第七章 7.2.2 单位圆与三角函数线-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.2.2 第七章 <<< 单位圆与三角函数线 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 学习目标 前面我们学习了三角函数的坐标法定义，三角函数在各象限内的符号，由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，那么正弦、余弦、正切函数能否用图形表示出来呢？带着这一问题来开启这一节课的学习吧. 导 语 一、单位圆 二、三角函数线 课时对点练 三、利用三角函数线比较大小 随堂演练 内容索引 四、利用三角函数线解不等式(组) 单位圆 一 提示　x2+y2=1，P(cos α，sin α). 设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？ 问题1 1.在平面直角坐标系中，坐标满足________的点组成的集合称为单位圆. 2.角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的_______和_______. x2+y2=1 横坐标 纵坐标 知识梳理 三角函数线 二 提示　MP，OM，AT三线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|. 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？ 问题2 如何体现出三角函数值的符号？ 问题3 提示　有向线段表示三角函数值，也就是用表示sin α，表示cos α，表示tan α，规定其方向与x轴(或y轴)的正方向同向时，表示三角函数值为正值，与x轴(或y轴)的正方向相反时，表示三角函数值为负值. 1.如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，点A(1，0)，角α的终边所在直线与直线x=1交于点T，如图. 习惯上，称为角α的余弦线，为角α的正弦线，为角α的正切线. 2.正弦线、余弦线和正切线都称为___________. 三角函数线 知识梳理 (1)角和角有相同的 A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 例 1 √ 角的终边互为反向延长线，所以正切线相同. 12 (2)作出角的正弦线、余弦线和正切线. 作角的终边(如图)，与单位圆的交点为P，作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线AT，与角的终边的反向延长线交于点T，则角. 13 反 思 感 悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线. (1)已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边 A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上 跟踪训练 1 √ 根据正弦线的定义知，|sin α|=1，所以sin α=±1，所以角α的终边在y轴上. 15 (2)在单位圆中画出满足sin α=的角α的终边，并求角α的取值集合. 已知角α的正弦值为，所以在y轴上取点，过该点作x轴的平 行线，交单位圆于P1，P2两点， 则射线OP1，OP2是角α的终边， 因而角α的取值集合为 . 16 利用三角函数线比较大小 三 比较下列各组数的大小. (1)cos和cos； 例 2 如图，在单位圆中分别作出角. 因为||>||，且角的余弦均为负数，所以cos>cos. 18 (2)sin和tan. 如图，分别作出的正弦线和正切线. 由图知，角， 因为||<||，且的正弦和正切均为正数， 所以tan>sin. 19 反 思 感 悟 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负. 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小； 跟踪训练 2 如图，在单位圆中，分别作出75°和146°的正弦线. ∵||>||，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°. 21 (2)tan与tan的大小. 如图， ∵||>||，且符号皆负， ∴tan<tan. 22 利用三角函数线解不等式(组) 四 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥； 例 3 作直线y=交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为 . 24 (2)cos α≤-. 作直线x=-交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为 . 25 反 思 感 悟 (1)先找到“正值”区间，即0~2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍. (2)注意区间是开区间还是闭区间. 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点 求函数y=的定义域. 跟踪训练 3 由题意知，自变量x应满足1-2cos x≥0， 即cos x≤， 则不等式的解集如图(阴影部分，包括边界)所示， ∴函数的定义域为 . 27 1.知识清单： (1)单位圆. (2)三角函数线. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.角α的终边与单位圆交于点P，则sin α-cos α等于 A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D. √ 依题意cos α=-，sin α=， 所以sin α-cos α=. 1 2 3 4 2.角-和角有相同的 A.正弦线　　　B.余弦线　　　C.正切线　　　D.不能确定 √ ∵角-是第二象限角，角-的终边在同一条直线上， ∴有相同的正切线. 3.设a=sin，b=cos，c=tan，则 A.a<b<c　　　　B.a<c<b　　　　C.b<c<a　　　　D.b<a<c 1 2 3 4 √ 作的三角函数线， 的正弦线、余弦线、正切线分 别为. ∵<<， ∴||<||<||，∴b<a<c. 1 2 3 4 4.不等式sin x≤的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  如图，作出满足sin x=，∠M2OP2=，∠M2OP1=. 当角的终边位于图中阴影部分时满足sin x≤， 因此不等式sin x≤的解集为 . 　 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C ACD B C D B <  或 题号 11 12 13 14　 15 答案 D D C cos<sin<sin<tan D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，设70°角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M；延长OP，交直线x=1于点T，则向量为70°角的正弦线，向量为70°角的余弦线， 向量为70°角的正切线. (2)如图，作角-的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，延长OP，交直线x=1于点T，则向量为角-为角- 为角-的正切线. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 依题意 即 在直角坐标系中作单位圆，如图所示，由三角函数线可得 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为. 所以函数f(α)的定义域为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线为有向线段，则||=sin α，||=tan α. 因为S△AOP=OA·MP=sin α， S扇形AOP=αOA2=α， S△AOT=OA·AT=tan α， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以sin α<α<tan α， 即sin α<α<tan α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是 A.正弦线为，正切线为 B.正弦线为，正切线为 C.正弦线为，正切线为 D.正弦线为，正切线为 √ 答案 2.(多选)下列四个命题中，正确的是 A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由三角函数线的定义知ACD正确，B错误. √ √ 答案 3.有三个命题：①和的正弦线相等；②和的正切线相等；③和 的余弦线相等.其中真命题的个数为 A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据三角函数线的定义可知，的正切线相等；③的余弦线相反. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 √ ∵1，1.2，1.5均在内随角的增大而逐渐 增大， ∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若α是三角形的内角，且sin α+cos α=，则这个三角形是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 √ 当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α+cos α≥1，而sin α +cos α=，所以α必为钝角，即该三角形是钝角三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.点P为单位圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至 点P'，当转过的弧长为时，点P'的坐标为 A.　　B.　　C.　　D. 点P从点(1，0)开始逆时针旋转到点P'， 转过的角度为θ，则θ==， 从而可知P'. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为1<，且都是第一象限角，由它们的正切线知tan 1<tan. 7.比较大小：tan 1　　tan.(填“>”或“<”)  <  答案 8.若角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，则α的值 为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异可知sin α =-cos α，即角α的终边为二、四象限的角平分线，所以α=. 或 答案 9.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)70°； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设70°角的终边与单位圆的交点为P，过点P作 x轴的垂线，垂足为M；延长OP，交直线x=1于点T，则向量为70°角的正弦线，向量为70°角的余弦线，向量为70°角的正切线. 答案 (2)-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作角-的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的 垂线，垂足为M，延长OP，交直线x=1于点T，则向量 为角-为角-为角-的正切线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(α)=+lg(2cos α-1)，求函数f(α)的定义域. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意 即 在直角坐标系中作单位圆，如图所示，由三角函数线可得 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为. 所以函数f(α)的定义域为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是 A. B. C. D.∪ √ 综合运用 由题意，角α的取值范围为图中阴影部分(不含边界)，即∪. 答案 12.已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是 A.若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α>tan β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图(1)可知cos α<cos β； 由图(2)可知tan α<tan β； 由图(3)可知cos α<cos β； 由图(4)可知tan α>tan β. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α< cos α<sin α，则点P所在的圆弧是 A. B. C. D. 分别在几段圆弧上画出其三角函数线(图略)，可知C正确. √ 答案 14.把sin，sin，cos，tan由小到大排列为　　　　 　 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos<sin<sin<tan 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知， ， ， ， . ∴cos<0<sin<sin<tan. ∴cos<sin<sin<tan. 答案 15.点P(sin 3-cos 3，sin 3+cos 3)所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为<<3<π，作出单位圆如图所示. 3弧度的正弦线、余弦线分别为， 所以sin 3>0，cos 3<0.所以sin 3-cos 3>0. 因为||<||， 所以sin 3+cos 3=||-||<0. 故点P(sin 3-cos 3，sin 3+cos 3)在第四象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.当α∈时，求证：sin α<α<tan α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线为有向线段，则||=sin α，||=tan α. 因为S△AOP=OA·MP=sin α， S扇形AOP=αOA2=α， S△AOT=OA·AT=tan α， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以sin α<α<tan α， 即sin α<α<tan α. 答案 第一章 <<< $$ 7.2.2　单位圆与三角函数线 ［学习目标］　1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 导语　 前面我们学习了三角函数的坐标法定义，三角函数在各象限内的符号，由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，那么正弦、余弦、正切函数能否用图形表示出来呢？带着这一问题来开启这一节课的学习吧. 一、单位圆 问题1　设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？ 提示　x2+y2=1，P(cos α，sin α). 知识梳理　 1.在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆. 2.角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 二、三角函数线 问题2　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？ 提示　MP，OM，AT三线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|. 问题3　如何体现出三角函数值的符号？ 提示　用有向线段表示三角函数值，也就是用表示sin α，表示cos α，表示tan α，规定其方向与x轴(或y轴)的正方向同向时，表示三角函数值为正值，与x轴(或y轴)的正方向相反时，表示三角函数值为负值. 知识梳理　 1.如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，点A(1，0)，角α的终边所在直线与直线x=1交于点T，如图. 习惯上，称为角α的余弦线，为角α的正弦线，为角α的正切线. 2.正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 例1　(1)角和角有相同的(　　) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 答案　C 解析　角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同. (2)作出角的正弦线、余弦线和正切线. 解　作角的终边(如图)，与单位圆的交点为P，作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线AT，与角的终边的反向延长线交于点T，则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. 反思感悟　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线. 跟踪训练1　(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上 答案　B 解析　根据正弦线的定义知，|sin α|=1，所以sin α=±1，所以角α的终边在y轴上. (2)在单位圆中画出满足sin α=的角α的终边，并求角α的取值集合. 解　已知角α的正弦值为，所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点， 则射线OP1，OP2是角α的终边， 因而角α的取值集合为 . 三、利用三角函数线比较大小 例2　比较下列各组数的大小. (1)cos和cos； (2)sin和tan. 解　(1)如图，在单位圆中分别作出角和角的余弦线和. 因为||>||，且角和角的余弦均为负数，所以cos>cos. (2)如图，分别作出的正弦线和正切线. 由图知，角的正弦线和正切线分别为，， 因为||<||，且的正弦和正切均为正数， 所以tan>sin. 反思感悟　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负. 跟踪训练2　利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小； (2)tan与tan的大小. 解　(1)如图，在单位圆中，分别作出75°和146°的正弦线，. ∵||>||，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°. (2)如图， ∵||>||，且符号皆负， ∴tan<tan. 四、利用三角函数线解不等式(组) 例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥；(2)cos α≤-. 解　(1)作直线y=交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为 . (2)作直线x=-交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为 . 反思感悟　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间，即0~2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍. (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练3　求函数y=的定义域. 解　由题意知，自变量x应满足1-2cos x≥0， 即cos x≤， 则不等式的解集如图(阴影部分，包括边界)所示， ∴函数的定义域为 . 1.知识清单： (1)单位圆. (2)三角函数线. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负. 1.角α的终边与单位圆交于点P，则sin α-cos α等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　依题意cos α=-，sin α=， 所以sin α-cos α=. 2.角-和角有相同的(　　) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 答案　C 解析　∵角-是第四象限角，角是第二象限角，角-和的终边在同一条直线上， ∴有相同的正切线. 3.设a=sin，b=cos，c=tan，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案　D 解析　作的三角函数线， 的正弦线、余弦线、正切线分 别为，，. ∵<<， ∴||<||<||，∴b<a<c. 4.不等式sin x≤的解集为　　　　.  答案　 解析　如图，作出满足sin x=的角的正弦线和，∠M2OP2=，∠M2OP1=. 当角的终边位于图中阴影部分时满足sin x≤， 因此不等式sin x≤的解集为 . 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 　　　　　　　　　　　　　　　　 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A.正弦线为，正切线为 B.正弦线为，正切线为 C.正弦线为，正切线为 D.正弦线为，正切线为 答案　C 2.(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 答案　ACD 解析　由三角函数线的定义知ACD正确，B错误. 3.有三个命题：①和的正弦线相等；②和的正切线相等；③和的余弦线相等.其中真命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 答案　B 解析　根据三角函数线的定义可知，和的正弦线相等；和的正切线相等；③和的余弦线相反. 4.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是(　　) A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案　C 解析　∵1，1.2，1.5均在内，正弦线在内随角的增大而逐渐增大， ∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 5.若α是三角形的内角，且sin α+cos α=，则这个三角形是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案　D 解析　当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α+cos α≥1，而sin α+cos α=，所以α必为钝角，即该三角形是钝角三角形. 6.点P为单位圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P'，当转过的弧长为时，点P'的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　点P从点(1，0)开始逆时针旋转到点P'， 转过的角度为θ，则θ==， 从而可知P'. 7.(5分)比较大小：tan 1　　　　tan.(填“>”或“<”)  答案　< 解析　因为1<，且都是第一象限角，由它们的正切线知tan 1<tan. 8.(5分)若角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，则α的值为　　　　.  答案　或 解析　根据角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异可知sin α=-cos α，即角α的终边为二、四象限的角平分线，所以α=或. 9.(10分)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)70°；(5分) (2)-.(5分) 解　(1)如图，设70°角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M；延长OP，交直线x=1于点T，则向量为70°角的正弦线，向量为70°角的余弦线，向量为70°角的正切线. (2)如图，作角-的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，延长OP，交直线x=1于点T，则向量为角-的正弦线，向量为角-的余弦线，向量为角-的正切线. 10.(12分)已知函数f(α)=+lg(2cos α-1)，求函数f(α)的定义域. 解　依题意 即 在直角坐标系中作单位圆，如图所示，由三角函数线可得 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为. 所以函数f(α)的定义域为. 11.若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 答案　D 解析　由题意，角α的取值范围为图中阴影部分(不含边界)，即∪. 12.已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　) A.若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α>tan β 答案　D 解析　由图(1)可知cos α<cos β；由图(2)可知tan α<tan β；由图(3)可知cos α<cos β；由图(4)可知tan α>tan β. 13.如图所示，在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则点P所在的圆弧是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　分别在几段圆弧上画出其三角函数线(图略)，可知C正确. 14.(5分)把sin，sin，cos，tan由小到大排列为　　　　　　　　　　　　　.  答案　cos<sin<sin<tan 解析　由图可知， 的正弦线为， 的正弦线为， 的余弦线为， 的正切线为. ∴cos<0<sin<sin<tan. ∴cos<sin<sin<tan. 15.点P(sin 3-cos 3，sin 3+cos 3)所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　因为<<3<π，作出单位圆如图所示. 3弧度的正弦线、余弦线分别为，， 所以sin 3>0，cos 3<0.所以sin 3-cos 3>0. 因为||<||， 所以sin 3+cos 3=||-||<0. 故点P(sin 3-cos 3，sin 3+cos 3)在第四象限. 16.(12分)当α∈时，求证：sin α<α<tan α. 证明　如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线为有向线段，，则||=sin α，||=tan α. 因为S△AOP=OA·MP=sin α， S扇形AOP=αOA2=α， S△AOT=OA·AT=tan α， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以sin α<α<tan α， 即sin α<α<tan α. 学科网（北京）股份有限公司 $$