8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦公式及辅助角公式，通过情境问题引导学生利用诱导公式和两角和差的余弦公式推导新知，构建从已知到未知的知识支架，帮助学生形成逻辑连贯的知识链。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过问题链驱动公式推导，结合分层题型（课前自主体验、关键能力合作探究、课堂评估）提升数学运算能力。辅助角公式应用实例（如函数化简求最值）培养数学思维，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学，提升学生知识应用与探究能力。

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2　三角恒等变换 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第1课时　两角和与差的正弦 学习 任务 1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(逻辑推理) 2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(逻辑推理、数学运算) 第1课时　两角和与差的正弦 问题　(1)由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ (2)用类比的方法，由sin (α＋β)能推导出sin (α－β)吗？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　两角和与差的正弦 [提示]　(1)sin (α＋β)＝cos ＝cos ＝cos ·cos β＋sin ·sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)sin (α－β)＝sin [α＋(－β)] ＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β) ＝sin αcos β－cos αsin β． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 知识点1　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 Sα＋β sin (α＋β)＝_____________________ α，β∈R 两角差 的正弦 Sα－β sin (α－β)＝_____________________ α，β∈R sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 思考　对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？ [提示]　可简单记为“正余余正，符号同”，展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 知识点2　辅助角公式 a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)(或a sin x＋b cos x＝·cos (x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　) (2)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　) (3)sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin 30°． (　　) √ √ √ [提示]　(1)根据公式的推导过程可得． (2)当α＝30°，β＝0°时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β． (3)因为sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin (56°－26°) ＝sin 30°，故原式正确． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 2．sin 160°cos 10°＋cos 20°sin 10°的值是(　　) A．　　　B．－　　　C．－　　　D． √ A　[由诱导公式得sin 160°＝sin 20°， 故sin 160°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin ＝sin 30°＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 3．cos －sin 的值为(　　) A．0　　B．－ 　　C． 　　D．2 √ C　[cos －sin ＝2cos ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用公式化简求值 【例1】　计算： (1)cos 285°cos 15°－sin 255°sin 15°； (2)sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°； (3)sin (x＋60°)＋2sin (x－60°)－cos (120°－x)． 第1课时　两角和与差的正弦 [解]　(1)原式＝cos (270°＋15°)cos 15°－sin (270°－15°)sin 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin (15°＋15°)＝sin 30°＝． (2)原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°cos (270°＋37°)＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin (7°－37°)＝sin (－30°)＝－． (3)原式＝sin x cos 60°＋cos x sin 60°＋2sin x cos 60°－2cos x sin 60°－cos 120°cos x－sin 120°sin x＝3sin x cos 60°－cos x sin 60°＋cos 60°cos x－＝sin x－cos x＋cos x－sin x＝0． 反思领悟　解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： ①化为特殊角的三角函数值． ②化为正负相消的项，消去，求值． ③化为分子、分母形式，进行约分再求值． (2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 [跟进训练] 1．(1)＝(　　) A．－　　　B．1　　　C．　　　D．2 (2)cos sin －sin cos (10°＋α)＝________． √ － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 (1)C　(2)－　[(1) ＝ ＝＝＝2sin 60°＝． (2)cos sin －sin (70°＋α)cos (10°＋α) ＝cos sin －sin ＝cos sin (10°＋α)－sin (70°＋α)cos (10°＋α) ＝sin ＝sin ＝－sin 60°＝－．] 类型2　给值(式)求值 【例2】　设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝ －，求sin (α＋β)的值． [思路导引]　应用公式→注意角的范围→求出所给角的正弦值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 [解]　因为α∈，cos α＝－， 所以sin α＝，因为β∈，sin β＝－， 所以cos β＝． 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝． [母题探究] 1．(变条件)若将角β的条件改为第三象限角，其他条件不变，则结果如何？ [解]　因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝． 因为β为第三象限角，sin β＝－，所以cos β＝－． 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ ＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 2．(变结论)若条件不变，试求sin (α－β)＋cos (α－β)的值． [解]　由例题解析得sin (α－β)＋cos (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 反思领悟　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 [跟进训练] 2．(1)已知sin θ＝，θ∈，求sin ； (2)已知sin ，θ∈，求sin θ． [解]　(1)∵θ∈，sin θ＝，∴cos θ＝－， ∴sin ＝sin θcos ＋cos θsin ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 (2)∵θ∈，∴θ－∈，又sin ， ∴cos ， ∴sinθ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ． 类型3　辅助角公式的应用 【例3】　【链接教材P98例4】 设函数f (x)＝sin x＋sin ． (1)求f (x)的最小值，并求使f (x)取得最小值的x的集合； (2)不画图，说明函数y＝f (x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 [解]　(1)f (x)＝sin x＋sin x cos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin ， 当sin ＝－1时，f (x)min＝－， 此时x＋＋2k(k∈Z)，所以x＝＋2k(k∈Z)． 所以f (x)的最小值为－，取得最小值时x的集合为 ． (2)将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象； 然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得f (x)＝sin 的图象． 【教材原题·P98例4】 例4　已知函数f (x)＝sin 5x－cos 5x，求f (x)的周期、最小值及最小值点． 解：因为＝2，所以f (x)＝2 ＝2＝2sin ． 由此可知函数f (x)的周期为，最小值为－2，而且最小值点x0满足5x0－＋2k，k∈Z，因此最小值点为－，k∈Z． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 反思领悟　辅助角公式a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)可以把含sin x，cos x的一次式化为A sin (ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝确定．研究形如f (x)＝asin x＋b cos x的函数的性质都要用到该公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 [跟进训练] 3．已知Rt△ACB中，两直角边AC＝b，BC＝a，斜边AB＝c，周长为定值l，求斜边c的最小值． [解]　在Rt△ACB中，C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c．则a＝c sin A，b＝c cos A，∴l＝a＋b＋c＝c(1＋sin A＋cos A)，∴c＝．∵sin ≤1，∴c＝＝l，即当sin 时，斜边c最小，最小值为l． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 学习效果·课堂评估夯基础 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． √ D　[ ] 第1课时　两角和与差的正弦 2．cos x－sin x＝(　　) A．2cos B．2cos C．2sin D．2sin √ D　[cos x－sin x＝2 ＝2＝2sin ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 3．(教材P99练习AT3改编)若cos θ＝－且θ∈，则sin 的值为(　　) A． B．－ C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 A　，故sin θ>0， 因为cos θ＝－，所以sin θ＝， 所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ．] 4．＝________． 　[＝ ＝＝ ＝＝cos 60°＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两角和与差的正弦公式如何表示？有何结构特点？ [提示]　sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． 特点：(1)公式中的α，β均为任意角． (2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 2．两角和与差的正弦、余弦公式有何内在联系？ [提示]　两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．化简cos (x＋y)sin y－sin (x＋y)cos y＝(　　) A．sin(x＋2y)　　　　　 B．－sin(x＋2y) C．sin x D．－sin x 课时分层作业(十八)　两角和与差的正弦 √ D　[cos (x＋y)sin y－sin (x＋y)cos y＝sin [y－(x＋y)]＝－sin x．] 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin ＝(　　) A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D． √ A　[因为cos α＝－，α是第三象限角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 37 3．已知α，β为锐角，且sin β＝，cos (α＋β)＝－，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，)． 因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝． 因为sin β＝，所以cos β＝＝， 故sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝＝．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 38 4．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是(　　) A．cos B．2cos C．sin D．2sin 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ BD　[cos α－sin α＝2＝2＝2cos ＝2sin ．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 39 5．已知cos α＝，α∈，sin ＝－，β∈，则β＝(　　) A．　　B．　　C．　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 40 D　[由α∈，β∈，可得α＋β∈， 又sin ＝－，所以cos ＝， 又cos α＝，α∈，所以sin α＝－， 所以sin β＝sin ＝sin cos α－cos sin α＝＝，由β∈，可得β＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 41 二、填空题 6．函数f (x)＝sin x－cos x在[0，]上的最大值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，]时，x－∈， sin ∈，于是f (x)∈[－，2]，故f (x)在[0，]上的最大值为2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 42 7．cos 16°cos 104°－sin 16°cos 14°＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[cos 16°cos 104°－sin 16°cos 14° ＝－cos 16°·sin 14°－sin 16°cos 14° ＝－(cos 16°sin 14°＋sin 16°·cos14°) ＝－sin ＝－sin 30°＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 43 8．计算 ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为sin 68°＝sin (60°＋8°)＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°，cos 68°＝cos (60°＋8°)＝cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°， 所以＝＝tan 60°＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 44 三、解答题 9．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均为锐角，求sin α的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由α，β均为锐角，可知0°<α＋β<180°，从而sin β>0，sin (α＋β)>0． 由cos (α＋β)＝，得sin (α＋β)＝＝＝． 由cosβ＝，得sin β＝＝＝． 由公式Sα－β，可得 sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 45 10．(多选)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值，则下列式子的结果等于的是(　　) A．sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8° B．cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32° C．sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26° D．sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 46 ABD　[对于A，sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°＝sin (10°＋8°) ＝sin 18°＝，A正确； 对于B，cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°＝sin 50°·cos 32°－ cos 50°sin 32°＝sin ＝sin 18°＝，B正确； 对于C，sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°＝sin (100°＋26°) ＝sin 126°＝sin 54°≠，C错误； 对于D，sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°＝sin 92°·cos 74°－ cos 92°sin 74°＝sin ＝sin 18°＝，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 11．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　) A．　　 B． C．或　　 D．或 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 48 A　[由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin (A＋B)＝37，所以sin (A＋B)＝， 所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝．又1－3cos A＝ 4sin B>0，所以cos A<． 又<，所以A>，所以C<， 所以C＝不符合题意，所以C＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 12．已知α，β∈，sin ＝，tan α＝2tan β， 则sin ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由tan α＝2tan β得，＝， 则sin αcos β＝2cos αsin β，① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 50 由sin ＝得， sin αcos β＋cos αsin β＝，② 联立①②解得 ∴sin ＝sin αcos β－cos αsin β＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 13．若<β<<α<，且cos ＝－，sin 2β＝，则α－β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为<β<，所以<2β<2， 又sin 2β＝>0，所以<2β<，所以<β<， 所以－<－β<－，又<α<，所以<α－β<． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 52 因为<2β<，sin 2β＝，则cos 2β＝－， 因为<α＋β<2，cos ＝－， 所以sin ＝－， 所以sin ＝sin ＝sin ·cos 2β－cos sin 2β ＝－＝，所以α－β＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 14．已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3，4)． (1)求sin 的值； (2)若锐角β满足cos (α＋β)＝－，求sin β的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 54 [解]　(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3，4)， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin ＝sin cos α＋cos sin α ＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 (2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，)， 因为cos (α＋β)＝－＜0， 所以α＋β∈，所以sin (α＋β)＝． 所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 15．设函数f (x)＝sin －cos x． (1)求f (x)的最小正周期； (2)若函数y＝g(x)与y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　两角和与差的正弦 57 [解]　(1)f (x)＝sin x cos －cos x sin －cos x ＝sin x－cos x＝sin ， 故f (x)的最小正周期为T＝＝8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 (2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于直线x＝1的对称点为(2－x，g(x))． 由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f (x)的图象上，从而g(x)＝f (2－x)＝sin ＝sin ＝cos ． 当0≤x≤时，x＋，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos ＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 法二：因为区间关于直线x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f (x)在上的最大值． 由(1)知f (x)＝sin ， 当≤x≤2时，－x－． 因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝sin ＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 $