8.1.3 向量数量积的坐标运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标运算，系统讲解数量积、模、夹角及垂直的坐标表示，通过情境问题引导学生用单位向量基底推导公式，衔接几何定义与代数运算，构建知识支架。 其亮点在于情境导学结合问题链设计，以具体向量运算推导公式培养逻辑推理，分层例题（基础运算、垂直夹角、正方形动点综合）提升数学运算能力，结构化小结助力知识体系构建。学生能深化理解，教师可借实例与分层训练提高教学效率。

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 8.1.3　向量数量积的坐标运算 学习任务 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(逻辑推理、数学运算) 2．能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式．(数学运算、逻辑推理) 3．能根据向量的坐标判定两个向量垂直．(数学运算) 8.1.3　向量数量积的坐标运算 本节讲解平面向量数量积的坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究． 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 必备知识·情境导学探新知 8.1.3　向量数量积的坐标运算 [提示]　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j， 则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2． 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0， 故a·b＝8． 8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 知识点1　向量的坐标与向量的数量积 在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2后，如果对于平面内的向量a，有a＝xe1＋ye2，则向量a的坐标为__________，记作a＝(x，y)，且{e1，e2}是一组单位正交基底，e1·e1＝e2·e2＝__，e1·e2＝e2·e1＝0． (x，y) 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 知识点2　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝______________ 向量垂直 a⊥b⇔_______________＝0 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 思考　1．向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？ [提示]　公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 知识点3　三个重要公式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)向量的模：a2＝⇔_________________________． (2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝_________________ ． (3)向量的夹角公式： cos 〈a，b〉＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 思考　2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？ [提示]　(1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0； (2)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＝(m，0)，则|a|＝m． (　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0． (　　) (3)a·b≠0，则a与b不垂直． (　　) × √ × [提示]　(1)若a＝(m，0)，则|a|＝|m|． (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)a·b≠0⇔a与b不垂直． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 2．已知向量a＝，b＝，则a·b＝________． －2　[因为向量a＝，b＝， 所以a·b＝1×2＋2×＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 3．设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则a与b的夹角为________． 　[由题意可得，a·b＝2×1＋0×1＝2，＝＝2，＝＝， 则cos 〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈，故a与b的夹角为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 4．已知向量a，b满足a＝，b＝＝3，则实数x＝________． 1　[已知向量a，b满足a＝，b＝， 所以a＋b＝， 则＝＝3，解得x＝1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 关键能力·合作探究释疑难 类型1　向量数量积的坐标运算 【例1】　【链接教材P86例1】 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12　　　B．0　　　C．－3　　　D．－11 √ 8.1.3　向量数量积的坐标运算 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6，3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为___________________． √ (3，4)或(4，3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 (1)C　(2)C　(3)(3，4)或(4，3)　[(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)， ∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3． (2)由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4． (3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6，3)－(2，－1)＝(4，4)，所以b＝(2，2)．设c＝(x，y)， 则由题可知 解得或所以c＝(3，4)或c＝(4，3)．] 【教材原题·P86例1】 例1　已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，〈a，b〉． 解：由题意可知 a·b＝(3，－1)·(1，－2)＝3×1＋(－1)×(－2)＝5， |a|＝＝＝， |b|＝＝＝． 又因为cos 〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 反思领悟　1．数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2， (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 2．求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2， 于是有|a|＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 [跟进训练] 1．(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)已知a＝，b＝，则|2a－b|＝________． √ 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 (1)C　(2)6　[(1)因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)， 则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1． (2)因为a＝，b＝， 所以2a－b＝，所以＝＝6．] 类型2　向量数量积的坐标运算与垂直、夹角问题 【例2】　【链接教材P86例2、P87例3】 (1)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)设平面向量a＝，b＝，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为____________________． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 (1)D　(2)　[(1)因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2． 故选D． (2)因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0且不反向共线，a·b＝－2＋λ， 即－2＋λ<0，解得λ<2． 当两向量反向共线时，存在m<0使a＝mb， 即＝，解得λ＝－， 所以λ的取值范围为．] 【教材原题·P86例2、P87例3】 例2　已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求∠BAC的余弦值． 解：因为＝(3－1，4－2)＝(2，2)， ＝(5－1，0－2)＝(4，－2)， 所以＝2×4＋2×(－2)＝4， ||＝＝，||＝＝， 因此cos ∠BAC＝＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 例3　已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：⊥． 证明：因为＝(2，3)－(1，2)＝(1，1)， ＝(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)， 所以＝(1，1)·(－3，3)＝1×(－3)＋1×3＝0， 因此⊥． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 反思领悟　利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积：利用向量数量积的坐标表示求出两个向量的数量积． (2)求模：利用|a|＝计算两向量的模． (3)求夹角余弦值：由公式cos θ＝求夹角的余弦值． (4)求角：由向量夹角的范围及cos θ求θ的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 [跟进训练] 2．(1)已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若⊥b，则＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)设向量a＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤)，b＝(－2，0)，则a与b的夹角为____________． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 (1)D　(2)　[(1)因为a＝(x，)，b＝(x，－)，所以2a＋b＝， 又⊥b，所以·b＝0，即3x2－3＝0，所以x2＝1，因此＝＝2． (2)设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝sin α， ∵α∈[0，]，∴θ＝．] 类型3　向量数量积的坐标运算的综合应用 【例3】　【链接教材P87例5】如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点(不含端点)，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F． (1)求〈〉． (2)设a＝，点Q满足＝2a． ①证明：a⊥； ②当点P运动时，求的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 [思路导引]　建立平面直角坐标系―→设出点P的坐标―→利用坐标法求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 [解]　(1)如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A，B，C，D， 设P， 则E，F， 所以＝＝， 所以＝－t＋t＝0， 所以〈〉＝． (2)①证明：因为a＝， 所以a·＝＝0，所以a⊥． ②因为＝2a，所以⊥，即⊥． 设M是线段DQ的中点，则＝＝a＝， 因此＝＝＝， 从而∥，因此P，M，C三点共线． 结合QD⊥AC，及线段QD的中点M在AC上， 得Q，D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合， 所以＝， 所以＝－t2＝1－2t，t∈， 所以的取值范围是． 【教材原题·P87例5】 例5　如图8-1-13所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF．求证：DP⊥EF． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图8-1-14所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，从而 ＝(1，0)，＝(0，1)． 由已知，可设P(a，a)，其中0<a<1，则E(a，0)， F(1，0)，因此＝(a，a－1)，＝(1－a，a)． 又因为＝a(1－a)＋(a－1)a＝0， 所以⊥，因此DP⊥EF． 反思领悟　解决向量数量积的最值的方法技巧 (1)“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断． (2)“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 [跟进训练] 3．如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为(　　) A．[2，6] B．[－2，6] C．[4，12] D．[－4，12] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 B　[建立如图所示的坐标系， 因为正六边形的边长为2， 所以A1(－1，－)，A2(1，－)，A3(2，0)， A4(1，)，A5(－1，)，A6(－2，0)， 设P(x0，y0)，则＝(2，0)，＝(x0＋1，y0＋)， 所以＝2(x0＋1)， 由题意可知x0∈[－2，2]，所以x0＋1∈[－1，3]， 所以2(x0＋1)∈[－2，6]，即＝2(x0＋1)∈[－2，6]．] 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ B　[∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5， ∴cos θ＝＝＝(θ为a，b的夹角)． 又∵a，b的夹角的范围为[0，]，∴a与b的夹角为．] 8.1.3　向量数量积的坐标运算 2．(教材P90习题8－1AT7改编)已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 √ B　[cos A＝＝＝0，则A＝．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 3．正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是________． －　[法一：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C， － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 ∴a＝，b＝，c＝(1，0)， ∴a·b＝＝－，同理b·c＝c·a＝ －，∴a·b＋b·c＋c·a＝－． 法二：a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝3×＝－．] 4．(教材P90习题8－1BT3改编)设向量a＝，b＝，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为_______________． 　[∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，即<0， 化简得3m2－2m－8<0，解得－<m<2，因此，实数m的取值范围是．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．本节课学习了哪些平面向量的坐标表示？ [提示]　(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)坐标表示下的运算： 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝． (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cos θ＝直接求出cos θ．由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 2．求向量模的最值(范围)有哪些方法？ [提示]　求向量模的最值(范围)的两种方法． 代数法 把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 几何法 弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b＝(　　) A．23　 　B．57　 　C．63　 　D．83 课时分层作业(十六)　向量数量积的坐标运算 √ D　[3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83．故选D．] 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos 〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 49 B　[因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1， －1)，则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 3．已知向量a＝，b＝，则向量a在b上的投影的数量为(　　) A． B． C．－ D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 51 D　[由题意可得，a·b＝2×＋1×4＝－2，＝＝5， 故向量a在b上的投影的数量为cos 〈a，b〉＝＝＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 4．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 (　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 53 D　[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)， 由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0， 即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 5．在正方形ABCD中，AB＝2，P为BC的中点，Q为CD的中点，M为边AB上的动点(包括端点)，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 55 D　[以B为原点，BC，BA方向分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 由题可知B，P，Q， 设M，则0≤n≤2， 所以＝＝n－1， 因为0≤n≤2，所以－1≤n－1≤1， 即∈．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 二、填空题 6．已知向量a＝(1，0)，b＝(x，1)，若a·b＝2，则|a＋b|＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为a·b＝2，所以x＝2． 所以a＋b＝(3，1)，所以|a＋b|＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 57 7．已知向量a＝，b＝，且a⊥b，则＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5　[由a⊥b可得，a·b＝0，即－＋2＝0，解得m＝，则b＝，所以a－2b＝＝， 所以＝＝5．] 5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 58 8．已知a＝(2，1)，b＝(1，2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[因为a＋tb＝(2＋t，1＋2t)，所以|a＋tb| ＝＝． 所以当t＝－时，|a＋tb|有最小值．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 59 三、解答题 9．已知向量a＝，b＝，c＝，t∈R． (1)求的最小值及相应t的值； (2)若b－a与c共线，求a与c的夹角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 60 [解]　(1)因为a＝，b＝， 所以a＋b＝， 所以＝＝ ＝＝， 当且仅当t＝时取“＝”，即的最小值为，此时t＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 (2)因为b－a＝，c＝， 所以由b－a与c共线得×3＝0， 解得t＝，此时a＝， 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 又θ∈，故a与c的夹角为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 10．已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝(　　) A．－6　　B．－5　　C．5 　　D．6 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[由已知得c＝(3＋t，4)，cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，故＝，解得t＝5．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 63 11．(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　) A．|a＋b|＝2 B．a与b垂直 C．a与a－b的夹角为 D．|a－b|＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 64 BC　[因为a＋b＝(1，－1)，则|a＋b|＝，所以A选项错误；所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝2，因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，]，所以a与a－b的夹角为，所以C选项正确．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 12．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∪(1，) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 66 ∪(1，)　[如图，作＝a，则A(1，1)． 作，使∠AOB1＝∠AOB2＝， 则∠B1Ox＝＝，∠B2Ox＝＝， 故B1，B2(1，)． 又a与b的夹角不为0，故m≠1． 由图可知实数m的取值范围是∪(1，)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 68 　[以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则E，F， ＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝＝， ＝＝， 由＝b2－a2＋c2＝4，＝－a2＋＝－1， 解得b2＋c2＝，a2＝，则＝(b2＋c2)－a2＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 14．如图，已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 70 [解]　(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴＝(1，1)，＝(－3，3)，∴＝1×(－3)＋1×3＝0，即⊥，∴AB⊥AD． (2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝． 设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)． 又∵＝(1，1)，∴解得 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 ∴点C的坐标为(0，5)．∴＝(－2，4)，＝(－4，2)， ∴||＝2，||＝2＝8＋8＝16． 设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝． 故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 15．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb，λ∈R． (1)λ为何值时，|c|最小？此时b与c的位置关系如何？ (2)λ为何值时，a与c的夹角最小？此时a与c的位置关系如何？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 8.1.3　向量数量积的坐标运算 73 [解]　(1)由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得 c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)， |c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2 ＝25＋4， 当λ＝－时，|c|最小，此时c＝， b·c＝0，所以b⊥c． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 (2)设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大， 由于θ∈[0，]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，即＝1， 解得λ＝0，c＝(1，2)． 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 $