7.3.2 正弦型函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象，从正弦函数y=sinx出发，系统梳理参数A、ω、φ对函数图象（平移、伸缩）和性质（周期、振幅、最值）的影响，构建五点法作图与图象变换的学习支架，衔接函数定义与实际应用。 通过物理中交流电电流图象引入，培养数学眼光，结合五点法作图和图象变换例题，发展逻辑推理与直观想象。课中助力教师分层教学，课后练习题涵盖基础与拓展，帮助学生巩固性质应用和解析式求解，查漏补缺。

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 学习 任务 1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．(直观想象、逻辑推理) 2．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、频率与振幅．(数学运算) 3．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝A sin (ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义．(数学抽象、逻辑推理) 在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图1所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象． 将测得的图象放大，如图2所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？ 问题　(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？ (2)如何作出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象？ [提示]　(1)在函数y＝A sin (ωx＋φ)中，最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝． (2)法一：五点作图法．法二：图象的变换． 知识点1　正弦型函数 (1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数． (2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，|A|表示偏离平衡位置的最大距离，称为振幅，周期T＝表示完成一次运动所需要的时间，f ＝＝表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率． 1．当φ为何值时，正弦型函数为奇函数？当φ为何值时，正弦型函数是偶函数？ [提示]　当φ＝kπ，k∈Z时，正弦型函数是奇函数； 当φ＝＋kπ，k∈Z时，正弦型函数是偶函数． 知识点2　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响： (2)ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响： (3)A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响： (4)用“变换法”作图： y＝sin x的图象y＝sin (x＋φ)的图象y＝sin (ωx＋φ)的图象y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 2．由y＝sin x的图象，通过怎样的变换可以得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象？ [提示]　变化途径有两条： (1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)． (2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)． 1．函数y＝2sin 的最小正周期是(　　) A．　 　　B．π　　　 C．2π　　 　D．4π D　[由题意，ω＝，∴T＝＝4π．] 2．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π， B．6π， C．3π，3，－ D．6π，3， B　[由题意，A＝，ω＝，φ＝，则T＝＝6π．] 3．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向上平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向下平移个单位 C　[将函数y＝sin 的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数y＝sin x的图象．] 类型1　正弦型函数的性质与图象 【例1】　(源自湘教版教材)画出函数y＝2sin 的简图，并求出这个函数的周期和值域． [解]　函数y＝2sin 的周期T＝＝π，我们先用“五点法”作出它在一个周期内的图象． 令2x＋＝0，得x＝－，把x＝－作为第一点的横坐标，依次递加一个周期的，即，就可以得到其余四个点的横坐标．列表如下： 2x＋ 0 π 2π x － y＝2sin 0 2 0 －2 0 作出函数在上的简图，并逐次向左和向右平移π个单位，就可以得到这个函数的图象，如图．函数y＝2sin 的值域为[－2，2]． 　1．用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一个周期内的图象． 2．求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围． [跟进训练] 1．用五点法作出函数y＝2sin 的图象，并指出函数的单调区间． [解]　(1)列表： u＝2x＋ 0 π 2π x － y＝2sin u＝2sin 0 2 0 －2 0 (2)描点． (3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次π个单位)即可得到该函数在定义域R内的图象．可见在一个周期内，函数在上单调递减，又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．同理，单调递增区间为(k∈Z)． 类型2　正弦型函数的图象变换 【例2】　(源自人教A版教材)说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到(注意定义域)： (1)y＝8sin ，x∈[0，＋∞)； (2)y＝sin ，x∈[0，＋∞)． [解]　(1)先将正弦曲线上所有的点向右平移个单位，得到y＝sin ，x∈R的图象；然后将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到y＝sin ，x∈R的图象；再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的8倍(横坐标不变)，得到y＝8sin ，x∈R的图象；最后将所得函数的图象在y轴左侧的部分抹去，就得到y＝8sin ，x∈[0，＋∞)的图象． (2)先将正弦曲线上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin ，x∈R的图象；然后将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin ，x∈R的图象；再将所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到y＝sin ，x∈R的图象；最后将所得函数的图象在y轴左侧的部分抹去，就得到y＝sin ，x∈[0，＋∞)的图象． 　三角函数图象平移变换问题的解题策略 确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言． [跟进训练] 2．(1)为了得到函数y＝4sin 3x的图象，只需将函数y＝4sin 的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 (2)(多选)已知曲线C1：y＝sin 的周期为π，C2：y＝sin x，则下面结论正确的是(　　) A．把C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线C1 B．把C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C1 C．把C2上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C1 D．把C2上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C1 (1)C　(2)CD　[(1)因为y＝4sin＝4sin ，所以为了得到函数y＝4sin 3x的图象，只需将函数y＝4sin 的图象向右平移个单位． (2)曲线C1：y＝sin 的周期为π，则＝π，故＝2，ω＝±2， A选项，把C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到y＝sin 的图象，A错误； B选项，把C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，B错误； C选项，把C2上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，C正确； D选项，把C2上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到y＝sin ＝sin 的图象，D正确．] 类型3　求正弦型函数的解析式 【例3】　设函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示．求此函数的解析式． [解]　由题图得A＝1，T＝－＝，则周期为π， 则＝π，ω＝2，所以f (x)＝sin (2x＋φ)， 将代入得0＝sin ， 所以－ ＋φ ＝ 2kπ，k∈Z， 即φ ＝ ＋ 2kπ，k∈Z， 由0<φ<2π可得φ＝， 则f (x)＝sin ． [母题探究] (变结论)本题能否在不求函数解析式的情况下，直接写出其单调区间？ [解]　由图象可知，周期T＝π．函数在上单调递增，在上单调递减．所以函数的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)． 　确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入．(此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解，此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点x＝－作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π． [跟进训练] 3．(1)函数y＝f ，其中f ＝sin (ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f 的单调递减区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z (2)(多选)已知函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有(　　) A．ω＝2 B．f 是f (x)的最小值 C．f (x)在区间上的值域为 D．把函数f (x)图象上所有点向右平移个单位，可得到函数y＝3sin 图象 (1)D　(2)ABD　[(1)根据图象可得＝， ∴T＝2． 根据f ＝sin 的周期T＝＝2，∴ω＝π，∴f ＝sin ． 从图象可得是单调递减区间的零点，∴π·＋φ＝π＋2kπ， ∴φ＝＋2kπ，∴φ＝π， ∴f ＝sin ． 令＋2kπ<πx＋<＋2kπ， 得x∈，k∈Z， 则f 的单调递减区间为(k∈Z)． (2)由题意，＝＝T，函数最小正周期T＝π＝，ω＝2，选项A正确； 函数图象过点，可得3sin ＝3，即sin ＝1， 由<，解得φ＝，可得 f (x)＝3sin ． f ＝3sin ＝3sin ＝－3, B选项正确； 当x∈时，有2x＋∈， 则sin ∈，可得 f ＝3sin ∈，C选项错误； 把函数f (x)图象上所有点向右平移个单位，可得到函数 y＝3sin ＝3sin 的图象，D选项正确．] 类型4　正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性 【例4】　已知函数f ＝A sin 的部分图象如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．f 的最小正周期为π B．f ＝3sin C．f 的图象关于直线x＝对称 D．f 的图象关于对称 D　[由题图可知A＝3，＝＝，即T＝π，故选项A正确； 由＝π，可得ω＝2，则f (x)＝3sin (2x＋φ)， 因为f ＝3sin ＝3sin ＝－3，即sin ＝－1，所以－＋φ＝2kπ－，k∈Z，得φ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f (x)＝3sin ，故选项B正确； 由2x－＝kπ＋，k∈Z，可得x＝，即f 的图象关于直线x＝对称，故选项C正确； 由2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，即f 的图象关于对称，故选项D错误．] 　1．正弦型函数的性质，重点应掌握y＝sin x的单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． 2．正弦函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)． [跟进训练] 4．(多选)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．直线x＝－是函数f (x)图象的一条对称轴 B．函数f (x)的图象关于点，k∈Z对称 C．函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z D．将函数f (x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin 的图象 BCD　[观察图象知，A＝1，函数f (x)的周期T＝4＝π，有ω＝＝2， 由f ＝－1，得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，而|φ|<，则k＝0，φ＝，f (x)＝sin ， 对于A，因为f ＝sin ＝0，则直线x＝－不是函数f (x)图象的对称轴，A不正确； 对于B，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，则函数f (x)的图象关于点，k∈Z对称，B正确； 对于C，由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 则函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z，C正确； 对于D，g(x)＝f ＝sin ＝sin ，D正确．] 1．函数y＝sin 在区间的简图是(　　) 　 A　　　　　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　　　　　D A　[将x＝代入到函数解析式中得y＝0，可排除C，D； 将x＝π代入到函数解析式中求出函数值为－，可排除B，故选A．] 2．(教材P51练习BT4改编)函数f (x)＝sin 的单调递增区间为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) B　[令－＋2kπ≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z， 即函数f (x)＝sin 的单调递增区间为(k∈Z)．] 3．(教材P51练习BT2改编)要得到函数y＝3sin 2x的图象，只需将y＝3sin 的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 B　[由题知y＝3sin ＝3sin ， 故由y＝3sin 的图象变到y＝3sin 2x的图象只需向右平移个单位．] 4．(教材P50练习AT2改编)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象如图，则解析式为________． y＝2sin 　[由题图知，A＝2，＝＝，则T＝π，而T＝＝π，故ω＝2，所以y＝f (x)＝2sin ， 又y＝f ＝2sin ＝2，即＋φ＝＋2kπ且k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，结合|φ|<π知，φ＝－，故y＝2sin ．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的周期、对称轴及对称中心？ [提示]　其周期T＝，令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即可解得函数的对称轴方程，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，即可得其对称中心的横坐标． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)中，A，ω，φ分别对函数有何影响？ [提示]　A影响函数的振幅，ω影响函数的周期，φ影响函数的初相． 3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤是什么？ [提示]　由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤： 课时分层作业(九)　正弦型函数的性质与图象 一、选择题 1．函数y＝3sin 的图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝0　　　　　　 B．x＝ C．x＝－ D．x＝ B　[令sin ＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，取k＝1，x＝．故选B．] 2．关于x的方程sin ＝2m在[0，π]内有两个相异实根，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D． C　[由于0≤x≤π，所以≤x＋，由于关于x的方程sin ＝2m在[0，π]内有两个相异实根，令u＝x＋，由函数y＝sin u与y＝2m的图象可知(图略)，≤2m<1，解得≤m<．故选C．] 3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω的值为(　　) A．2 B．1 C． D． C　[因为f (0)＝，f (2π)＝－，由题图可知，函数f (x)的半周期是2π， 所以＝2π，得ω＝．故选C．] 4．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f 的图象，则f 的解析式为(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos D　[函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin ＝sin ＝cos 的图象．] 5．已知函数f ＝sin ，则(　　) A．f 的最小正周期为2π B．点是f 图象的一个对称中心 C．直线x＝是f 图象的一条对称轴 D．f 在上单调递增 D　[对于A，由f ＝sin 可得周期T＝＝π，故A不正确； 对于B，当x＝时，2x－＝，sin ＝≠0，则点不是f 图象的一个对称中心，故B不正确； 对于C，当x＝时，2x－＝0，sin ＝0≠±1， 则直线x＝不是f 图象的一条对称轴，故C不正确； 对于D，当x∈时，2x－∈，根据正弦函数的单调性可得f 在上单调递增，故D正确．] 二、填空题 6．函数f ＝A sin (A>0，x∈R，ω>0，0≤φ<π)的部分图象如图所示，则A＝________，ω＝________，φ＝________． 1　　[根据函数图象可知A＝1， ＝3－1＝2，即T＝8，＝8，解得ω＝， 则f ＝sin ，将点代入得 sin ＝0， ＋φ＝2kπ＋π，φ＝2kπ＋，k∈Z． 又∵0≤φ<π，∴k＝0，即φ＝．] 7．先作函数y＝sin x的图象关于y轴的对称图象，再将所得图象向左平移 个单位，所得图象的函数解析式是________． y＝－sin 　[函数y＝sin x的图象关于y轴对称图象的函数解析式为y＝sin (－x)，再将函数y＝sin (－x)的图象向左平移个单位，得到函数图象的函数解析式为y＝sin ＝－sin ．] 8．已知函数f ＝在区间上单调，且对任意实数x均有f ≤f ≤f 成立，则φ＝________． 　[因为对任意实数x均有f ≤f ≤f 成立，所以f 是最小值，f 是最大值， 又函数f (x)在区间上单调，所以T＝2×＝2π，ω＝＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又<，所以φ＝．] 三、解答题 9．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数解析式； (2)求f (x)的单调递增区间； (3)当x∈时，求f (x)的最大值和最小值． [解]　(1)由题图知A＝2，＝＝，所以＝π，即ω＝2． 由图象过点，代入函数f ， 即＋φ＝，则φ＝，满足0<φ<π， 所以f ＝2sin ． (2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 故函数f 的单调递增区间为，k∈Z． (3)因为x∈，所以2x＋∈， 则2x＋＝，即x＝时，f 取最大值，最大值为1；2x＋＝，即x＝时，f 取最小值，最小值为－2，所以当x∈时，f 的最大值为1，最小值为－2． 10．(多选)关于函数f (x)＝4sin (x∈R)有如下命题，其中正确的有(　　) A．y＝f (x)的解析式可改写为f (x) ＝4cos (x∈R) B．y＝f (x)是以2π为最小正周期的周期函数 C．y＝f (x)的图象关于点对称 D．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称 AC　[对于A，f (x)＝4sin ＝4cos ＝4cos (x∈R)，故A正确； 对于B，f (x)的最小正周期T＝＝π，故B错误； 对于C，f ＝4sin ＝0， 则f (x)的图象关于点对称，故C正确； 对于D，f ＝4sin ＝0，故D错误．故选AC．] 11．(多选)函数f ＝A sin (A＞0)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f 的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f 的最小正周期是π B．函数f 的图象关于点成中心对称 C．函数f 在上单调递增 D．函数f 的图象向右平移个单位后关于原点成中心对称 AB　[根据函数f ＝A sin 的部分图象以及圆C的对称性，可得M，N两点关于圆心C对称，A选项，根据给定函数的图象得点C的横坐标为，所以T＝＝，解得T＝π，A项正确； B选项，由A选项得T＝π， 不妨令0<φ<π，由周期T＝π， 所以ω＝2，又f ＝0，所以φ＝， 所以f ＝A sin ， 因为f ＝A sin ＝0，即函数f (x)的图象关于点成中心对称，B项正确； C选项，由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z， 即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝－1时，函数的单调递增区间为， 当k＝0时，函数的单调递增区间为，C错误； D选项， 函数f 的图象向右平移个单位后，y＝A sin ＝A sin ＝－A cos 2x，所得图象关于y轴对称，D错误．] 12．函数f (x)＝2sin (ω＞0)的图象如图所示，若AB＝5，则f (x)在[2 023，2 030]上的单调递增区间为________． [2 024，2 027]　[由题意，设A(x1，2)，B(x2，－2)， ∵AB＝5，∴(x1－x2)2＋42＝52，解得x2－x1＝3， ∴函数的周期T＝2×3＝，解得ω＝，∴f (x)＝2sin ，令2kπ－x＋π≤2kπ＋，k∈Z，解得6k－4≤x≤6k－1，k∈Z， 当k＝338时，f (x)在[2 024，2 027]上单调递增， ∴f (x)在[2 023，2 030]上的单调递增区间为[2 024，2 027]．] 13．已知函数y＝sin ωx(ω＞0)在上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围为________． (2，6]　[当x∈时，ωx∈， 因为y＝sin ωx(ω＞0)在上有最大值，没有最小值，所以＜， 所以2＜ω≤6，ω的取值范围为(2，6]．] 14．已知函数f ＝2sin 的图象向右平移个单位得到g的图象，g(x)的图象关于原点对称，f 的两条相邻对称轴的距离是． (1)求f 的单调递增区间； (2)若f ＋2m－3＝0在x∈上有两解，求实数m的取值范围． [解]　(1)由于f 的两条相邻对称轴的距离是，∴T＝2×＝π，2ω＝＝2，ω＝1， ∵g(x)的图象关于原点对称， ∴g＝2sin ＝2sin 是奇函数，∴ φ－ ＝ kπ， φ＝＋kπ，又∵<，∴φ＝，f ＝2sin ， 令 2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f 的单调递增区间是(k∈Z)． (2)由(1)知，f ＝2sin ，当x∈ 时，≤2x＋， 所以f ＝2sin ∈[－，2]， 当2x＋＝，即x＝ 时，f (x)取得最大值2，当2x＋＝，即x＝时，f (x)取得最小值－，作出f (x)大致图象如图， 所以要使得f ＝－2m＋3 有两解，则必须≤－2m＋3<2，即<m≤． 综上，实数m的取值范围是． 15．已知函数f ＝A sin 的部分图象如图所示． (1)求函数y＝f 的解析式． (2)将y＝f 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝g的图象，求函数g的单调递增区间． (3)在第(2)问的前提下，对于任意x1∈，是否总存在实数x2∈，使得f ＋g＝m成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由． [解]　(1)由题图可知A＝1， ＝＝，则T＝π＝，ω＝2， 所以f ＝sin ，f ＝sin ＝－1． 所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)． 又<，所以当k＝1时，φ＝，所以f ＝sin ． (2)将y＝f 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得y＝sin 的图象，再向右平移个单位得到g＝sin ＝sin 的图象， 由－＋2kπ≤4x－＋2kπ，k∈Z，解得－≤x≤，k∈Z， 所以函数g的单调递增区间为(k∈Z)． (3)由f ＋g＝m，得g＝m－f ， 由－≤x1≤，得－≤2x1＋≤π， 所以－≤sin ≤1， 所以m－f ∈． 又－≤x2≤，得－π≤4x2－， 所以－1≤sin ． 由题可知⊆， 得 解得m＝0，所以存在m＝0，使得f ＋g＝m成立． 15/20 学科网（北京）股份有限公司 $