第10讲：直线的交点坐标与距离公式【知识梳理+6个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二上学期数学常考题型归纳 【第10讲：直线的交点坐标与距离公式】 【知识梳理】 一、核心知识体系 （一）直线的交点坐标 1.核心原理 两直线与的交点坐标，即为方程组的解，体现“几何交点与代数解”的对应关系。 2.与直线位置关系的关联 方程组解的情况 公共点个数 直线位置关系 代数条件 唯一解 1个 相交 无数组解 无数个 重合 且 无解 0个 平行 且 （二）距离公式体系 1.两点间距离公式 条件：点、 公式： 特例：点到原点距离。 2.点到直线的距离公式 条件：点、直线 公式： 特殊情况： 点到x轴距离：（对应直线） 点到y轴距离：（对应直线）。 3.两平行直线间的距离公式 条件：、（需保证A、B系数一致） 公式： 转化思想：可在上任取一点（如特殊点），转化为该点到的距离。 二、典型考法与真题提炼 （一）直线交点相关问题 1.直接求交点坐标 考法：联立两直线方程求解。 例题：求直线与的交点，联立得，解得交点为。 2.过交点的直线方程 考法：先求交点，再结合其他条件（如过定点、截距等）求方程。 真题示例：过直线与的交点，且过原点的直线方程为______。 解析：联立得交点，由两点式得方程。 3.多直线共点问题 考法：先求两直线交点，代入第三条直线求参数。 真题示例：若三条直线、、交于一点，求k的值。 解析：联立前两式得交点，代入第三式得，解得。 4.直线过定点问题 考法：分离参数，令参数系数与常数项均为0求定点。 真题示例：直线必过定点______。 解析：变形为，令且，得定点。 （二）距离公式的应用 1.两点间距离的实际场景 考法：结合三角形性质（如直角、等腰）判断或计算。 真题示例：已知顶点、、，判断三角形形状。 解析：计算、、，故为等腰三角形。 2.点到直线距离的综合应用 考法1：已知距离求直线方程（需讨论斜率存在与否）。 真题示例：过点且原点到其距离为2的直线方程为______。 解析：斜率不存在时为；斜率存在时设，由距离公式得，方程为。 考法2：距离最值问题。 真题示例：过点且与原点距离最大的直线方程为______。 解析：该直线与过原点和定点的线段垂直，斜率为，方程为。 3.平行直线间距离的计算 考法：先统一A、B系数，再代入公式。 真题示例：求直线与的距离。 解析：将后者化为，代入公式得。 三、易错点与避错策略 1.公式应用前提疏漏 易错点：用平行直线距离公式时，未统一A、B系数；点到直线距离公式未化直线为一般式。 策略：先将直线方程整理为标准一般式，确保系数一致后再代入公式。 2.忽略斜率不存在的情况 易错点：求直线方程时，仅设点斜式，遗漏垂直x轴的直线。 策略：涉及直线过定点、已知距离等问题，优先验证斜率不存在的情况。 3.多解问题考虑不全 易错点：如“到两点距离相等的直线”仅考虑平行情况，遗漏过中点的直线。 策略：结合几何意义分析，如距离相等可能对应“平行”或“过中点”两种情形。 四、核心思想与解题方法 1.方程思想：通过联立方程组解决交点问题，用代数运算处理几何位置关系。 2.化归思想：将平行直线间距离转化为点到直线距离，将复杂距离问题转化为基础公式应用。 3.分类讨论思想：针对斜率存在与否、直线位置关系（相交/平行/重合）等情况分类分析，避免漏解。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：两直线的交点坐标】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 【例题2】【多选题】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高二上·湖北·期中）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 【相似题2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【解题策略】 一、核心解题原则：“代数化几何”——联立方程定交点 两直线交点的本质是“满足两直线方程的公共解”，所有解题策略均围绕“联立方程组→分析解的情况→求解目标量”展开，核心逻辑如下： 若直线、，则： 1.先将两直线方程整理为标准一般式（x、y系数为整数，常数项移至右边）； 2.联立方程组，通过“消元法”求解； 3.根据解的个数判断直线位置关系（唯一解→相交，无数解→重合，无解→平行），再针对性解决问题。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接求两直线交点坐标（教材例题核心考法） 解题策略：规范消元，精准计算 步骤： 1.整理两直线为一般式（若已为一般式可跳过）； 2.选择“代入消元法”或“加减消元法”（系数为分数时优先加减消元，系数有倍数关系时优先代入消元）； 3.解出x（或y）后，代入任一直线方程求另一变量，得到交点坐标； 4.验证：将交点代入两直线方程，确认均满足（避免计算错误）。 教材例题应用： 求直线与的交点。 步骤1：方程已为一般式，联立； 步骤2：用代入消元法，由②得，代入①：，解得； 步骤3：代入得，交点为； 步骤4：验证：，，均满足。 （二）中档题型1：过两直线交点的直线方程（高考高频考法） 解题策略1：“先求交点+再用条件”（基础通用法） 步骤： 1.联立两直线方程，求出交点； 2.根据题目附加条件（如过定点、截距关系、斜率已知等），选择直线方程形式（点斜式、两点式、截距式）； 3.代入条件求出直线方程，整理为一般式。 高考真题应用： 过直线与的交点，且过原点的直线方程为______。 步骤1：联立得，①-②得，代入②得，交点； 步骤2：过原点与，用两点式：； 步骤3：整理得。 解题策略2：“直线系方程”（技巧提速法，教材拓展内容） 当题目无需具体求交点，仅需求“过两直线交点的直线”时，可设直线系方程： （为参数，不含本身），再代入附加条件求，避免求交点的计算量。 同一真题技巧应用： 设过两直线交点的直线系为； 因过原点，代入得，解得； 代入直线系：，整理得（与通用法结果一致，更快捷）。 （三）中档题型2：多直线共点求参数（高考含参题型重点） 解题策略：“先定两线交点，再代入第三线” 步骤： 1.选择不含参数的两条直线（或易求解的两条直线），联立求交点； 2.因三线共点，交点必满足第三条含参直线方程，将代入； 3.解关于参数的一元一次方程，得到参数值； 4.验证：将参数值代入第三条直线，确认三线确实交于一点（避免参数使直线平行的情况）。 高考真题应用： 若三条直线、、交于一点，求的值。 步骤1：联立前两条无参直线：，由②得，代入①得，解得，，交点； 步骤2：代入第三条直线：，即，解得； 步骤3：验证：时，第三条直线为，与第二条直线重合？不，原第二条直线是，此处需注意：若代入后参数使第三条直线与前两条之一平行，则需排除，但本题时，第三条直线与前两条均相交于，有效。 （四）进阶题型：直线过定点（隐藏的“交点问题”，高考难点） 解题策略：“参数分离法”——定点是两定直线的交点 直线过定点的本质：“含参数的直线方程，无论参数取何值，均过某固定点”，该定点即“参数系数为0的直线”与“常数项为0的直线”的交点。 步骤： 1.将直线方程整理为“含参数的项+不含参数的项=0”的形式，即（为参数）； 2.令参数系数与常数项均为0，联立； 3.解方程组得定点坐标，代入原直线方程验证（确保对任意参数均成立）。 高考真题应用： 直线必过定点______。 步骤1：分离参数：，即，； 步骤2：联立，解得，； 步骤3：验证：代入原直线，，对任意均成立，定点为。 三、易错点专项规避策略 1.联立方程前未整理为一般式 易错例：直线与联立，直接写，易因符号混乱出错； 规避：先整理为与，再联立。 2.忽略“直线重合”的特殊情况 易错例：求过与交点的直线，直接设直线系，未发现与重合（无数交点）； 规避：联立前先判断两直线位置关系（看是否为0，且是否为0），重合时所有过该直线的直线均满足条件。 3.参数分离不彻底 易错例：直线分离为，未分组； 规避：严格按“参数×(x,y表达式)+常数项(x,y表达式)=0”分组，确保参数只出现一次。 四、解题通用流程总结 1.审题定类型：判断是“直接求交点”“过交点求直线”“共点求参数”还是“过定点”； 2.选方法：基础题用“联立消元”，含参题优先“直线系”或“参数分离”； 3.计算求解：按步骤运算，优先选择减少计算量的方法（如直线系避免求交点）； 4.验证结果：代入原直线方程或条件，确认解的有效性（避免计算错误或漏特殊情况）。 【题型二：两点间的距离公式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 【例题2】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】 【分析】将函数中的根式转化为两点间距离公式的形式，再利用几何意义即可求解. 【详解】将函数中的被开方数进行配方， 可得， 所以函数的几何意义为：轴上一点到点与到点的距离之差， 即，如图所示. 根据三角形三边关系，即有，、当且仅当三点共线时取等号，此时在的延长线上. 故. 综上，的最大值为. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 【解题策略】 一、核心公式与适用场景 1.基础公式 若点、，则两点间距离公式为： 关键变形：无需比较距离具体值时，可通过比较“距离平方”简化计算，公式为： （避免根式运算，减少计算误差与步骤） 2.特殊场景公式 点到原点的距离：若点，原点，则距离公式为： 其距离平方形式为： 3.适用场景 已知两点坐标，直接计算距离； 已知距离关系（如相等、倍数、平方和/差），求点的坐标或参数； 结合几何图形（三角形、多边形、曲线），分析边长、形状或最值； 推导动点轨迹方程（基于距离约束条件）。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接计算两点间距离（教材核心考法） 解题策略：“坐标定位→代入公式→化简计算” 步骤： 1.明确两点的横、纵坐标（含参数时需先确定参数值）； 2.代入距离公式，先计算“横纵坐标差的平方和”，再开方（结果化为最简二次根式）； 3.若仅需比较距离大小，直接比较“距离平方”即可。 教材例题应用： 例1：求点与的距离。 步骤1：确定坐标：，； 步骤2：代入公式计算平方和： 步骤3：开方得距离： 例2：求点到原点的距离。 代入点到原点公式： （二）中档题型1：判断三角形形状（高考高频考法） 解题策略：“求三顶点坐标→算三边距离→用三边关系判断” 核心逻辑：通过距离公式计算三边长度，结合几何性质（等腰、直角、等边）判断形状，关键公式为“勾股定理逆用”： 若，则为直角三角形（）。 高考真题应用： （新课标卷改编）已知的顶点坐标为、、，判断的形状。 步骤1：计算三边距离（先算平方，再开方）： ，故； ，故； ，故； 步骤2：判断关系：，且，故为等腰三角形。 （三）中档题型2：距离相关最值问题（高考重点难点） 1.定点到动点的距离最值（动点在直线/曲线上） 解题策略：“设动点坐标→列距离平方表达式→转化为函数最值” 核心公式：设定点，动点（由动点所在曲线方程设参），则距离平方公式为： 转化为关于的函数，通过配方、导数等求最值。 高考真题应用： （全国卷）求抛物线上一点到点的距离的最小值。 步骤1：设动点（因在抛物线上，满足）； 步骤2：列距离平方表达式： 步骤3：展开并转化为二次函数： 展开得，令，则： 步骤4：配方求最值： 当（即）时，最小值为； 步骤5：开方得距离最小值： 2.两定点到动点的距离和/差最值（“将军饮马”模型） 解题策略：“对称转化→化曲为直” 核心公式：利用“两点之间线段最短”，设定点$A、B$，动点在直线上，为关于的对称点，则： 距离和最小值：（当为与交点时取等）； 距离差最大值：（当为延长线与交点时取等）。 高考真题应用： （浙江卷）已知直线，求直线上一点，使到点与的距离之和最小。 步骤1：判断与直线的位置：代入到方程，，故在上； 步骤2：距离和最小值为（因时，）； 步骤3：计算： 步骤4：确定坐标：即（此时距离和最小为）。 （四）进阶题型：求轨迹方程（距离条件转化） 解题策略：“设动点坐标→用距离公式列方程→化简方程” 核心公式：设动点，根据距离约束条件（如、），代入距离公式列方程，再化简。 高考真题应用： （北京卷）已知点满足到点的距离是到点距离的2倍，求点的轨迹方程。 步骤1：列距离约束关系：； 步骤2：代入距离公式： 步骤3：两边平方消去根式（注意等式两边非负）： 步骤4：展开并整理： 左边展开： 右边展开： 移项合并同类项： 两边同乘并整理为标准形式： （或化为圆的标准方程： 两边除以3： 配方： 即：） 三、易错点专项规避策略 1.坐标符号代入错误 易错例：计算与的距离时，误写为（忽略的负号）； 规避：代入公式时明确，，再平方（负号平方后为正，无需额外处理）。 2.根式运算冗余 易错例：比较与时，先开方再比较（增加计算量）； 规避：直接比较与，因平方函数在单调递增，大小关系一致。 3.动点参数设错 易错例：求直线上动点到的距离时，设导致双变量； 规避：根据直线方程设单参数，如，将距离表达式化为关于的单变量函数，即： 【题型三：点到直线的距离公式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 【例题2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 【相似题2】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【解题策略】 一、核心公式与适用前提 1.基础公式（核心） 若点，直线（前提：A、B不同时为0，即直线非退化），则点到直线的距离公式为： 分子绝对值：保证距离为非负（几何意义：距离是长度，不能为负）； 分母根号下系数平方和：源于直线一般式的法向量模长（几何意义：法向量方向的单位长度换算）。 2.特殊场景简化公式（高频应用） 当直线与坐标轴平行时，可跳过复杂公式直接计算，避免冗余运算： 若直线（垂直于x轴），则距离为横坐标差的绝对值： 若直线（垂直于y轴），则距离为纵坐标差的绝对值： 3.适用场景 已知点与直线，直接计算距离； 已知距离求直线参数（如直线含参数，已知点到直线距离为定值）； 求平行直线间距离（转化为“一条直线上任意一点到另一条直线的距离”）； 几何图形相关计算（如三角形的高、圆的切线长、动点到定直线的最值）。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接计算点到直线的距离（教材核心考法） 解题策略：“直线化一般式→代入公式→化简计算” 步骤： 1.若直线非一般式（如斜截式、两点式），先整理为（确保A、B无分数，系数最简）； 2.明确点的横纵坐标，代入公式分子（计算绝对值内的值，再取绝对值）； 3.计算分母（根号下，结果化为最简二次根式）； 4.约分得到距离（若分子分母可约分，需化为最简分数或根式形式，分母需有理化）。 教材例题应用： 例1：求点到直线的距离。 步骤1：直线已为一般式（）； 步骤2：代入分子：； 步骤3：计算分母：； 步骤4：距离。 例2：求点到直线的距离。 步骤1：将直线化为一般式：（）； 步骤2：代入分子：； 步骤3：计算分母：； 步骤4：距离（分母有理化，符合教材规范）。 （二）中档题型1：已知距离求直线参数（高考高频考法） 解题策略：“设直线方程→化一般式→代入距离公式→解方程求参数” 关键：需根据直线是否含斜率分类讨论（避免漏解，如直线垂直于x轴时斜率不存在），步骤： 1.设直线方程（含参数，如斜率为，或截距为）； 2.分情况整理直线为一般式： 斜率存在：设，整理为； 斜率不存在：直线为（单独验证是否满足距离条件）； 3.代入距离公式，列关于参数的方程； 4.解方程得参数值，验证所有解的有效性（避免参数使直线退化，或与已知条件矛盾）。 高考真题应用： （新课标卷）过点且原点到该直线的距离为1的直线方程为______。 步骤1：分类讨论直线斜率： ①斜率不存在：直线方程为（过点）； 验证距离：原点到的距离为，满足条件，故是解。 ②斜率存在：设斜率为，直线方程为； 整理为一般式：（）； 代入距离公式：原点到直线的距离； 列方程：； 两边平方（因，平方后等式成立）： →→→； 代入直线方程：，整理为。 步骤2：综合解：直线方程为或。 （三）中档题型2：点到直线的距离最值（高考重点难点） 解题策略：分“定点到动直线”“动点到定直线”两类，结合几何意义或函数思想 1.定点到动直线的距离最值（核心：抓动直线的“定点”或“斜率变化规律”） 若动直线过定点：则距离最值为“定点到定点的距离”（最大值，当直线与垂直时取到；最小值为0，当直线过时取到）； 若动直线含参数（如斜率变化）：代入距离公式转化为关于参数的函数，求函数最值。 高考真题应用： （全国卷）已知直线，求点到直线的距离的最大值。 步骤1：分析动直线的定点：分离参数得，令，得定点； 步骤2：几何意义：点到直线的距离，本质是“点到直线上任意一点的距离的最小值”，而直线过定点，故（当时，，即最大值）； 步骤3：计算：； 结论：距离最大值为。 2.动点到定直线的距离最值（核心：设动点坐标，转化为函数最值） 若动点在曲线（如直线、抛物线、圆）上：设动点坐标（用曲线方程消元，化为单变量），代入距离公式得函数，求最值。 高考真题应用： （浙江卷）求抛物线上任意一点到直线的距离的最小值。 步骤1：设动点（因在抛物线上，满足）； 步骤2：代入点到直线距离公式：直线为一般式，则： （分子提取负号，绝对值不变）； 步骤3：求分子二次函数的最小值：令，配方得，因二次项系数为正（开口向上），最小值为； 步骤4：计算距离最小值：。 （四）进阶题型：平行直线间距离（转化为点到直线距离，高考常考） 解题策略：“统一系数→取点→代入公式” 核心逻辑：平行直线与（前提：A、B完全一致），距离等于上任意一点到的距离。 步骤： 1.若两直线A、B系数不同，先统一（如将系数化为相同的整数，避免分数）； 2.在其中一条直线上取特殊点（如令求，或令求，简化计算）； 3.代入点到直线距离公式，计算该点到另一条直线的距离，即为平行直线间的距离。 高考真题应用： （北京卷）求平行直线与之间的距离。 步骤1：统一A、B系数：将第一条直线两边同乘2，得，此时，（）； 步骤2：在上取特殊点：令，代入得→，即点； 步骤3：计算到的距离： 结论：平行直线间的距离为。 三、易错点专项规避策略 1.直线未化为一般式直接代入 易错例：求点到直线的距离，误代入（未先整理直线为，易漏写常数项符号）； 规避：必须先将直线整理为，明确A、B、C的符号后再代入。 2.忽略斜率不存在的情况 易错例：已知点到直线距离为1，仅设斜截式，遗漏直线或； 规避：涉及“过定点求直线”“已知距离求直线”时，优先验证斜率不存在的直线（）是否满足条件。 3.平行直线系数未统一 易错例：求与的距离，直接代入（未统一A、B）； 规避：先将两直线A、B化为完全相同的系数（如将第一条乘2），再用公式计算。 【题型四：平行线的距离公式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 【例题2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据平行线间的距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 【解题策略】 一、核心公式与推导逻辑 1.标准公式（前提必看） 若两条平行直线的方程为： ， （核心前提：A、B完全一致，且，避免直线重合） 则与之间的距离公式为： 2.公式推导（关联点到直线距离） 平行线距离的本质是“一条直线上任意一点到另一条直线的距离”，推导步骤： 1.在上取特殊点（如令，得，即点，）； 2.计算点到的距离： （推导过程验证了公式的合理性，也说明“统一系数”是关键） 3.适用场景 直接计算已知平行直线的距离； 已知平行直线距离，求直线中的参数（如或A、B中的参数）； 结合几何图形（如平行直线截三角形、平行直线与圆相切），求面积、半径等。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接计算平行直线的距离（教材核心考法） 解题策略：“统一系数→代入公式→化简结果” 步骤： 1.检查两直线A、B系数：若不一致，需将其中一条（或两条）直线的A、B化为与另一条完全相同的整数（优先消去分数，保证系数最简）； 2.确认（若，则两直线重合，距离为0）； 3.代入公式计算：分子取，分母计算，结果需分母有理化（若分母含根号）或化为最简分数。 （二）中档题型：已知平行直线距离求参数（高考高频考法） 解题策略：“先定平行条件→统一系数→列距离方程→求解验证” 关键：先利用“两直线平行”的代数条件（且）锁定参数范围，再结合距离公式求解。 步骤： 1.根据“平行”条件，列出关于参数的等式（如），初步确定参数可能的值； 2.排除使直线重合的参数（即的情况）； 3.将剩余参数对应的直线统一A、B系数，代入距离公式列方程； 4.解方程得参数值，再次验证直线是否平行且不重合。 高考真题应用： （全国卷改编）已知直线与平行，且两直线距离为，求的值。 步骤1：验证平行条件：与平行需满足（，成立），且（），即（排除重合）； 步骤2：统一A、B系数：将两边同乘2，得， 步骤3：代入距离公式列方程： 化简分母：，方程变为： 步骤4：解方程：两边同乘得； 即或，解得或； 步骤5：验证：两解均满足，直线平行且不重合，故或。 （三）进阶题型：平行直线与几何图形结合（高考难点） 解题策略：“抓几何关系→用距离公式关联未知量” 常见场景：平行直线截三角形求高、平行直线与圆相切求半径、平行直线间的区域面积计算，核心是“距离公式作为桥梁，连接几何量与代数参数”。 高考真题应用1：平行直线与三角形面积 （浙江卷）已知三角形的三个顶点为、、，直线与AB、AC平行，求直线截三角形所得小三角形的面积。 步骤1：分析原三角形与平行关系：是x轴（），是y轴（），直线与AB、AC不平行？修正：实际应为“直线与平行”（方程：），题目调整后：直线与平行，且与AB、AC相交； 步骤2：求原三角形高：到原点的距离是原三角形的高； 步骤3：设直线到的距离为，因与平行，截得的小三角形与原三角形相似，相似比为； 步骤4：若过三角形内部（如，直线），则，相似比为； 步骤5：原三角形面积，小三角形面积（距离公式关联相似比，进而求面积）。 高考真题应用2：平行直线与圆相切 （新课标卷）若圆（）与两条平行直线和都相切，求圆的半径。 步骤1：分析圆与平行直线的位置：圆与两条平行直线都相切，说明圆心到两条直线的距离相等，且均等于半径； 步骤2：计算圆心到直线的距离：圆心到的距离： 圆心到的距离： 步骤3：验证“都相切”条件：因两条平行直线在圆两侧，半径（或直接取圆心到任一直线的距离？此处需注意：若圆与两平行线都相切，两平行线间距离为，故半径，更简便）； 结论：。 三、易错点专项规避策略 1.未统一A、B系数直接代入公式 易错例：求与的距离，误写为（忽略A、B系数未统一）； 规避：先将第一条直线乘2得，再代入公式。 2.忽略“平行且不重合”的前提 易错例：已知直线与距离为，直接统一系数求解，未先确认（平行条件）且（不重合）； 规避：先由得，再由得，最后代入距离公式。 3.取特殊点计算时坐标错误 易错例：在上取点时，令误算为（正确应为）； 规避：取点时优先令或，代入直线方程时注意移项符号，如→。 4.分母有理化不彻底或化简错误 易错例：结果写为（未化简分母）或（未有理化）； 规避：先化简根号内的数（），再有理化（）。 四、解题通用流程总结 1.判平行：确认两直线是否平行（且），排除重合； 2.统系数：将两直线A、B化为完全相同的整数系数，确保公式适用； 3.代公式：代入，计算分子绝对值与分母模长； 4.验结果：检查是否分母有理化、化简是否正确，结合几何条件验证合理性（如与图形结合时，距离是否符合实际长度）。 【题型五：点关于直线的对称点】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程． 【答案】 【分析】根据题意，设，将中点坐标代入中线方程，将点代入的平分线方程，联立求出点的坐标，再列出方程，求得点关于直线的对称点的坐标，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】设，则的中点在直线上． 所以，即， 又点在直线上，则， 联立可得，，即点的坐标为 设点关于直线的对称点的坐标为， 由题知，得，即所求的对称点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即 【例题2】（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 【相似题2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 【解题策略】 一、核心性质（解题根本） 设点关于直线的对称点为，则满足： 1.连线：斜率关系（时），或平行于的法向量（，通用式）； 2.中点在上：。 二、分层解题策略（含实例） （一）基础题型：求具体点的对称点 策略：列二元方程组求解 步骤： 1.代入上述两性质，列方程组： 2.解方程组得x'、y'。 例：求关于的对称点。 列方程： 化简：（补充计算）→解得（在上，对称点为自身）。 （二）综合题型：对称点的应用（轨迹/最短路径） 1.求轨迹：设动点，其对称点满足已知条件，代入对称关系化简。 例：动点关于的对称点在圆上，求轨迹。 设，由对称性质得； 代入圆方程：，化简得。 2.最短路径：利用“对称点与定点连线最短”，转化为两点间距离。 例：求到再到的最短路径。 取对称点（在上），最短路径为。 （三）含参题型：已知对称关系求参数 策略：利用对称性质列方程 例：若关于的对称点为，求a、b。 中点在上：； ：； 联立解得。 三、易错点规避 1.漏用“中点在直线上”：仅考虑垂直，忽略中点条件； 2.斜率不存在/为0时出错：直线垂直x轴（如），对称点横坐标为，纵坐标不变； 3.方程组求解计算失误：优先用通用式列方程，减少斜率计算。 【题型六：直线关于直线的对称】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【例题2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【相似题2】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【解题策略】 一、核心思路 利用“点的对称”推导：找原直线上2个关键点（如交点、特殊点），求其关于对称轴的对称点，两点连线即为对称直线。 二、分情况策略（含实例） 1.两直线相交（最常见） 步骤： ①求原直线与对称轴的交点（在对称直线上）； ②在上取异于的特殊点，求关于的对称点； ③由M、P'两点式，得方程。 例：求关于的对称直线。 ①求交点：联立，无解（实际换例：，，交点）； ②取在上，求其关于的对称点； ③由，得。 2.两直线平行（对称轴与原直线平行） 步骤： ①设对称直线与原直线同斜率（平行），设方程为（）； ②利用“到对称轴的距离相等”，列方程求。 例：求关于的对称直线。 ①设； ②计算距离：，得（舍去，即）； ③。 三、易错点 1.相交时漏求交点，直接找两点对称（易出错）； 2.平行时设错直线方程（需与原直线同系数形式）； 3.距离计算时未统一直线方程系数。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 6．（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 三、填空题 7．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 9．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 10．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 四、解答题 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 12．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 13．（25-26高二上·山西太原·阶段练习）（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长． 14．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 15．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B D AC BD 1．B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 2．D 【分析】根据两点间距离公式计算，再利用余弦定理即可求得. 【详解】因为，三点不共线， 则， ， ， 由余弦定理，可得. 故选：D. 3．B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 4．D 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 5．AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 6．BD 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D． 【详解】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 7． 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 8． 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 9．1 【分析】根据题意画出图形，求出点与的坐标，即可求出的长，进而求出等边三角形的高，由和的面积相等，得到点与点到直线的距离相等，利用平行线距离列出直线方程，把点P代入CP直线方程求解即可． 【详解】如图所示：    因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 故答案为：1 10． 【分析】设与平行的直线方程为，求出两直线交点的坐标并代入即可求得结果. 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 11．(1) (2)或 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点的坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离，列式求解即可． 【详解】（1）如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上，    所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． （2）点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 12．(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 13．（1）；（2） 【分析】（1）先求两直线的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程； （2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 14．(1) (2) 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． （2）由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（1）中方程求解即可. 【详解】（1）设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. （2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二上学期数学常考题型归纳 【第10讲：直线的交点坐标与距离公式】 【知识梳理】 一、核心知识体系 （一）直线的交点坐标 1.核心原理 两直线与的交点坐标，即为方程组的解，体现“几何交点与代数解”的对应关系。 2.与直线位置关系的关联 方程组解的情况 公共点个数 直线位置关系 代数条件 唯一解 1个 相交 无数组解 无数个 重合 且 无解 0个 平行 且 （二）距离公式体系 1.两点间距离公式 条件：点、 公式： 特例：点到原点距离。 2.点到直线的距离公式 条件：点、直线 公式： 特殊情况： 点到x轴距离：（对应直线） 点到y轴距离：（对应直线）。 3.两平行直线间的距离公式 条件：、（需保证A、B系数一致） 公式： 转化思想：可在上任取一点（如特殊点），转化为该点到的距离。 二、典型考法与真题提炼 （一）直线交点相关问题 1.直接求交点坐标 考法：联立两直线方程求解。 例题：求直线与的交点，联立得，解得交点为。 2.过交点的直线方程 考法：先求交点，再结合其他条件（如过定点、截距等）求方程。 真题示例：过直线与的交点，且过原点的直线方程为______。 解析：联立得交点，由两点式得方程。 3.多直线共点问题 考法：先求两直线交点，代入第三条直线求参数。 真题示例：若三条直线、、交于一点，求k的值。 解析：联立前两式得交点，代入第三式得，解得。 4.直线过定点问题 考法：分离参数，令参数系数与常数项均为0求定点。 真题示例：直线必过定点______。 解析：变形为，令且，得定点。 （二）距离公式的应用 1.两点间距离的实际场景 考法：结合三角形性质（如直角、等腰）判断或计算。 真题示例：已知顶点、、，判断三角形形状。 解析：计算、、，故为等腰三角形。 2.点到直线距离的综合应用 考法1：已知距离求直线方程（需讨论斜率存在与否）。 真题示例：过点且原点到其距离为2的直线方程为______。 解析：斜率不存在时为；斜率存在时设，由距离公式得，方程为。 考法2：距离最值问题。 真题示例：过点且与原点距离最大的直线方程为______。 解析：该直线与过原点和定点的线段垂直，斜率为，方程为。 3.平行直线间距离的计算 考法：先统一A、B系数，再代入公式。 真题示例：求直线与的距离。 解析：将后者化为，代入公式得。 三、易错点与避错策略 1.公式应用前提疏漏 易错点：用平行直线距离公式时，未统一A、B系数；点到直线距离公式未化直线为一般式。 策略：先将直线方程整理为标准一般式，确保系数一致后再代入公式。 2.忽略斜率不存在的情况 易错点：求直线方程时，仅设点斜式，遗漏垂直x轴的直线。 策略：涉及直线过定点、已知距离等问题，优先验证斜率不存在的情况。 3.多解问题考虑不全 易错点：如“到两点距离相等的直线”仅考虑平行情况，遗漏过中点的直线。 策略：结合几何意义分析，如距离相等可能对应“平行”或“过中点”两种情形。 四、核心思想与解题方法 1.方程思想：通过联立方程组解决交点问题，用代数运算处理几何位置关系。 2.化归思想：将平行直线间距离转化为点到直线距离，将复杂距离问题转化为基础公式应用。 3.分类讨论思想：针对斜率存在与否、直线位置关系（相交/平行/重合）等情况分类分析，避免漏解。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：两直线的交点坐标】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【例题2】【多选题】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高二上·湖北·期中）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心解题原则：“代数化几何”——联立方程定交点 两直线交点的本质是“满足两直线方程的公共解”，所有解题策略均围绕“联立方程组→分析解的情况→求解目标量”展开，核心逻辑如下： 若直线、，则： 1.先将两直线方程整理为标准一般式（x、y系数为整数，常数项移至右边）； 2.联立方程组，通过“消元法”求解； 3.根据解的个数判断直线位置关系（唯一解→相交，无数解→重合，无解→平行），再针对性解决问题。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接求两直线交点坐标（教材例题核心考法） 解题策略：规范消元，精准计算 步骤： 1.整理两直线为一般式（若已为一般式可跳过）； 2.选择“代入消元法”或“加减消元法”（系数为分数时优先加减消元，系数有倍数关系时优先代入消元）； 3.解出x（或y）后，代入任一直线方程求另一变量，得到交点坐标； 4.验证：将交点代入两直线方程，确认均满足（避免计算错误）。 教材例题应用： 求直线与的交点。 步骤1：方程已为一般式，联立； 步骤2：用代入消元法，由②得，代入①：，解得； 步骤3：代入得，交点为； 步骤4：验证：，，均满足。 （二）中档题型1：过两直线交点的直线方程（高考高频考法） 解题策略1：“先求交点+再用条件”（基础通用法） 步骤： 1.联立两直线方程，求出交点； 2.根据题目附加条件（如过定点、截距关系、斜率已知等），选择直线方程形式（点斜式、两点式、截距式）； 3.代入条件求出直线方程，整理为一般式。 高考真题应用： 过直线与的交点，且过原点的直线方程为______。 步骤1：联立得，①-②得，代入②得，交点； 步骤2：过原点与，用两点式：； 步骤3：整理得。 解题策略2：“直线系方程”（技巧提速法，教材拓展内容） 当题目无需具体求交点，仅需求“过两直线交点的直线”时，可设直线系方程： （为参数，不含本身），再代入附加条件求，避免求交点的计算量。 同一真题技巧应用： 设过两直线交点的直线系为； 因过原点，代入得，解得； 代入直线系：，整理得（与通用法结果一致，更快捷）。 （三）中档题型2：多直线共点求参数（高考含参题型重点） 解题策略：“先定两线交点，再代入第三线” 步骤： 1.选择不含参数的两条直线（或易求解的两条直线），联立求交点； 2.因三线共点，交点必满足第三条含参直线方程，将代入； 3.解关于参数的一元一次方程，得到参数值； 4.验证：将参数值代入第三条直线，确认三线确实交于一点（避免参数使直线平行的情况）。 高考真题应用： 若三条直线、、交于一点，求的值。 步骤1：联立前两条无参直线：，由②得，代入①得，解得，，交点； 步骤2：代入第三条直线：，即，解得； 步骤3：验证：时，第三条直线为，与第二条直线重合？不，原第二条直线是，此处需注意：若代入后参数使第三条直线与前两条之一平行，则需排除，但本题时，第三条直线与前两条均相交于，有效。 （四）进阶题型：直线过定点（隐藏的“交点问题”，高考难点） 解题策略：“参数分离法”——定点是两定直线的交点 直线过定点的本质：“含参数的直线方程，无论参数取何值，均过某固定点”，该定点即“参数系数为0的直线”与“常数项为0的直线”的交点。 步骤： 1.将直线方程整理为“含参数的项+不含参数的项=0”的形式，即（为参数）； 2.令参数系数与常数项均为0，联立； 3.解方程组得定点坐标，代入原直线方程验证（确保对任意参数均成立）。 高考真题应用： 直线必过定点______。 步骤1：分离参数：，即，； 步骤2：联立，解得，； 步骤3：验证：代入原直线，，对任意均成立，定点为。 三、易错点专项规避策略 1.联立方程前未整理为一般式 易错例：直线与联立，直接写，易因符号混乱出错； 规避：先整理为与，再联立。 2.忽略“直线重合”的特殊情况 易错例：求过与交点的直线，直接设直线系，未发现与重合（无数交点）； 规避：联立前先判断两直线位置关系（看是否为0，且是否为0），重合时所有过该直线的直线均满足条件。 3.参数分离不彻底 易错例：直线分离为，未分组； 规避：严格按“参数×(x,y表达式)+常数项(x,y表达式)=0”分组，确保参数只出现一次。 四、解题通用流程总结 1.审题定类型：判断是“直接求交点”“过交点求直线”“共点求参数”还是“过定点”； 2.选方法：基础题用“联立消元”，含参题优先“直线系”或“参数分离”； 3.计算求解：按步骤运算，优先选择减少计算量的方法（如直线系避免求交点）； 4.验证结果：代入原直线方程或条件，确认解的有效性（避免计算错误或漏特殊情况）。 【题型二：两点间的距离公式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 【例题2】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【解题策略】 一、核心公式与适用场景 1.基础公式 若点、，则两点间距离公式为： 关键变形：无需比较距离具体值时，可通过比较“距离平方”简化计算，公式为： （避免根式运算，减少计算误差与步骤） 2.特殊场景公式 点到原点的距离：若点，原点，则距离公式为： 其距离平方形式为： 3.适用场景 已知两点坐标，直接计算距离； 已知距离关系（如相等、倍数、平方和/差），求点的坐标或参数； 结合几何图形（三角形、多边形、曲线），分析边长、形状或最值； 推导动点轨迹方程（基于距离约束条件）。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接计算两点间距离（教材核心考法） 解题策略：“坐标定位→代入公式→化简计算” 步骤： 1.明确两点的横、纵坐标（含参数时需先确定参数值）； 2.代入距离公式，先计算“横纵坐标差的平方和”，再开方（结果化为最简二次根式）； 3.若仅需比较距离大小，直接比较“距离平方”即可。 教材例题应用： 例1：求点与的距离。 步骤1：确定坐标：，； 步骤2：代入公式计算平方和： 步骤3：开方得距离： 例2：求点到原点的距离。 代入点到原点公式： （二）中档题型1：判断三角形形状（高考高频考法） 解题策略：“求三顶点坐标→算三边距离→用三边关系判断” 核心逻辑：通过距离公式计算三边长度，结合几何性质（等腰、直角、等边）判断形状，关键公式为“勾股定理逆用”： 若，则为直角三角形（）。 高考真题应用： （新课标卷改编）已知的顶点坐标为、、，判断的形状。 步骤1：计算三边距离（先算平方，再开方）： ，故； ，故； ，故； 步骤2：判断关系：，且，故为等腰三角形。 （三）中档题型2：距离相关最值问题（高考重点难点） 1.定点到动点的距离最值（动点在直线/曲线上） 解题策略：“设动点坐标→列距离平方表达式→转化为函数最值” 核心公式：设定点，动点（由动点所在曲线方程设参），则距离平方公式为： 转化为关于的函数，通过配方、导数等求最值。 高考真题应用： （全国卷）求抛物线上一点到点的距离的最小值。 步骤1：设动点（因在抛物线上，满足）； 步骤2：列距离平方表达式： 步骤3：展开并转化为二次函数： 展开得，令，则： 步骤4：配方求最值： 当（即）时，最小值为； 步骤5：开方得距离最小值： 2.两定点到动点的距离和/差最值（“将军饮马”模型） 解题策略：“对称转化→化曲为直” 核心公式：利用“两点之间线段最短”，设定点$A、B$，动点在直线上，为关于的对称点，则： 距离和最小值：（当为与交点时取等）； 距离差最大值：（当为延长线与交点时取等）。 高考真题应用： （浙江卷）已知直线，求直线上一点，使到点与的距离之和最小。 步骤1：判断与直线的位置：代入到方程，，故在上； 步骤2：距离和最小值为（因时，）； 步骤3：计算： 步骤4：确定坐标：即（此时距离和最小为）。 （四）进阶题型：求轨迹方程（距离条件转化） 解题策略：“设动点坐标→用距离公式列方程→化简方程” 核心公式：设动点，根据距离约束条件（如、），代入距离公式列方程，再化简。 高考真题应用： （北京卷）已知点满足到点的距离是到点距离的2倍，求点的轨迹方程。 步骤1：列距离约束关系：； 步骤2：代入距离公式： 步骤3：两边平方消去根式（注意等式两边非负）： 步骤4：展开并整理： 左边展开： 右边展开： 移项合并同类项： 两边同乘并整理为标准形式： （或化为圆的标准方程： 两边除以3： 配方： 即：） 三、易错点专项规避策略 1.坐标符号代入错误 易错例：计算与的距离时，误写为（忽略的负号）； 规避：代入公式时明确，，再平方（负号平方后为正，无需额外处理）。 2.根式运算冗余 易错例：比较与时，先开方再比较（增加计算量）； 规避：直接比较与，因平方函数在单调递增，大小关系一致。 3.动点参数设错 易错例：求直线上动点到的距离时，设导致双变量； 规避：根据直线方程设单参数，如，将距离表达式化为关于的单变量函数，即： 【题型三：点到直线的距离公式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【相似题2】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【解题策略】 一、核心公式与适用前提 1.基础公式（核心） 若点，直线（前提：A、B不同时为0，即直线非退化），则点到直线的距离公式为： 分子绝对值：保证距离为非负（几何意义：距离是长度，不能为负）； 分母根号下系数平方和：源于直线一般式的法向量模长（几何意义：法向量方向的单位长度换算）。 2.特殊场景简化公式（高频应用） 当直线与坐标轴平行时，可跳过复杂公式直接计算，避免冗余运算： 若直线（垂直于x轴），则距离为横坐标差的绝对值： 若直线（垂直于y轴），则距离为纵坐标差的绝对值： 3.适用场景 已知点与直线，直接计算距离； 已知距离求直线参数（如直线含参数，已知点到直线距离为定值）； 求平行直线间距离（转化为“一条直线上任意一点到另一条直线的距离”）； 几何图形相关计算（如三角形的高、圆的切线长、动点到定直线的最值）。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接计算点到直线的距离（教材核心考法） 解题策略：“直线化一般式→代入公式→化简计算” 步骤： 1.若直线非一般式（如斜截式、两点式），先整理为（确保A、B无分数，系数最简）； 2.明确点的横纵坐标，代入公式分子（计算绝对值内的值，再取绝对值）； 3.计算分母（根号下，结果化为最简二次根式）； 4.约分得到距离（若分子分母可约分，需化为最简分数或根式形式，分母需有理化）。 教材例题应用： 例1：求点到直线的距离。 步骤1：直线已为一般式（）； 步骤2：代入分子：； 步骤3：计算分母：； 步骤4：距离。 例2：求点到直线的距离。 步骤1：将直线化为一般式：（）； 步骤2：代入分子：； 步骤3：计算分母：； 步骤4：距离（分母有理化，符合教材规范）。 （二）中档题型1：已知距离求直线参数（高考高频考法） 解题策略：“设直线方程→化一般式→代入距离公式→解方程求参数” 关键：需根据直线是否含斜率分类讨论（避免漏解，如直线垂直于x轴时斜率不存在），步骤： 1.设直线方程（含参数，如斜率为，或截距为）； 2.分情况整理直线为一般式： 斜率存在：设，整理为； 斜率不存在：直线为（单独验证是否满足距离条件）； 3.代入距离公式，列关于参数的方程； 4.解方程得参数值，验证所有解的有效性（避免参数使直线退化，或与已知条件矛盾）。 高考真题应用： （新课标卷）过点且原点到该直线的距离为1的直线方程为______。 步骤1：分类讨论直线斜率： ①斜率不存在：直线方程为（过点）； 验证距离：原点到的距离为，满足条件，故是解。 ②斜率存在：设斜率为，直线方程为； 整理为一般式：（）； 代入距离公式：原点到直线的距离； 列方程：； 两边平方（因，平方后等式成立）： →→→； 代入直线方程：，整理为。 步骤2：综合解：直线方程为或。 （三）中档题型2：点到直线的距离最值（高考重点难点） 解题策略：分“定点到动直线”“动点到定直线”两类，结合几何意义或函数思想 1.定点到动直线的距离最值（核心：抓动直线的“定点”或“斜率变化规律”） 若动直线过定点：则距离最值为“定点到定点的距离”（最大值，当直线与垂直时取到；最小值为0，当直线过时取到）； 若动直线含参数（如斜率变化）：代入距离公式转化为关于参数的函数，求函数最值。 高考真题应用： （全国卷）已知直线，求点到直线的距离的最大值。 步骤1：分析动直线的定点：分离参数得，令，得定点； 步骤2：几何意义：点到直线的距离，本质是“点到直线上任意一点的距离的最小值”，而直线过定点，故（当时，，即最大值）； 步骤3：计算：； 结论：距离最大值为。 2.动点到定直线的距离最值（核心：设动点坐标，转化为函数最值） 若动点在曲线（如直线、抛物线、圆）上：设动点坐标（用曲线方程消元，化为单变量），代入距离公式得函数，求最值。 高考真题应用： （浙江卷）求抛物线上任意一点到直线的距离的最小值。 步骤1：设动点（因在抛物线上，满足）； 步骤2：代入点到直线距离公式：直线为一般式，则： （分子提取负号，绝对值不变）； 步骤3：求分子二次函数的最小值：令，配方得，因二次项系数为正（开口向上），最小值为； 步骤4：计算距离最小值：。 （四）进阶题型：平行直线间距离（转化为点到直线距离，高考常考） 解题策略：“统一系数→取点→代入公式” 核心逻辑：平行直线与（前提：A、B完全一致），距离等于上任意一点到的距离。 步骤： 1.若两直线A、B系数不同，先统一（如将系数化为相同的整数，避免分数）； 2.在其中一条直线上取特殊点（如令求，或令求，简化计算）； 3.代入点到直线距离公式，计算该点到另一条直线的距离，即为平行直线间的距离。 高考真题应用： （北京卷）求平行直线与之间的距离。 步骤1：统一A、B系数：将第一条直线两边同乘2，得，此时，（）； 步骤2：在上取特殊点：令，代入得→，即点； 步骤3：计算到的距离： 结论：平行直线间的距离为。 三、易错点专项规避策略 1.直线未化为一般式直接代入 易错例：求点到直线的距离，误代入（未先整理直线为，易漏写常数项符号）； 规避：必须先将直线整理为，明确A、B、C的符号后再代入。 2.忽略斜率不存在的情况 易错例：已知点到直线距离为1，仅设斜截式，遗漏直线或； 规避：涉及“过定点求直线”“已知距离求直线”时，优先验证斜率不存在的直线（）是否满足条件。 3.平行直线系数未统一 易错例：求与的距离，直接代入（未统一A、B）； 规避：先将两直线A、B化为完全相同的系数（如将第一条乘2），再用公式计算。 【题型四：平行线的距离公式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题策略】 一、核心公式与推导逻辑 1.标准公式（前提必看） 若两条平行直线的方程为： ， （核心前提：A、B完全一致，且，避免直线重合） 则与之间的距离公式为： 2.公式推导（关联点到直线距离） 平行线距离的本质是“一条直线上任意一点到另一条直线的距离”，推导步骤： 1.在上取特殊点（如令，得，即点，）； 2.计算点到的距离： （推导过程验证了公式的合理性，也说明“统一系数”是关键） 3.适用场景 直接计算已知平行直线的距离； 已知平行直线距离，求直线中的参数（如或A、B中的参数）； 结合几何图形（如平行直线截三角形、平行直线与圆相切），求面积、半径等。 二、分层解题策略与实例应用 （一）基础题型：直接计算平行直线的距离（教材核心考法） 解题策略：“统一系数→代入公式→化简结果” 步骤： 1.检查两直线A、B系数：若不一致，需将其中一条（或两条）直线的A、B化为与另一条完全相同的整数（优先消去分数，保证系数最简）； 2.确认（若，则两直线重合，距离为0）； 3.代入公式计算：分子取，分母计算，结果需分母有理化（若分母含根号）或化为最简分数。 （二）中档题型：已知平行直线距离求参数（高考高频考法） 解题策略：“先定平行条件→统一系数→列距离方程→求解验证” 关键：先利用“两直线平行”的代数条件（且）锁定参数范围，再结合距离公式求解。 步骤： 1.根据“平行”条件，列出关于参数的等式（如），初步确定参数可能的值； 2.排除使直线重合的参数（即的情况）； 3.将剩余参数对应的直线统一A、B系数，代入距离公式列方程； 4.解方程得参数值，再次验证直线是否平行且不重合。 高考真题应用： （全国卷改编）已知直线与平行，且两直线距离为，求的值。 步骤1：验证平行条件：与平行需满足（，成立），且（），即（排除重合）； 步骤2：统一A、B系数：将两边同乘2，得， 步骤3：代入距离公式列方程： 化简分母：，方程变为： 步骤4：解方程：两边同乘得； 即或，解得或； 步骤5：验证：两解均满足，直线平行且不重合，故或。 （三）进阶题型：平行直线与几何图形结合（高考难点） 解题策略：“抓几何关系→用距离公式关联未知量” 常见场景：平行直线截三角形求高、平行直线与圆相切求半径、平行直线间的区域面积计算，核心是“距离公式作为桥梁，连接几何量与代数参数”。 高考真题应用1：平行直线与三角形面积 （浙江卷）已知三角形的三个顶点为、、，直线与AB、AC平行，求直线截三角形所得小三角形的面积。 步骤1：分析原三角形与平行关系：是x轴（），是y轴（），直线与AB、AC不平行？修正：实际应为“直线与平行”（方程：），题目调整后：直线与平行，且与AB、AC相交； 步骤2：求原三角形高：到原点的距离是原三角形的高； 步骤3：设直线到的距离为，因与平行，截得的小三角形与原三角形相似，相似比为； 步骤4：若过三角形内部（如，直线），则，相似比为； 步骤5：原三角形面积，小三角形面积（距离公式关联相似比，进而求面积）。 高考真题应用2：平行直线与圆相切 （新课标卷）若圆（）与两条平行直线和都相切，求圆的半径。 步骤1：分析圆与平行直线的位置：圆与两条平行直线都相切，说明圆心到两条直线的距离相等，且均等于半径； 步骤2：计算圆心到直线的距离：圆心到的距离： 圆心到的距离： 步骤3：验证“都相切”条件：因两条平行直线在圆两侧，半径（或直接取圆心到任一直线的距离？此处需注意：若圆与两平行线都相切，两平行线间距离为，故半径，更简便）； 结论：。 三、易错点专项规避策略 1.未统一A、B系数直接代入公式 易错例：求与的距离，误写为（忽略A、B系数未统一）； 规避：先将第一条直线乘2得，再代入公式。 2.忽略“平行且不重合”的前提 易错例：已知直线与距离为，直接统一系数求解，未先确认（平行条件）且（不重合）； 规避：先由得，再由得，最后代入距离公式。 3.取特殊点计算时坐标错误 易错例：在上取点时，令误算为（正确应为）； 规避：取点时优先令或，代入直线方程时注意移项符号，如→。 4.分母有理化不彻底或化简错误 易错例：结果写为（未化简分母）或（未有理化）； 规避：先化简根号内的数（），再有理化（）。 四、解题通用流程总结 1.判平行：确认两直线是否平行（且），排除重合； 2.统系数：将两直线A、B化为完全相同的整数系数，确保公式适用； 3.代公式：代入，计算分子绝对值与分母模长； 4.验结果：检查是否分母有理化、化简是否正确，结合几何条件验证合理性（如与图形结合时，距离是否符合实际长度）。 【题型五：点关于直线的对称点】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程． 【例题2】（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【相似题2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心性质（解题根本） 设点关于直线的对称点为，则满足： 1.连线：斜率关系（时），或平行于的法向量（，通用式）； 2.中点在上：。 二、分层解题策略（含实例） （一）基础题型：求具体点的对称点 策略：列二元方程组求解 步骤： 1.代入上述两性质，列方程组： 2.解方程组得x'、y'。 例：求关于的对称点。 列方程： 化简：（补充计算）→解得（在上，对称点为自身）。 （二）综合题型：对称点的应用（轨迹/最短路径） 1.求轨迹：设动点，其对称点满足已知条件，代入对称关系化简。 例：动点关于的对称点在圆上，求轨迹。 设，由对称性质得； 代入圆方程：，化简得。 2.最短路径：利用“对称点与定点连线最短”，转化为两点间距离。 例：求到再到的最短路径。 取对称点（在上），最短路径为。 （三）含参题型：已知对称关系求参数 策略：利用对称性质列方程 例：若关于的对称点为，求a、b。 中点在上：； ：； 联立解得。 三、易错点规避 1.漏用“中点在直线上”：仅考虑垂直，忽略中点条件； 2.斜率不存在/为0时出错：直线垂直x轴（如），对称点横坐标为，纵坐标不变； 3.方程组求解计算失误：优先用通用式列方程，减少斜率计算。 【题型六：直线关于直线的对称】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题2】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心思路 利用“点的对称”推导：找原直线上2个关键点（如交点、特殊点），求其关于对称轴的对称点，两点连线即为对称直线。 二、分情况策略（含实例） 1.两直线相交（最常见） 步骤： ①求原直线与对称轴的交点（在对称直线上）； ②在上取异于的特殊点，求关于的对称点； ③由M、P'两点式，得方程。 例：求关于的对称直线。 ①求交点：联立，无解（实际换例：，，交点）； ②取在上，求其关于的对称点； ③由，得。 2.两直线平行（对称轴与原直线平行） 步骤： ①设对称直线与原直线同斜率（平行），设方程为（）； ②利用“到对称轴的距离相等”，列方程求。 例：求关于的对称直线。 ①设； ②计算距离：，得（舍去，即）； ③。 三、易错点 1.相交时漏求交点，直接找两点对称（易出错）； 2.平行时设错直线方程（需与原直线同系数形式）； 3.距离计算时未统一直线方程系数。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 6．（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 三、填空题 7．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 9．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 10．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 四、解答题 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 12．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 13．（25-26高二上·山西太原·阶段练习）（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长． 14．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 15．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $