精品解析：重庆市九龙坡区等主城五区2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题

九龙坡等五区高 2026 届高三半期考试 数学试题 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的． 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集,，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】由或. 所以. 所以. 故选：B 2. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念与意义可知复数不能比较大小，结合复数的共轭复数与复数的乘法运算得的结果为实数可以比较大小，从而得结论. 【详解】已知，复数不能比较大小，故A、B不正确； 又， 所以，故C不正确，D正确. 故选：D. 3. 从小到大排列的一组数据： ，若这组数据的第 50 百分位数与平均数相同，则 的值为（ ） A. 98 B. 104 C. 106 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据的百分位数与平均数的定义，列式求解即得. 【详解】由，可知这组数据的第 50 百分位数为， 而平均数为， 依题意，，解得. 故选：B. 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 530 B. 430 C. 265 D. 215 【答案】C 【解析】 【分析】根据下标和性质得到，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为数列为等差数列且，所以， 所以. 故选：C 5. 在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用向量加减、数乘的定义用表示出即可求解. 【详解】如下图，结合题设易知，， 则 ， ，则，， 所以. 故选：A 6. 已知不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式化为，即的两个根为，且，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，即，即，可转化为， 因为不等式其解集为或， 所以且关于的方程的两个根为，， 所以 或，解得或（舍去）， 所以不等式，即，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：C. 7. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】依题意等价于，设，求导，可得在区间上单调递增，可知，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 则等价于，等价于，等价于， 设，，则， 当时，有， 所以在区间上单调递增，所以等价于， 故“”是“”成立的充要条件. 故选：C 8. 已知，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性单调性，即可得到，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又，因为，， 所以，当且仅当且时等号成立，但此二条件不能同时满足， 故恒成立，所以在上为增函数 又正实数满足， 所以，故， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 二、选择题： 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求． 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，的取值范围是 D. 若函数在上有3个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】. 对于A，由题意可得函数的最小正周期，满足，则有，故A正确； 对于B，由A可得，因为函数的最大值，故必有，即B正确； 对于C，当 时，，则有，故的取值范围是 ，故C错误； 对于D，当时，，由正弦函数的图象性质， 要使函数 在 上有3个零点，需使，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义域均为的函数，满足， ，，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的图象关于轴对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过赋值转化已知条件，根据函数的奇偶性、周期性的定义进行判断和计算. 【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，所以； 因为，所以的图象关于直线成轴对称，所以. 对A：因为，， 令得：； 由得：. 所以. 由，所以函数不是奇函数，故A错误； 对B：因为，用代替得：， 由，所以， 所以函数为偶函数，的图象关于轴对称，故B正确； 对C：因为，令得：， 由，所以. 所以，故C正确； 对D：因为，用代替得：； 又，所以，用代替得：； 结合，可得； 所以，即是以4为周期的周期函数. 由，令得：； 令得：. 所以，， 所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知均为单位向量，且，则的夹角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为均为单位向量，且， 所以， 所以， 则，又，所以， 即的夹角为. 故答案为： 13. 已知为锐角，且，，则 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再由两角差的正弦公式求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，， 因为，，则， 所以， 所以 . 所以. 故答案为： 14. 设是函数的极值点，数列满足，，，若表示不超过的最大整数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即，可得.设，则数列是公比为2的等比数列.求出，从而求出，利用裂项相消法求，即可得解． 【详解】，. 是的极值点， ，即， . 设，可得，又， 数列为首项为，公比为的等比数列， . . ， . ， ∴. 故答案为：． 四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分． 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，线段上一点满足，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出、，即可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 所以, 在中，， 所以，化简得：， 由于，则，则， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中，由正弦定理，即，解得. 16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ （2）为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关 （2）学生甲选择方案一晋级的可能性更大 【解析】 【分析】（1）根据已知列联表，计算的值并作出判断； （2）根据相互独立概率计算，求得两种方案晋级的概率，从而作出判断． 【小问1详解】 零假设：设认为该校学生对航天工程的关注与性别无关， 根据列联表可得： ， 能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关． 【小问2详解】 记这4个问题为，，，，学生甲答对，，，的事件分别记为，，，， 分别记按方案一、二晋级的概率为，， 则 ， ， 因为，学生甲选择方案一晋级的可能性更大． 17. 已知函数 ． ( 是自然对数的底数， ) （1）若 ，求 在点 处的切线方程； （2）求 的单调区间； （3）设 ，由 组成有序实数对 ，现从这些有序实数对中随机抽取一对得到函数 ，求使得 恰有两个零点的概率． 【答案】（1）； （2）的单调递减区间是，单调递增区间是； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求得切线斜率，进而可得切线方程； （2）求导，根据导数计算求解即可； （3）结合（2）利用导数的应用研究函数的零点，进而，得，结合列举法和古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 若 ，则，， 因为，， 所以切线方程为； 【小问2详解】 由，得， 令， 所以当时，，当时，， 故函数的单调递减区间是，单调递增区间是； 【小问3详解】 由题意，，，，，则有序实数对有81个. 由（2）可知时，；当时，， 所以， 要使有两个零点，则， 即，得，即. 满足该条件的有序实数对有： 对于，可以取，共7个； 对于，可以取，共4个； 对于，可以取，共1个； 所以所求事件的概率为. 18. 设数列 的前项和为且, （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足是等比数列，其中,若 ，求正整数的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】（1）利用时，得的递推关系，从而求得通项公式； （2）结合（1）求得的表达式，然后利用减法求得，分别求得的奇数项和偶数项的表达式，然后结合数列的单调性得出结论． 【小问1详解】 因为，则，，又，所以， 又由得时，， 两式相减得，整理得，因为，所以，即， 所以是等差数列，且公差为2， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，解得， ，则， 因为是等比数列，所以公比为，所以， 时，， 所以， 所以时，，也适合， ，也适合， 综上，， 由的通项公式知的奇数项是递增的，偶数项也是递增的， 计算得,,,, 所以时，，即时，的范围是且． 19. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】（1）① ； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2） 函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 ①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九龙坡等五区高 2026 届高三半期考试 数学试题 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的． 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集,，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从小到大排列的一组数据： ，若这组数据的第 50 百分位数与平均数相同，则 的值为（ ） A. 98 B. 104 C. 106 D. 108 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 530 B. 430 C. 265 D. 215 5. 在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题： 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求． 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 10. 已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，的取值范围是 D. 若函数在上有3个零点，则的取值范围是 11. 已知定义域均为的函数，满足， ，，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的图象关于轴对称 C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知均为单位向量，且，则的夹角为_____． 13. 已知为锐角，且，，则 _____． 14. 设是函数的极值点，数列满足，，，若表示不超过的最大整数，则的值为_____． 四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分． 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，线段上一点满足，求的长． 16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ （2）为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数 ． ( 是自然对数的底数， ) （1）若 ，求 在点 处的切线方程； （2）求 的单调区间； （3）设 ，由 组成有序实数对 ，现从这些有序实数对中随机抽取一对得到函数 ，求使得 恰有两个零点的概率． 18. 设数列 的前项和为且, （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足是等比数列，其中,若 ，求正整数的取值范围． 19. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $