7.3.4 正切函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过“两小儿辩日”情境导入，类比正弦、余弦函数，以问题链引导学生探究定义域、周期性等核心性质，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，情境导学抽象生活问题培养探究意识，例题中“三点两线法”绘图、换元法求值域等体现逻辑推理与运算能力，对比小结构建知识体系。分层作业满足不同需求，学生能提升数学素养，教师可高效开展教学。

第七章 三角函数 7.3　三角函数的性质与图象 7.3.4　正切函数的性质与图象 学习任务 1．掌握正切函数的定义域、值域．(数学运算) 2．掌握正切函数的奇偶性、周期性、单调性及零点等性质． (逻辑推理) 3．会画正切函数的图象，并能运用图象解决不等式问题．(直观想象、逻辑推理) 4．掌握正切型函数的性质及简单应用．(逻辑推理、数学运算) 7.3.4　正切函数的性质与图象 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故．一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 必备知识·情境导学探新知 7.3.4　正切函数的性质与图象 问题　类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质． (1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图象是连续的吗？ [提示]　(1)y＝tan x是周期函数，且T＝，无最大值，也无最小值． (2)正切函数的图象在定义域上不是连续的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 知识点1　正切函数及其性质 1．正切函数的定义 对于任意一个角x，只要x≠＋k，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 2．正切函数的性质 定义域与值域 定义域为______________________值域为 ___ 奇偶性 奇函数 周期 ___ 单调性 单调递增区间___________________ (k∈Z) 零点 k，k∈Z R π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 思考　1．(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？ (2)函数y＝A tan (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示]　(1)不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数． (2)T＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 知识点2　正切函数的图象 (1)正切函数的图象 y＝tan x的图象如图． (2)正切函数的图象叫做____________． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为 (k∈Z)，且过点． 正切曲线 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 思考　2．函数y＝sin x，y＝cos x的图象均可利用“五点法”作出其图象简图，那么正切函数y＝tan x是否也有特殊点？你能利用特殊点，作出函数y＝tan x，x∈上的图象吗？ [提示]　正切函数图象可用“三点两线法”画出，三点为(k，0)，， 两线为x＝k＋，x＝k－，k∈Z． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数既没有最大值也没有最小值． (　　) (2)正切函数的对称中心是(k，0)，k∈Z． (　　) (3)函数y＝tan 2x的周期是2． (　　) × √ × [提示]　(1)正切函数的值域为R，既没有最大值也没有最小值． (2)正切函数的对称中心是，k∈Z． (3)函数y＝tan 2x的周期是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 2．函数f＝－2tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． √ D　[令2x＋≠k＋，k∈Z，即x≠，所以函数f＝－2tan 的定义域为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 3．函数f＝tan 的单调递增区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 C　[令－＋k<<k＋，k∈Z， 解得－＋2k<x<2k＋，k∈Z， 所以函数f的单调递增区间为，k∈Z．] 4．函数y＝3tan 的图象的一个对称中心是(　　) A．　　　　 B． C． D． C　[令3x－，k∈Z，解得x＝，k∈Z，令k＝－2，得函数y＝3tan 图象的一个对称中心是．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 关键能力·合作探究释疑难 类型1　正切函数的定义域、值域 【例1】　【链接教材P58例1】 (1)函数y＝ ＋ 的定义域为(　　) A． B． C． D． √ 7.3.4　正切函数的性质与图象 (2)函数y＝tan ，x∈的值域为_____________． (3)函数y＝－2tan2x＋3tanx－1，x∈的值域为_________． (0，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 (1)C　(2)(0，＋∞)　(3)　[(1)由题意可得 即得 得 解得－2≤x≤－或－<x≤， 因此，函数y＝的定义域为 ∪． (2)设z＝x＋，因为x∈，可得z∈， 因为正切函数y＝tan z在上的值域为， 故函数y＝tan 在的值域为． (3)因为x∈，所以tan x∈， y＝－2tan2x＋3tanx－1＝－2， 则当tan x＝时，ymax＝， 当tan x＝－1时，ymin＝－6， 所以函数的值域为．] 【教材原题·P58例1】 例1　求函数y＝tan 的定义域． 解：令u＝x－，则y＝tan 可以化成y＝tan u． 因为y＝tan u中，u≠＋k，k∈Z，所以 x－≠＋k，k∈Z，即x≠＋k，k∈Z， 所以函数y＝tan 的定义域为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 反思领悟　1．求与正切函数有关的函数定义域的方法及求值域的注意点 (1)求与正切函数有关的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋k，k∈Z． (2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 2．解正切不等式的两种方法 (1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合． (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 [跟进训练] 1．已知f (x)＝tan ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝ (　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ A　[因为x∈，0<ω<1，所以0≤ωx≤＜， 所以f (x)max＝tan＝tan ，所以．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 类型2　与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性 【例2】　【链接教材P58例2】 (1)若f (x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为1，则的值为(　　) A．－ B．－ C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 (2)关于x的函数f (x)＝tan (x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x)都是非奇非偶函数；②f (x)的图象关于点对称；③f (x)的图象关于点(－φ，0)对称；④f (x)是以为最小正周期的周期函数． 其中正确说法的序号是____________． ②③④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 (1)D　(2)②③④　[(1)∵f (x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为＝1，∴ω＝，即f (x)＝tan x， 则f ＝tan ． (2)①若取φ＝k(k∈Z)，则f (x)＝tan x， 此时，f (x)为奇函数，所以①错误； 观察正切函数y＝tan x的图象， 可知y＝tan x的图象关于点(k∈Z)对称， 令x＋φ＝(k∈Z)，得x＝－φ(k∈Z)， 分别令k＝1，2，可得x＝－φ，－φ， 故②③正确；④显然正确．] 【教材原题·P58例2】 例2　求函数y＝tan 3x的周期． 解：令u＝3x，则y＝tan 3x可以化成y＝tan u． 由y＝tan u的周期为可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u＋时，对应的函数值才重复出现，因为u＋＝3x＋＝3， 这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x＋时，y＝tan 3x的函数值才重复出现，这就说明y＝tan 3x的周期为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 反思领悟　1．函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝． (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 2．判断与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x)与f (x)的关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 [跟进训练] 2．(1)若函数f ＝tan 的最小正周期是，则ω的取值可以是__________________． (2)函数f ＝lg 的奇偶性是________________． (1)2或－2　(2)奇函数　[(1)由题知，T＝，即＝2，解得ω＝±2． 2或－2 奇函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 (2)由>0，得tan x>1或tan x<－1， ∴函数定义域为，k∈Z，关于原点对称． 又f ＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0， ∴f ，∴f 是奇函数．] 类型3　正切函数的单调性 【例3】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为__________________________________． (2)函数y＝tan 的单调递增区间为_________________________． (1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　(2)，k∈Z　[(1)因为y＝tan x在区间上单调递增，且tan 1＝tan(＋1)， 又＜2＜3＜4＜＋1＜，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1． tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 ，k∈Z 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 (2)由－＋k＜＜＋k，k∈Z， 解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z． 因此，函数的单调递增区间为，k∈Z．] 反思领悟　1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k－＜ωx＋φ＜k＋，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 [跟进训练] 3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为 (　　) A． B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 B　[由函数y＝tan ωx在内是减函数，可得ω<0，由x∈， 可得ωx∈， 则所以－1≤ω<0．] 类型4　正切函数图象与性质的综合应用 【例4】　已知函数y＝tan ． (1)作出此函数在一个周期的开区间内的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间； (3)写出此函数图象所有对称中心的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 [解]　(1)函数y＝tan 在一个周期开区间内，列表如下： 0 x y 不存在 0 不存在 函数y＝tan 在一个周期的开区间内的图象如图． (2)由x－≠k＋，k∈Z，得x≠2k＋，k∈Z，所以函数的定义域为，函数的周期T＝＝2， 由k－<x－<k＋，k∈Z，得2k－<x<2k＋，k∈Z，所以函数的单调递增区间为(k∈Z)． (3)由x－＝，k∈Z，得x＝k＋，k∈Z， 所以所有对称中心的坐标为(k∈Z)． 反思领悟　解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 [跟进训练] 4．利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合： (1)tan x≥；(2)1＋tan x≤0. [解]　(1)在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线y＝，如图，显然在上，x＝满足tan x＝.由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是≤x＜.故使不等 式成立的x的集合为. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 (2)不等式1＋tan x≤0即tan x≤－1，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线y＝－1，如图，显然在上，x＝－满足tan x＝－1.由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是－＜x≤－.故使不等式成立的x的集合为. 学习效果·课堂评估夯基础 1．函数y＝tan 的最小正周期为(　　) A．2　 　B．　 　C．　 　D． √ C　[] 7.3.4　正切函数的性质与图象 2．已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． √ B　[令x－，k∈Z，得x＝，k∈Z， 故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z．因为a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 3．函数y＝tan ，x∈的值域为(　　) A． B． C． D． √ A　[设z＝x－，因为x∈，所以z∈． 因为正切函数y＝tan z在上单调递增，且tan ，tan ＝1，所以tan z∈．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 4．已知函数f ＝tan 的图象关于点中心对称，则φ的一个值可以是______________________． －(答案不唯一)　[因为f 的图象关于点中心对称，所以，k∈Z，所以φ＝－，k∈Z．当k＝0时，φ＝－．] －(答案不唯一) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 5．(教材P59练习BT5改编)函数y＝tan 的定义域为___________________，单调递增区间为__________________________． (k∈Z)　[由2x＋≠＋k(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)，由－＋k<2x＋<＋k(k∈Z)，解得－<x<(k∈Z)， 所以y＝tan 的单调递增区间为(k∈Z)．] (k∈Z) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 回顾本节知识，自主完成以下问题： 你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？ [提示]　 性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 R [－1，1] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 最值 无 最大值为1 最小值为－1 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T＝ T＝2 对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．函数y＝的最小正周期为(　　) A．　　　B．2　　　C．　　　D．3 课时分层作业(十一)　正切函数的性质与图象 √ C　[函数y＝的最小正周期就是函数y＝tan x的最小正周期，为，故选C．] 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知函数y＝tan ，则其定义域是(　　) A． B． C． D． √ C　[由≠k＋(k∈Z)，得x≠2k＋(k∈Z)， 因此函数y＝tan 的定义域为．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 55 3．函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为　(　　) A．　　 　　 B． C． D．[2，4] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[函数y＝tan2x－tanx＋2＝， 因为x∈，则tan x∈[－1，1]， 所以函数的值域为．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 56 4．函数f (x)＝lg A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 57 A　[∵≥－tan x， ∴f (x)的定义域为，关于原点对称， 又f (－x)＋f (x)＝lg＋＝lg 1＝0， ∴f (x)为奇函数，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 5．(多选)下列关于函数y＝tan 的说法正确的是(　　) A．最小正周期为 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．图象关于直线x＝－对称 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 59 BC　[函数y＝tan ＝－tan ， 当x＝时，2×，所以图象关于点对称，选项B正确； 函数的最小正周期为T＝，所以A错误； 当x∈时，2x－∈，所以函数在上单调递减，所以C正确； 正切函数不是轴对称函数，所以D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 二、填空题 6．函数y＝lg 的定义域为____________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题可知，－tan x>0，∴tan x<，∴－＋k<x<＋k，k∈Z，∴函数的定义域是．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 61 7．函数y＝tan 的单调递增区间是______________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ，k∈Z　[令－＋k<3x－<＋k，k∈Z， 得－ ＋ < x < ＋ ，k∈Z， 所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．] ，k∈Z 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 62 8．已知函数f (x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －或　[因为函数f (x)的图象的一个对称中心为， 所以，k∈Z，则φ＝－，k∈Z． 又，取k＝0，得φ＝－；取k＝1，得φ＝，所以φ的值为－或．] －或 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 63 三、解答题 9．已知函数f (x)＝3tan ． (1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f ()与f 的大小． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 64 [解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ， 所以T＝＝4． 由k－＜＜k＋(k∈Z)，得4k－＜x＜4k＋(k∈Z)． 故函数f (x)的最小正周期为4，单调递减区间为(k∈Z)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 (2)f ()＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， 因为0<＜<，且y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＜tan ，所以f ()＞f ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 10．已知a，b是不等于1的正数，θ∈，若atan θ＞btan θ＞1，则下列关系式成立的是(　　) A．a＞b＞1　　　　　 B．a＜b＜1 C．b＜a＜1 D．b＞a＞1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 67 B　[因为θ∈，所以tan θ＜0，－tan θ＞0． 由atan θ＞btanθ＞1， 即＞＞1，知＞＞1，所以a＜b＜1．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 11．函数y＝tan x＋sin x－内的图象是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　 　B　　　　 　　C　　　 　　　　D √ D　[当＜x＜时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝时，y＝0；当＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 69 12．若直线x＝与函数y＝tan 的图象不相交，则k＝________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 或－　[直线x＝＋n，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交， 由题意可知，2×＋n，n∈Z， 得到k＝n＋≤1，故n＝0或－1，所以k＝或k＝－．] 或－ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 70 13．已知函数f (x)＝2tan (ωx)，ω>0，若f (x)在区间上的最大值是2，则ω＝________；若区间上单调递增，则ω的取值范围是_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 71 1　　[因为x∈，且在此区间上的最大值是2，所以0≤ωx≤<． 因为f (x)max＝2tan ，所以tan ，即ω＝1． 由k－<ωx<k＋，k∈Z，得<x<，k∈Z． 令k＝0，得－<x<，即f (x)在区间上单调递增． 又因为f (x)在区间上单调递增，所以<，即0<ω<． 所以ω的取值范围是．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 14．设函数f (x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f (x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f (x)的解析式； (2)求f (x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f (x)≤的解集． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 73 [解]　(1)由题意知，函数f (x)的最小正周期为T＝，即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x)＝tan (2x＋φ)．因为函数y＝f (x)的图象关于点 所以2×，k∈Z，即φ＝，k∈Z． 因为0<φ<，所以φ＝，故f (x)＝tan ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 (2)令－＋k<2x＋<＋k，k∈Z，得－<x<，k∈Z， 所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x)＝tan ． 由－1≤tan ，得－＋k≤2x＋＋k，k∈Z，即－，k∈Z，所以不等式－1≤f (x)≤的解集为 ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 15．已知f (x)＝． (1)判断f (x)的奇偶性； (2)当x∈[－，]，且x≠±时，画出 f (x)的简图，并指出函数的单调区间． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.3.4　正切函数的性质与图象 76 [解]　(1)由函数f (x)＝的解析式可得函数的定义域为，关于原点对称，又因为f (x)＝， 所以f (－x)＝＝－f (x)， 所以函数f (x)＝为奇函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 (2)由(1)可得 f (x)＝ 其图象如图所示， 由图象可知单调递增区间为， 单调递减区间为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 $