 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $