7.2.1 三角函数的定义-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“任意角的三角函数定义及符号”，通过摩天轮情境导入，从30秒、45秒高度问题出发，引导学生用终边上点坐标表示锐角三角函数，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接锐角与任意角三角函数知识。 其亮点在于以情境导学培养数学眼光，从摩天轮问题抽象定义，结合“母题探究”中终边在直线上的参数分类讨论，发展逻辑推理素养。分层练习与综合应用帮助学生用数学语言表达，课堂小结强调参数分类，助力学生构建知识体系，教师可借此实施分层教学，提升课堂效率。

第七章 三角函数 7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 学习 任务 1．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． (数学抽象) 2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(逻辑推理) 7.2.1　三角函数的定义 如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒． 必备知识·情境导学探新知 7.2.1　三角函数的定义 问题　(1)若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ (2)如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦吗？能否定义余弦、正切？改变终边上的点的位置，这三个比值是否会改变？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 [提示]　(1)30秒时h＝h0＋R sin 30°＝h0＋R，45秒时h＝h0＋R sin 45°＝h0＋R，t秒时h＝h0＋R sin t°． (2)能，sin α＝，cos α＝， tan α＝，改变终边上点的位置，比值不会改． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 知识点1　任意角的正弦、余弦与正切的定义 前 提 如图，P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，r＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 定 义 正弦 称_____为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝____ 余弦 称_____为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝____ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝______ 对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应，当α≠_______________时，有唯一的正切与之对应． 角α的正弦、余弦、正切，都称为α的____________ 三角函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 思考　三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？ [提示]　无关，三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小有关． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 知识点2　三角函数在各象限的符号 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 提醒　对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦．” 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 1．若点P(1，－2)在角α的终边上，则sin α＝(　　) A．－2　　　B．－　　　C．－　　　D． C　[O点为坐标原点，＝＝． 根据三角函数的概念可得，sin α＝＝＝－．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 2．若sin α<0，cos α<0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 √ C　[因为sin α<0，所以α在第三象限或第四象限，或α终边为y轴非正半轴，因为cos α<0，所以α在第二象限或第三象限，或α终边为x轴非正半轴，所以α是第三象限角．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 关键能力·合作探究释疑难 类型1　任意角的三角函数的定义及应用 【例1】　【链接教材P15例1】 (1)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－，则x的值为(　　) A．－　　　B．1　　　C．±1　　 　D． √ 7.2.1　三角函数的定义 (2)(源自苏教版教材)如图，已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦、正切值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 (1)C　[∵|OP|＝， ∴sin α＝＝＝－，解得x2＝1，∴x＝±1．] (2)[解]　因为x＝2，y＝－3，所以r＝＝， 从而sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝， tan α＝＝－． [母题探究] (变条件)若将本例(2)中条件改为“已知角α的终边落在直线y＝2x上”，其结果是什么？ [解]　(1)若α的终边在第一象限内， 设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝a， 所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 (2)若α的终边在第三象限内， 设点P(a，2a)(a<0)是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝2． 【教材原题·P15例1】 例1　已知角α的终边经过点P(2，－3)，求sin α，cos α和tan α． 解：设x＝2，y＝－3，则r＝＝＝．于是 sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝，tan α＝＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 反思领悟　利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，注意到角的终边为直线，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝． (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 [跟进训练] 1．若cos α＝，且角α的终边经过点P(x，－2)，则P点的横坐标x是 (　　) A．2　　B．±2　　C．2　　D．－2 √ A　[由三角函数的定义可得， cos α＝＝，所以x>0，解得x＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 类型2　三角函数值符号的应用 【例2】　【链接教材P17例4、例5】 (1)若sin θcos θ<0，则(　　) A．tan θ<0，θ可能是第二、四象限角 B．tan θ>0，θ可能是第一、三象限角 C．tan θ<0，θ可能是第三、四象限角 D．tan θ>0，θ可能是第二、四象限角 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 (2)已知sin α<0，tan α<0． ①求角α的集合； ②求角的终边所在的象限； ③试判断tan sin cos 的符号． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 (1)A　[由sin θcos θ<0可得，sin θ与cos θ异号，所以tan θ＝<0，根据任意角三角函数的定义可知，角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0，不符合题意；角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0，符合题意；角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0，不符合题意；角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0，符合题意．综上，角θ为第二、四象限角．] (2)[解]　①由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上， 由tan α<0，知α在第二、四象限，故角α在第四象限， 其集合为． ②由(1)知2k＋<α<2，k∈Z， 故k＋<<k＋，k∈Z， 故的终边在第二、四象限． ③当在第二象限时， tan <0，sin >0，cos <0， 所以tan sin cos >0； 当在第四象限时， tan <0，sin <0，cos >0， 所以tan sin cos >0． 综上，tan sin cos 的符号为正． 【教材原题·P17例4、例5】 例4　确定下列各值的符号． (1)cos 260°；　(2)sin ；　(3)tan (－672°20′)；　(4)tan ． 解：(1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0． (2)因为－是第四象限角，所以sin ＜0． (3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan (－672°20′)＞0． (4)由＝＋2，可知是第三象限角，所以tan ＞0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 例5　设sin θ＜0且tan θ＞0，确定θ是第几象限角． 解：因为sin θ＜0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上； 又因为tan θ＞0，所以θ的终边在第一、三象限． 因此满足sin θ＜0且tan θ＞0的θ是第三象限角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 反思领悟　判断三角函数值在各象限符号的攻略 (1)基础：判定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号． (3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 [跟进训练] 2．(1)(多选)若cos θ·tan θ>0，则角θ的终边可能落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)确定下列各三角函数值的符号： ①cos 259°；②sin；③tan ． √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 (1)AB　[因为cos θ·tan θ>0， 所以 所以角θ的终边可能落在第一象限或第二象限．] (2)[解]　①因为259°是第三象限角，所以cos 259°＜0． ②因为－是第四象限角，所以sin ＜0． ③因为＝4＋，所以是第三象限角，所以tan ＞0． 类型3　三角函数定义的综合应用 【例3】　(1)(多选)已知角α的终边经过点，且 cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值可以是(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 (2)由的值组成的集合为____________． √ √ {1，－3} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 (1)BC　(2){1，－3}　[(1)因为角α的终边经过点，且cos α≤0，sin α>0，所以α是第二象限角或α的终边在y轴非负半轴上，可得解得－1<a≤3，结合选项可知实数a的取值可以是1，3． (2)由题意得sin α≠0，cos α≠0，tan α≠0，并且tan α要有意义，则α的终边不与坐标轴重合． 当α为第一象限角时，sin α>0，cos α>0，tan α>0， ∴＝1＋1－1＝1； 当α为第二象限角时，sin α>0，cos α<0，tan α<0， ∴＝1－1＋1＝1； 当α为第三象限角时，sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴＝－1－1－1＝－3； 当α为第四象限角时，sin α<0，cos α>0，tan α<0， ∴＝－1＋1＋1＝1．] 反思领悟　带绝对值的问题，关键是去绝对值．去绝对值时，要注意绝对值内代数式的正负．此类问题主要考查逻辑推理的核心素养． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 [跟进训练] 3．当α为第二象限角时，的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 C　[因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以＝＝2．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 学习效果·课堂评估夯基础 1．(教材P17练习AT1(1)改编)若角α的终边经过点P(1，)，则cos α的值为(　　) A．　　　B．　　　C．－　 　D．－ √ B　[因为角α的终边经过点P， 所以cos α＝＝．] 7.2.1　三角函数的定义 2．已知角α的终边经过点(m，－5)，cos α＝，则tan α＝(　　) A．± B．± C．－ D．－ √ C　[由题意cos α＝＝， 解得m＝12，tan α＝＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 3．(教材P18练习AT5(2)改编)已知角α满足tan α<0，cos α>0，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ D　[由tan α<0，得角α是第二或第四象限角； 又cos α>0，得角α是第一或第四象限角． 综上，α的终边在第四象限．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 4．已知角α的终边上一点P，a≠0，则3sin α＋cos α的值为________． ±1　[由角α的终边上一点P，则 当a>0时，sin α＝＝，cos α＝＝－，即3sin α＋cos α＝1； 当a<0时，sin α＝＝－，cos α＝＝， 即3sin α＋cos α＝－1．] ±1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 回顾本节知识，自主完成以下问题： 若已知角α终边上的点的坐标含参数，求解时应注意什么？ [提示]　若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需分类讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知角α的终边经过点M，则cos α＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ 课时分层作业(三)　三角函数的定义 √ D　[因为角α的终边经过点M， 所以cos α＝＝＝＝＝－．] 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知α∈且sin α＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．cos α·tan α＜0 B．sin α·tan α＞0 C．cos α－tan α＜0　 D．sin α－tan α＞0 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 41 D　[已知α∈且sin α＞0，则α∈，所以cos α＜0， tan α＜0． 对于选项A，cos α·tan α＞0，故选项A错误． 对于选项B，sin α·tan α＜0，故选项B错误． 对于选项C，cos α－tan α不能确定符号，故选项C错误． 对于选项D，sin α－tan α＞0，故选项D正确． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 3．已知角θ的终边经过点M(m，3－m)，且tan θ＝，则m＝(　　) A．　　　　B．1　　　　C．2　　　　D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[由题意知tan θ＝＝，解得m＝2．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 43 4．已知角θ＝的终边经过点P(x，2)，则x的值为(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．－4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[已知角θ＝的终边经过点P(x，2)， 所以tan ＝－＝，则x＝－2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 44 5．已知α为第三象限角，则(　　) A．sin >0 B．cos >0 C．sin 2α>0 D．cos 2α>0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 45 C　[∵α为第三象限角，即＋2k<α<＋2k，k∈Z， ∴＋k<<＋k，k∈Z，即是第二、四象限角， ∴sin >0或sin <0，cos <0或cos >0， 故选项A，B错误； ∵2＋4k<2α<3＋4k，k∈Z， ∴sin 2α>0，－1<cos 2α<1，故C正确，D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 二、填空题 6．已知角α的终边过点(－1，)，则tan α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[tan α＝＝＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 47 7．已知α是第四象限角，P(x，－4)是角α终边上的一个点，若cos α＝，则x＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　[由题意可得x>0，且cos α＝＝， 解得x＝3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 48 8．在平面直角坐标系中，以x轴的正半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别过点和，那么sin αtan β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 － －　[由任意角的正弦、正切的定义知， sin α＝，tan β＝＝－， 所以sin αtan β＝＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 49 三、解答题 9．已知角α的终边经过点P，且满足sin α＝m． (1)若α为第二象限角，求sin α； (2)求cos α＋tan α的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由三角函数的定义，可知＝m，解得m＝0或m＝±．∵α为第二象限角，∴m＞0，∴m＝，∴sin α＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 50 (2)由(1)知m＝0或m＝±，当m＝0时，cos α＝－1，tan α＝0，∴cos α＋tan α＝－1； 当m＝时，cos α＝－，tan α＝－， ∴cos α＋tan α＝－； 当m＝－时，cos α＝－，tan α＝， ∴cos α＋tan α＝－． 综上所述，cos α＋tan α的取值为－1或－或－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 10．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[∵P点位于第二象限，∴ 则有sin θ<0且cos θ<0，∴角θ位于第三象限．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 52 11．(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则(　　) A．P(4，－12) B．sin θ＝－ C．cos θ＝－ D．tan θ＝－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ BD　[因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝－12，即过定点P(5，－12)，sin θ＝＝－， cos θ＝＝，tan θ＝－．故选BD．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 53 12．已知点P为角β的终边上的一点，且sin β＝，则a的值为(　　) A．1 B．3 C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 54 A　[由三角函数的定义得 sin β＝＝，整理得＝． ∵sin β＞0，∴P在第二象限， ∴＞0，∴＝，解得a＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 13．若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵点P在－角的终边上，－＝－4＋， 故点P所在终边与角的终边相同，∴＝tan ＝－，∴y＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 56 14．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－x上，求sin α－3cos α＋tan α的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　当角α的终边在射线y＝－x(x≥0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝＝－， cos α＝＝，tan α＝＝－． 所以sin α－3cos α＋tan α＝－＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 57 当角α的终边在射线y＝－x(x≤0)上时，取终边上一点P′(－4，3)， 所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5， 所以sin α＝＝，cos α＝＝－， tan α＝＝－． 所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×＝＝． 综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 15．已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.2.1　三角函数的定义 59 [解]　(1)由＝－，可知sin α<0， 由lg(cos α)有意义可知cos α>0， ∴角α是第四象限角． (2)∵|OM|＝1，∴＋m2＝1，解得m＝±． 又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－． ∴sin α＝＝＝＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 $