广东省深圳市深圳盟校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度高二第一学期期中考试·数学试题 参考答案、提示及评分细则 1.A2.B3.B4.A5.C6.A7.D8.D9.ABD10.AC11.BCD 121518号2分)28分)1425 3 15.解：(1)联立两直线41：3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0, 解得x=一2，y=2,即交点坐标为（一2,2），… 2分 直线3x十y一1=0的斜率为一3，… 3分 所以直线1的斜率为写， 4分 所以直线l的方程为y-2=号（x十2)，即x-3y十8=0.… 6分 (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=一2，圆心(3,1)到直线的距离d=5=r,符合题意： 8分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y一2=k(x十2)，即kx一y十2k十2=0，…9分 根据题意得：圆心到直线的距离d=5+1 =5, 10分 /k+1 解得k=12 11分 所以直线l的方程为12x-5y十34=0.… 12分 综上，直线l的方程为x=一2或12x一5y+34=0.… 13分 16.解：以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，…… ……1分 则A(2,0,0),E(0,0,1),B1(2,2,2),F(2,2,1),C(0,2,2). …2分 (1)证明：法1：因为A正=(-2,0,1)，FC=(-2,0,1),A正∥FC,…4分 又因为A,E,F,C四点不共线，所以AE∥FC, 又因为AEC平面AB1E,FC1平面AB1E,… 5分 所以FC∥平面ABE.… 6分 法2：因为AE=(-2,0,1),AB1=(0,2,2), …3分 AE·n=0, 2x十=0， 设平面AB1E的法向量n=(x,y,之)，则有 即 …………4分 AB·n=0, 2y+22=0, 所以n=（1,一2,2)，… 5分 因为FC=(-2,0,1),所以FC·n=0,… 6分 又因为AEC平面AB1E,FC吐平面AB1E,…7分 所以FC∥平面ABE.… 8分 (法向量求解给3分，如果第一问没有求法向量，第一问5分（法向量的3分放在第二问）：如果求法向量，第 【高二期中考试·数学试题参考答案第1页（共4页）】 26-X-081B 一问8分：几何法酌情给分) (2)解：直线BB1与平面ABE所成角为0，BB1=(0,0,2),… …9分 所以sin0=|cos(Bi1,n) 10分 Bi1·n 4 1BB1·1n3×2=3 11分 所以直线B,与平面ABE所成角的正弦值为号 12分 (3)解：设点F到平面AB1E的距离为d,因为AF=(0,2,1),… 13分 所以4=1市，ml-=l1X0+(-2x2+1x2 n 3 14分 所以点F到平面AB,E的距离为子. 15分 17.解：(1)法1：设圆心C的坐标为(a,0), 1分 因为A,B是圆上两点，所以CA=CB引，… …2分 根据两点间的距离公式，有√(a一1)2十(0一2)2=√(a一3)2十(0一0)2，…3分 解得a=1,所以圆心C的坐标是(1,0).… 4分 圆的半径r=|AC=√(1-1)2+2=2.… …6分 所以所求圆C的标准方程是(x一1)2十y2=4.… …7分 法2：设线段AB的中点为D.因为A(1,2),B(3,0),可得点D的坐标为(2,1)， …1分 因为直线AB的斜率为k侣==L.……2分 因此线段AB的垂直平分线'的方程是y一1=1·(x-2),即x一y一1=0. …4分 直线'与x轴的交点坐标为(1,0)，所以圆心C的坐标是(1,0)，…5分 圆的半径r=|AC=√1-1)2+2=2. …6分 所以所求圆的标准方程是(x一1)2十y=4.… …7分 (2)法1：设圆心C1,0)到直线x一y十1=0的距离为d,d=12L …8分 /m2+I 直线x-y十1=0与圆相交于M,N两点，则|MN|=2√2一正=24一d,…9分 所以S=号|MIN…d=号X2VP-.d=4-d,d=2, 11分 解得d-4十4=0，即(-2)2=0，所以形=2，…12分 因为>0，所以d=,即d=2L =2, 14分 /m2+1 所以m2=1,m=土1. 15分 法2：因为圆C的半径r=2,则|CM=|CN|=2, …9分 又因为2|CM·|CN川=2=2，… 11分 所以∠MCN=90°， 12分 【高二期中考试·数学试题参考答案第2页（共4页）】 26-X-081B 所以△CMN是等腰直角三角形，… 13分 所以圆.心C到直线x一my叶1=0的距离d=2=2, 14分 /m2+1 所以m2=1,m=士1 15分 18.(1)证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB,…1分 因为A1B∥AB,BF⊥A1B,所以BF⊥AB,… 2分 又BB1∩BF=B,BB,BFC平面BB1CC,所以AB⊥平面BCCB.…4分 (2)证明：因为BA,BC,BB两两垂直 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系， 如图。…5分 所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C(0,2,2),E(1,1, 0),F(0,2,1).…6分 由题设D(a,0,2)(0≤a≤2).…7分 因为B=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2), 所以B萨.D克=0X(1-a)+2×1+1×(-2)=0, …8分 所以BF⊥DE.… …9分 (3)解：设平面DFE的法向量为m=(x,y,), 因为E序=(-1,1,1)，D=(1-a,1,-2),所以 m…E市=0，{-x十y十z=0, 即 m·Di=0,(1-a)x+y-2x=0. 令=2-a,则m=(3,1+a,2-a). 11分 因为平面BCC1B1的法向量为BA=(2,0,0), …12分 设平面BCCB与平面DEF所成的角为0,0∈[0，受]， 则|cos0l=,m·BA 14分 |ml·|BA2X√2a2-2a+14√2a2-2a+14 当a=时，2a2-2a十4取最小值为号， 15分 此时cos0取最大值为3 6 ，此时BD=， 16分 27 所以当BD=专时，平面B,CC与平面DPE所成角的余弦值最大，最大值是写。 17分 19.解：(1)由已知，将圆C的一般方程化为标准方程为(x一22)+(y一2√2)=4， 所以圆C的圆心C1(2√2,2√2)，半径n1=2,…1分 因为圆C与圆C1相切于点N(√2，√2)， 所以点C,C,N三点共线，即圆C的圆心在直线C1N上， 因为直线CN的方程为y=x,… …2分 所以设圆C的圆心C(a,a), 【高二期中考试·数学试题参考答案第3页（共4页）】 26-X-081B 因为M(0,一2)，N(2,2)在圆C上，所以CM=|CN|, 所以√a+(a+2)=√(a-2)+(a-√2)， 解得Q=b=0,… …3分 则圆心C坐标为(0,0)，半径r=|CM=2, 4分 所以圆C的方程为x2十y2=4.… 5分 (2)设P(x,y), 因为A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点， 所以|PA2+|PB1+|PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2 …6分 =3.x2十3y2-4y十68，…7分 因为点P在圆x2十y2=4上运动， 则x2=4一y2≥0，解得一2≤y≤2， 8分 所以3.x2十3y2-4y十68=-4y十80，…9分 当y=一2时，|PA2+|PB引2+PC2取得最大值88，…10分 当y=2时，PA2+|PB2+|PC2取得最小值72. 11分 (3)法一：由题可知，G(4,0),因为直线m过点G,且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在，… 12分 所以设直线m的方程为y=k(x一4)，将y=k(x一4)代人x2+y2=4, 得：(1十k2)x2-8k2x十16k2-4=0.…13分 设D以W.B.所以看十=器西-14分 所以Gd.G=(-4)(2-4)十y2=(x-4)(2-4)+k2(x1一4)(x2-4) =(1+k2)(xm1-4)(x2一4)=(1+k2)[x1x2-4(x1+x2)+16] =1+)(会-4￥+16)=1+6)1-4+16+16C 1+ =12,… 16分 所以G市·G主为定值，这个定值为12. 17分 法二：取DE中点H,连OH,则OH⊥DE,H为DE中点，… 12分 所以G市.G 13分 =(Gi+HD)·Gi+Hi) 14分 =(Gi-HE·(Gi+H正) 15分 =Gi-龙 16分 =(0-0)-(22-0i)=4-2=12. 17分 【高二期中考试·数学试题参考答案第4页（共4页）】 26-X-081B2025~2026学年度高二第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在空间直角坐标系Oxy之中，点A(1,3,一2)在平面Oxy上的射影点的坐标为 A.(1,3,0) B.(1,0,-2) C.(0,3,-2) D.不确定 2.直线3x一y十1=0的倾斜角是 A.30° B.60 C.120° D.150° 3.方程x2+y+4x一2y十5m=0表示圆，则m的取值范围是 A.m>1 B.m<1 C.m>1 D.m≤1 4.已知直线：l1:a.x-2y十1=0，l2:x+(a-3)y十a=0,则“a=2”是“l1∥12”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件 5.圆x2十y2-10x一10y=0和圆x2+y2一6x+2y一40=0的位置关系是 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 6.设点A(2,一3)，B(一3，一2)，若直线1过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率k的 取值范围是 ( Ak≥是或长-4 Bk≥或长-月 C-4长≤ D.-<k≤4 【高二期中考试·数学试题第1页（共4页）】 26-X-081B 7.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b,若圆上恰有两个点到直线1的距离等于1，则实数b的取 值范围是 () A.(-√2，√2) B.(-∞，-√2)U(W2,+o∞) C.(-3V2,3√2) D.(-3√2，-2)U(2,3√2) 8,在平面直角坐标系O中，过原点的直线1交曲线y一↓于点A,B,沿x轴把平面直角坐标 系折成大小为60°的二面角，则线段AB长度的最小值为 () A.45 B.4 C.25 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于直线1：(m一2)x十y一2m+1=0与圆C:x2+y2一6x-4y十4=0，下列说法正确的是 () A.l过定点(2,3) B.C的半径为3 C.1与C可能相切 D.1被C截得的弦长最小值为27 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD,中，点P满足BP-入BC+uBB1,其中A∈[0,1]， ∈[0,1]，则 A.当入==1时，AP∥平面ABCD B.当入=1时，点P在棱BB1上 C.当=1时，三棱锥P-A,BC的体积为定值 D.入=时，存在两个点P,使得AP⊥BP 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ（入≠1）的点 的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知A(一4,2)，B(2,2), 点P满足盼-2，设点P的轨迹为圆C,则下列说法正确的是 A.圆C的方程是(x一4)2+(y一2)2=4 B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C.若x,y满足圆C的方程，则x一y的最大值是2十4W2 D.过直线3.x+4y=60上的一点P向圆C引切线PM,PN,则四边形PMCN的面积的最小 值为163 【高二期中考试·数学试题第2页（共4页）】 26-X-081B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知u=(3,a,b)(a,b∈R)是直线1的方向向量，n=(1,2,3)是平面a的法向量，若1⊥a,则 a+b= 13.已知直线y=kx十b(k>0)与圆x2十y2=1和圆(x一4)2十y2=1均相切，则k= b= 14.已知A(0,2),点P在直线x+y十+2=0上，点Q在圆C:x2+y2-4x一2y=0上，则|PA|+ |PQ的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 直线1经过两直线l1:3x+4y一2=0和l2:2x+y+2=0的交点. (1)若直线1与直线3x十y一1=0垂直，求直线l的方程； (2)若直线1与圆(x一3)2+(y一1)2=25相切，求直线1的方程 16.(本小题满分15分) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,BCD1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB,的 中点。 (1)证明：FC1∥平面AB1E: D (2)求直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值； (3)求点F到平面ABE的距离. 【高二期中考试·数学试题第3页（共4页）】 26-X-081B 17.(本小题满分15分) 已知圆C的圆心C在x轴上，并且过A(1,2)和B(3,0)两点. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线x一my十1=0与圆相交于M,N两点，△CMN的面积为2，求实数m的值. 18.(本小题满分17分) 已知直三棱柱ABC-A1BC中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC, CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA B. (1)证明：AB⊥平面BCC1B; (2)证明：BF⊥DE; (3)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成角的余弦值最大？ 并求出这个最大值. 19.(本小题满分17分) 设圆C过点M(0,-2)且与圆C:x2+y2-42x-4√2y+12=0相切于点N(√2，√2). (1)求C的方程； (2)已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,一2)三个点，点P在圆C上运动，求|PA2+|PB2+ |PC2的最大值和最小值： (3)已知直线l:x=4与x轴交于点G,过点G的直线m与圆C交于D,E两点，求证： GD.GE为定值，并求出这个定值。 【高二期中考试·数学试题第4页（共4页）】 26-X-081B