7.2.2 单位圆与三角函数线-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“单位圆与三角函数线”核心知识点，先通过单位圆定义衔接三角函数定义，明确角α终边与单位圆交点坐标（cosα, sinα），再构建三角函数线概念，以有向线段直观表示正弦线、余弦线、正切线，形成从代数定义到几何直观的学习支架。 资料以“江南水乡水车”情境引入，培养数学眼光观察现实世界。通过分步作图、例题解析与分层作业，强化直观想象和逻辑推理素养，如利用三角函数线解不等式、比较大小。课中辅助教师突破抽象概念教学，课后助力学生通过训练查漏补缺，深化对三角函数几何意义的理解。

7.2.2　单位圆与三角函数线 学习任务 1．了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(数学抽象、直观想象) 3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(逻辑推理、直观想象) 江南水乡，水车在河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然．在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ 问题　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系(如图所示)，设水车的轮廓为单位圆．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴．过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与的关系吗？ [提示]　|sin α|＝||，|cos α|＝||，|tan α|＝||． 知识点1　单位圆与三角函数 (1)单位圆：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合． (2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)． 知识点2　三角函数线 (1)作图：①角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M． ②过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T． (2)图示： (3)结论：分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． (1)三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ (2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由． [提示]　(1)三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值． (2)能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负． (1)正切线始终在单位圆过A(1，0)的切线上． (2)三角函数线的特征 ①位置：三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外． ②方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点． ③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”． ④书写：起点(比如点A)在前，终点(比如点B)在后，写为． 1．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 [答案]　C 2．如果分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是(　　) A．||＜||＜0　　 B．||＜0＜|| C．||＞||＞0 D．||＞||＞0 D　[角β＝的余弦线与正弦线的长度相等，结合图象可知角α＝的余弦线和正弦线满足||＞||＞0． ] 3．角的终边与单位圆的交点的坐标是________． 　[由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，所以角的终边与单位圆的交点的坐标是．] 类型1　三角函数线的作法 【例1】　【链接教材P20例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． (1)；(2)；(3)－． [解]　(1)如图所示，正弦线为，余弦线为，正切线为． (2)如图所示，正弦线为，余弦线为，正切线为． (3)如图所示，正弦线为，余弦线为，正切线为． 【教材原题·P20例1】 例1　作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦值、余弦值和正切值． 解：如图7­2­7所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A(1，0)． 作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线x＝1于T，则的正弦线为，余弦线为，正切线为． 类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为． 在图7­2­7中，根据直角三角形的知识可知， MP＝，OM＝，AT＝，ON＝NR＝，AS＝1， 所以sin ＝，cos ＝－，tan ＝－； sin ＝cos ＝，tan ＝1． 　作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与x轴交点是A(1，0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P． (3)过交点P作x轴的垂线，垂足为M，过A作x轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于点T． (4)得正弦线，余弦线，正切线． [跟进训练] 1．作出的正弦线、余弦线和正切线． [解]　的终边与单位圆交于点P，的终边的反向延长线与过A(1，0)且垂直于x轴的直线交于点T， 过P作PM⊥x轴，交x轴于M，如图， 则是正弦线，是余弦线，是正切线． 类型2　利用三角函数线解不等式 【例2】　(1)若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)求函数y＝lg 的定义域． (1)D　[角α的取值范围为图中阴影部分所示， 即．] (2)[解]　由题意知，自变量x应满足不等式组即 则不等式组的解的取值范围如图(阴影部分)所示， ∴函数的定义域为． 　1．用三角函数线解简单三角不等式的方法 (1)作出取等号的角的终边． (2)利用三角函数线，在单位圆中确定满足不等式的角的范围． (3)将图中的范围用不等式表示出来． 2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可． [跟进训练] 2．函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域为________． [要使原函数有意义，必须有 即 由图可知，解为 取交集可得原函数的定义域为(k∈Z)．] 类型3　三角函数线的综合应用 【例3】　(1)下面四个选项中大小关系正确的是(　　) A．sin <sin B．sin >cos C．cos <cos D．tan <tan (2)设α为锐角(单位为弧度)，试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α，tan α之间的大小关系． [思路导引]　(1)作出角和角的三角函数线，比较三角函数线的长度及看它们的方向．(2)在单位圆中作出三角函数线，利用三角形性质及图形面积证明． (1)B　[如图，在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线，角的正弦线、余弦线，正切线， 由于＝π－，因此和的终边关于y轴对称， 由图可得sin ＝sin >0，cos >0>cos ， tan >0>tan ， ∴sin >0>cos ，∴A，C，D均错误，B正确．] (2)[解]　在单位圆中作出锐角α的正弦线、余弦线和正切线， 根据三角函数的定义，易知 sin α＝MP，α＝，tan α＝AT， 因为S△AOP＝×MP×1＝sin α，S扇形AOP＝×1＝α，S△AOT＝×AT×1＝tan α， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以sin α<α<tan α． 　利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 (1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线． (2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． [跟进训练] 3．设和分别是角π的正弦线、余弦线和正切线，则下列选项中正确的是(　　) A．sin π＜tan π＜cos π B．tan π＜cos π＜sin π C．sin π＜tan π＜0 D．cos π＜tan π＜0 B　[分别作角π的正弦线、余弦线和正切线，如图所示， ∵sin π＝||，∴sin π＞0； ∵cos π＝－||， ∴cos π＜0；∵tan π＝－||，∴tan π＜0． 又||＞||，∴－||＜－||＜0， ∴cos π＞tan π， 故sin π＞cos π＞tan π．] 1．如图，角θ的顶点为原点，始边在x轴的正半轴上，终边OB与单位圆交于点C．过点C作x轴的垂线，垂足为A，则表示的实数是(　　) A．sin θ　　B．cos θ　　C．tan θ　　D． A　[由题意，易得表示的实数是sin θ．故选A．] 2．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角α的终边于T，则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是(　　) A． B． C． D． D　[由题图知，圆O为单位圆，则OA＝OP＝1， 且tan α＝＝AT，sin α＝＝MP，cos α＝＝OM，故角α的正弦线、余弦线、正切线分别是．] 3．已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则tan α＝(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D． C　[由条件知|sin α|＝|cos α|，且sin α>0，cos α<0，所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1．故选C．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在单位圆中，三角函数的定义是什么？角α的终边与单位圆的交点坐标是什么？ [提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，交点坐标为(cos α，sin α)． 2．在单位圆中，三角函数用三角函数线如何表示？三角函数线的用途有哪些？体现了什么思想方法？ [提示]　如图，直观地表示为sin α，表示为cos α，表示为tan α，可用三角函数线比较大小，解不等式等；体现了数形结合思想． 课时分层作业(四)　单位圆与三角函数线 一、选择题 1．(多选)给出下列四个命题，其中正确的有(　　) A．α一定时，单位圆中的正弦线一定 B．单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．α和α＋π有相同的正切线 D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 AD　[由正弦线定义可知当α一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确； 与有相同正弦线，但≠，故B错误； 由正切线的定义可知，当α＝时，α和α＋π的正切线均不存在，故C错误； 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确．] 2．若－<α<－，则sin α，cos α，tan α的大小关系是(　　) A．sin α<tan α<cos α B．tan α<sin α<cos α C．cos α<sin α<tan α D．sin α<cos α<tan α D　[如图，在单位圆中，作出内的一个角α及其正弦线、余弦线、正切线． 由图知，分别与x轴、y轴的正方向相反，而与y轴的正方向相同，所以sin α<cos α<tan α．] 3．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　) A． 4．设a＝sin (－1)，b＝cos (－1)，c＝tan (－1)，则有(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b C　[如图所示，作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线， 因为－<－1<－， 所以b＝cos (－1)>0， a＝sin (－1)<0，c＝tan (－1)<0， 又因正切线的长度大于正弦线的长度， 所以a>c，即c<a<b． 故选C．] 5．已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[由tan A－≥0，则tan A≥， 又0<A<π，由tan A＝，得A＝． 作出的正切线，如图所示． 由图可得，当≤A<时tan A≥，此时≤sin A<1，故sin A的取值范围是．] 二、填空题 6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>．利用三角函数线，得到α的取值范围是________． 　[利用三角函数线得α的终边落在如图所示阴影区域内， 所以α的取值范围是．] 7．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________． cos <sin <tan 　[由图可知cos <0， tan >0，sin >0． 因为||<||， 所以sin <tan ．故从小到大的顺序是cos <sin <tan ．] 8．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则a，b，c的大小顺序为________(按从小到大的顺序排列)． b<a<c　[如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线，角π的余弦线，正切线． 由＝π－知＝， 又<<，易知||>||>||， ∴cos <sin <tan ， 故b<a<c．] 三、解答题 9．利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合． (1)sin α＝－；(2)sin α>－． [解]　作出单位圆如图所示，由图可知： (1)满足sin α＝－的角α的集合为． (2)满足不等式sin α>－的角α的集合为． 10．(多选)下列说法正确的有(　　) A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点 B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在 C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D．余弦线和正切线的始点都是原点 ABC　[根据三角函数线的概念，ABC都是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．] 11．(多选)已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是(　　) A．若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β B．若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α C．若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α D．若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β BCD　[设角α，β的终边分别为射线OP，OQ． 对于A，如图1，sin α＝MP，sin β＝NQ，MP>NQ， 此时cos α＝OM，cos β＝ON，OM<ON， 所以cos α<cos β，故A错误； 对于B，如图2，sin α＝MP，sin β＝NQ，MP>NQ， 此时tan α＝－AC，tan β＝－AB，AC>AB，所以tan α<tan β，故B正确； 对于C，如图3，sin α＝－MP，sin β＝－NQ，MP<NQ，此时cos α＝－OM，cos β＝－ON，OM>ON，所以cos β>cos α，故C正确； 对于D，如图4，sin α＝－MP，sin β＝－NQ，MP<NQ，此时tan α＝－AC，tan β＝－AB，AB>AC，即tan β<tan α，故D正确．] 12．不等式组的解集为________． [由得 在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，如图所示，由三角函数线可得 解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为． ] 13．已知α∈，则sin α＋cos α的取值范围是________． 　[如图，作出单位圆中α的三角函数线，则有cos α＝，sin α＝，OP＝1，在Rt△OPM中，>， ∴sin α＋cos α>1， 又＝1， ∴＝2，即，当且仅当时取等号，∴1<sin α＋cos α≤．] 14．已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围． [解]　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋k∈Z． 15．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小． [解]　θ是第二象限角，即2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋<<kπ＋(k∈Z)． 作出所在范围如图所示． 当2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z)时， 在单位圆中作出的三角函数线，如图所示，易知OM＜MP＜AT， 即cos <sin <tan ． 同理，当2kπ＋<<2kπ＋π(k∈Z)时， sin <cos <tan ． 17/17 学科网（北京）股份有限公司 $