7.2.4 第1课时 诱导公式①②③④-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦诱导公式①②③④的推导与应用，通过单位圆对称性（原点、x轴、y轴对称）推导公式，前承任意角三角函数定义，后为复杂诱导公式及三角函数化简求值提供工具，构建“定义-对称-公式-应用”的学习支架。 以“南京眼”“生命之环”对称美引入，用数学眼光观察现实，结合单位圆对称关系推导公式培养逻辑推理。例题分类型总结“负化正、大化小、小化锐”步骤提升数学运算能力。课中助教师引导探究，课后分层作业与回顾问题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①②③④ 学习任务 1．借助圆的对称性理解诱导公式①②③④的推导过程．(逻辑推理) 2．掌握诱导公式①～④并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．(数学运算、逻辑推理) “南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． “南京眼”的桥身的完美对称　　辽宁“生命之环”的完美对称 问题　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ [提示]　π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称． 知识点1　诱导公式① sin (α＋k·2π)＝sin α(k∈Z)， cos (α＋k·2π)＝cos α(k∈Z)， tan (α＋k·2π)＝tan α(k∈Z)． 知识点2　角的旋转对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC，则射线OB是角α＋θ的终边，射线OC是角α－θ的终边，所以角α＋θ的终边和角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称． 1．角的正负与旋转方向之间的关系是什么？ [提示]　将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角． 知识点3　诱导公式② sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α． 2．角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称． 知识点4　诱导公式③ sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α． 3．角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos (π－α)，sin (π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称． 知识点5　诱导公式④ sin (π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α． 4．角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cos (π＋α)，sin (π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P4与P也关于原点对称． 1．tan 390°的值等于(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． D　[＝tan 30°＝．] 2．tan ＝(　　) A．－1 B．1 C． D． B　[由诱导公式得tan ＝tan ＝tan ＝1．] 3．已知sin ，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ C　[＝sin ＝sin ．] 4．化简sin ·cos ＝________． 　[·cos ＝sin cos ＝sin cos ＝sin cos ＝．] 类型1　给角求值问题 【例1】　(源自人教A版教材)利用公式求下列三角函数值： (1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)． [解]　(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－． (2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ． (3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－． (4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°＝－tan (6×360°－120°) ＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－． 　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式①或②来转化． (2)“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． [跟进训练] 1．(1)计算： ①sin 750°＝________； ②cos(－2 040°)＝________． (2)计算：sin －cos ＝________． (1)①　②－　(2)1　[(1)①sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝． ②cos(－2 040°)＝cos 2 040° ＝cos(5×360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－． (2)原式＝－sin ＝sin＝1．] 类型2　给值(式)求值问题 【例2】　(1)已知，则cos 的值为(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． (2)已知cos ，则cos ＝________． (1)A　(2)－　[(1)因为105°－α＝180°－，cos ， 所以cos ＝cos ＝－cos ． (2)cos ＝cos ＝－cos ．] [母题探究] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，如何求cos ？ [解]　cos ＝cos ＝cos ＝cos ． 2．(变结论)若本例(2)条件不变，求cos －sin2的值． [解]　因为cos＝cos ＝－cos ， sin2＝sin2＝1－cos2＝1－， 所以cos－sin2＝－． 　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟进训练] 2．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值． [解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角． ∴sin (α－75°)＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin (α－75°)＝． 类型3　三角函数式的化简 【例3】　【链接教材P31例5】 化简：(1)； (2)． [解]　(1) ＝＝1． (2)原式＝ ＝＝－1． 【教材原题·P31例5】 例5　化简． 解：原式＝ ＝ ＝tan αtan α＝tan2α． 　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan． [跟进训练] 3．已知tan (5π＋α)＝m，则的值为(　　) A．　　　　　 B． C．－1 D．1 A　[因为tan (5π＋α)＝tan α＝m， 所以原式＝．] 4．化简：·tan (2π－α)＝________． －1　[原式＝·tan (－α)＝·(－tan α)＝－·tan α＝－1．] 1．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sin α＝sin β　　　　 B．sin(α－2π)＝sin β C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β C　[由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β．] 2．(教材P33练习AT3(1)改编)sin 225°＝(　　) A．－ B．－ C．　　　 D．1 B　[＝－sin 45°＝－．] 3．已知sin (α－π)＝－，α∈，则cos α＝(　　) A．－ B． C．± D．－ A　[因为sin ＝－sin α＝－， 所以sin α＝， 又因为α∈， 所以cos α＝－．] 4．(教材P34练习AT5改编)＝________． 1　[] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你能概括一下诱导公式①～④的特征吗？ [提示]　诱导公式①～④可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”，或者简述为“函数名不变，符号看象限”． 2．如何应用诱导公式①～④把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？ [提示]　利用公式①～④可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 课时分层作业(六)　诱导公式①②③④ 一、选择题 1．sin 690°的值为(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ C　[sin 690°＝sin (720°－30°)＝sin (2×360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－．故选C．] 2．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　) A．4 B．±4 C．－4 D． C　[由题意，得tan 600°＝，则a＝－4tan 600°＝－4tan (540°＋60°)＝－4tan 60°＝－4．] 3．若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)＝(　　) A． B．－ C．－ D． D　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝， ∴sin α＝－． ∵α∈， ∴cos α＝． ∴tanα＝． ∴tan (π－α)＝－tan α＝．故选D．] 4．(多选)下列化简正确的是(　　) A．tan (π＋1)＝tan 1 B．＝cos α C．＝tan α D．＝1 AB　[由诱导公式可得tan (π＋1)＝tan 1，故A正确； ＝cos α，故B正确； ＝－tan α，故C不正确； ＝－1，故D不正确．] 5．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)＝(　　) A． B． C． D．－ A　[∵sin (α－360°)－cos (180°－α) ＝sin α＋cos α＝m， ∴sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α ＝． 故选A．] 二、填空题 6．cos ＝________． －　[cos (－2 400°)＝cos 2 400° ＝cos (360°×6＋240°) ＝cos 240°＝cos ＝－cos 60°＝－．] 7．已知cos ，则cos ＝________． －　[因为＋θ＝π，所以－θ＝π－， 所以cos ＝cos ＝－cos ．] 8．＝________． －2　[原式＝ ＝ ＝－2．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)求下列三角函数值： (1)sin ；(2)cos ；(3)sin ；(4)cos ． [解]　(1)sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ． (2)cos ＝cos ＝－cos ＝． (3)sin ＝sin ＝sin ＝－sin ． (4)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝＝－cos ． 10．(多选)在△ABC中，给出下列四个选项，结果为常数的是(　　) A．sin (A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C BC　[对于A，sin (A＋B)＋sin C＝sin C＋sin C＝2sin C； 对于B，cos (A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； 对于C，sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C ＝sin [2(π－C)]＋sin 2C＝sin (2π－2C)＋sin 2C ＝－sin 2C＋sin 2C＝0； 对于D，cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C ＝cos [2(π－C)]＋cos 2C＝cos (2π－2C)＋cos 2C ＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．故选BC．] 11．(多选)已知A＝(k∈Z)，则A的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 BD　[当k为偶数时，A＝＝2；当k为奇数时，A＝＝－2．故选BD．] 12．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接) b>a>c　[因为a＝－tan ，b＝cos ＝cos ，c＝sin ＝－sin ， 所以b>a>c．] 13．已知f (x)＝则f ＋的值为________． －2　[因为f ＝sin ＝sin ＝sin ； f ＝f －1＝f －2 ＝sin ． 所以f ＋f ＝－2．] 14．已知α是第三象限角，且 f (α)＝． (1)化简f (α)； (2)若tan (π－α)＝－2，求f (α)的值． [解]　(1)因为f (α)＝ ＝＝＝－cos α， 所以f ＝－cos α． (2)因为tan ＝－tan α＝－2，所以tan α＝2，因为α是第三象限角，所以cos α<0， 所以解得cos α＝－，所以f ＝－cos α＝． 15．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别是． (1)求sin α，sin β的值； (2)求的值． [解]　(1)因为点A，B是单位圆上的点，xA＝，且α，β为锐角，如图， 所以A，B两点的纵坐标分别为yA＝＝， 故由三角函数的定义可知sin α＝yA＝，sin β＝yB＝． (2)由三角函数的定义可得cos α＝xA＝，cos β＝xB＝，则tan β＝， 所以． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $