1.3 集合的基本运算讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3节 集合的运算 【考点归纳】 【考点1】集合的并交补综合运算 【例题】 1、（25-26高一·北京月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2、（24-25高一上·福建三明·阶段练习）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【专题作业】 1、（25-26高一·全国月考）已知全集. (1)求； (2)求. 2、（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求： (1)； (2)． 3、（25-26高一·全国）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【例题】 1、（25-26高一·广东深圳月考）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2、（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【举一反三】 1、（2025高一·浙江·期末）设全集，集合，若，则 ． 2、（23-24高一上·山西大同·期末）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 3、（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围。 【专题作业】 1、（2025高一·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 2、（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、（2025·河南驻马店模拟）已知全集，若，求实数a的取值范围。 【考点3】集合并交补抽象运算、新定义运算 【例题】 1、（2025高一·全国月考）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 2、（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【举一反三】 1、（2025高一·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【专题作业】 1、（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 2、（23-24高一上·广东惠州·阶段）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【考点4】容斥原理与应用 【例题】 1、（2025高一·全国月考）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）阅读不仅可以获取知识，还可以陶冶人的情操，培养人独立思考的能力．某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动，据统计知周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是，若这三天中只有一天参加阅览的同学共计20人，则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1、（2025高一·全国月考）某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 2、（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 3、（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 【专题作业】 （2025高一·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 【考点8】韦恩图应用 【例题】 1、（2025高一·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 2、（2025高一·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（2025高一·全国月考）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 2、（23-24高一上·福建·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【专题作业】 1、（25-26高一·全国月考）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 2、【多选题】（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 集合的运算 【考点归纳】 【考点1】集合的并交补综合运算 【例题】 1、（25-26高一·北京月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，结合，得. 2、（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，. 3、（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以是的真子集，故， 所以，故A错误， B正确；则，故D错误； 因为，所以，故C错误. 【举一反三】 1、（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，所以. 2、（24-25高一上·福建三明·阶段练习）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，又，即. 【专题作业】 1、（25-26高一·全国月考）已知全集. (1)求； (2)求. 【答案】（1）由于 所以或或. （2）方法一  ，所以或. 方法二  利用德摩根定律结合（1）得或. 2、（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求： (1)； (2)． 【答案】（1）由题意有，所以，； （2）所以，或，所以， 3、（25-26高一·全国）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题意得，又，则， 所以或． 【例题】 1、（25-26高一·广东深圳月考）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】，，，所以，又，即，则. 2、（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）当时，，则； （2）由得，所以，解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【举一反三】 1、（2025高一·浙江·期末）设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【解析】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 2、（23-24高一上·山西大同·期末）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，解得且且，故A错； 又， 若2，则，，满足题意.故B对； 若3，则，，不满足题意；故C错 若4，则，，不满足题意；故D错； 3、（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围。 【答案】由题意，在，中，，解得. 【专题作业】 1、（2025高一·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，由，得． 2、（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，解得．所以，实数的取值范围是. 3、（2025·河南驻马店模拟）已知全集，若，求实数a的取值范围。 【解析】由集合，，因为，可得. 【考点3】集合并交补抽象运算、新定义运算 【例题】 1、（2025高一·全国月考）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 又且，所以或， 2、（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】由于，，所以， 所以或． 【举一反三】 1、（2025高一·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】集合的总和为：，每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：  组合二： 组合三： 共种不同的分法. 2、（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，，所以. 【专题作业】 1、（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【解析】，，． 2、（23-24高一上·广东惠州·阶段）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 且， 且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 【考点4】容斥原理与应用 【例题】 1、（2025高一·全国月考）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设集合参加足球队的学生，集合参加排球队的学生，集合参加游泳队的学生， 则，， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即，解得，三项都参加的有4人. 2、（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）阅读不仅可以获取知识，还可以陶冶人的情操，培养人独立思考的能力．某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动，据统计知周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是，若这三天中只有一天参加阅览的同学共计20人，则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由已知，  作出如图所示的图，由题意得， 则有， 所以，即． 因为要让x最大，所以需要最小． 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意． 则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是4． 【举一反三】 1、（2025高一·全国月考）某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 【答案】50 【解析】用分别表示参加机器人社的学生、参加编程社的学生和参加航模社的学生形成的集合， 则，， 因此 .所以至少参加一个社团的学生有50人. 2、（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 【答案】B 【详解】因为同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人， 所以同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣但对打篮球不感兴趣的有人， 同时对打羽毛球和打篮球感兴趣但对骑自行车不感兴趣的有人， 同时对骑自行车和打篮球感兴趣但对打羽毛球不感兴趣的有人， 因为有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，所以 有人只对骑自行车感兴趣， 有人只对打羽毛球感兴趣， 有人只对打篮球感兴趣， 则该栋楼房的居民人数为. 3、（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 【答案】46 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.由题意知， 且，则， 由， 可得， 当且仅当时，最大，此时． 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件． 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人． 【专题作业】 1、（2025高一·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 【答案】8 【解析】设喜爱乒乓球运动的同学，喜欢羽毛球运动的同学， 用表示集合中的元素个数，则，，， 因，故对这两项运动都不喜爱的人数为. 【考点8】韦恩图应用 【例题】 1、（2025高一·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】全集，集合，则，，即. 2、（2025高一·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以，图中阴影部分所表示的集合是. 【举一反三】 1、（2025高一·全国月考）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于，，故A正确； 对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确； 对于C，，，故正确； 对于D，，，则，故D错误. 2、（23-24高一上·福建·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又，所以，选项B符合. 【专题作业】 1、（25-26高一·全国月考）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，，故阴影部分表示的集合为. 2、【多选题】（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $