湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

衡阳市八中2026届高三第一学期期中考试 数学试题 命题人：徐五洲 审题人：廖洪波 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若z=a+ 亡(aeR)是纯虚数，则a= A B. C.-1 D.1 2.已知全集U=Z,集合A={xeZ≤-3或x>3},B=(0,3),则(Cu4)nB= A.(1,2) B.{1,2,3} C.{0,1,3} D.{1,2 3.若双曲线C的虚轴长为实轴长的√万倍，则C的离心率为 A.√2 B.2 C.7 D.22 4.经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量)，而用横坐标来表示产品的数量 (因变量)，下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断 正确的是 单价 单价 成本 成本 数 数量 () (2) A.厂商希望(1)，客户希望(2) B.厂商希望(2)，客户希望(1) C.厂商希望(1)，客户希望(1) D.厂商希望(2)，客户希望(2) 5.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B,C所成角的大小为 A.15° B.30 C.45° D.60° 6.下列说法中正确的是 A.x+4的最小值为4 a+b B. 的最小值为2 √ab 第1页共4页 C. 2+4的最小值为2 √x2+3 D.+中的最小值为1 7.用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与BC垂直的单位向量j, 因为BC+CA=BA,所以j(BC+CA=j·BA.由分配律，得jBC+jCA=jBA,即 ccos受+akos爱C尸os(&B,也即bsinC=cs如B.请用上述向量方法探究，如图2， 直线I与△ABC的边AB,AC分别相交于D,E.设AB=C,BC=Q,CA=b,∠ADE=O,则B与△ABC 的边和角之间的等量关系为 C B 图1 图2 A.asin(B-0)+bsin(A+0)=csin0 B.asin(B+0)+bsin(A-0)=csin Ca acos(B-0)+bcos(A+0)=ccose D.acos(B+0)+bcos(A-0)=ccos0 8.在△ABC中，命题P:sim2A=cos2B+cos2C,命题Q:AB+AC=BC,则P是2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(=2 2cos-君引+1，则 A.f(x)的最小正周期是？r B.f(x)的值域是[-1,3] C.y=f(x)的图像关于点 对称 D.y=f(x)的图像关于直线x=亚对称 6 Y=bx+a+e 10.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 E(e)=0,D(e)=o2得到线性回归模型 残差 y=bx+a,对应的残差如图所示，则残差模型 5 A,满足回归模型E(e)=0的假设B.不满足回归模型E(e)=0的假设 1520 C.满足回归模型D(e)=o2的假设D.不满足回归模型D(e)=o2的假设 010 2 一3 第2页共4页 11.已知无穷数列{a}中，4,42，，am是以10为首项，以-2为公差的等差数列，a1am*2,,a2m是以2为 首项，以7为公比的等比数列(m23,m∈N),对一切正整数n,都有a2m=a.设数列{a,}的前n项和为S, 则 A当期=3时，4a=君 D.当a23=-2时，m=8 C.当a2o24=4时，m=10 D.不存在m，使得S2024m+3≥31396成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=enx+1在x=1处的切线方程是 13.已知在△ABC中，sin2A+sin'B-sin'c=V5 sin AsinB ,则cos2C= cosC 14.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系0-z中，已知向量 m=(a,b,c),点(xo,%,o),若平面经过点，且以m为法向量，点P(x,y,z)是平面内的任意一点，则 平面a的方程为a(x-x)+b(0y-y,)+c2-2)=0”.现已知平行六面体ABCD-4RGD,平面CDD,G的方 程为x-2y+z-2=0,平面ADD4经过点E(0,0,1),F(1,1,2),G(2,2,1),平面ACC4的方程为 a-y-2z+1=01≤t≤2)，则平面CDD,G与平面ACC,A夹角的余弦值的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC,E为PB的中点.求证： D D (I)PD∥平面AEC: (2)平面AEC⊥平面PBD. 16.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2m=2an+1（n∈N)· (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2”，令Cn=anbn,求数列{cn}的前n项和T. 第3页共4页 17.（15分)如图，己知直线马∥2，A是1,42之间的一定点，并且点A到4,12的距离分别为√2和2.B, C分别是直线k,上的动点，且∠B4C=行，设∠ABD=x. A D B (1)写出△ABC面积S关于x的函数解析式S(x): (2)求函数S(x)的最小值及相对应的x的值， 8,7分)已知椭圆C芩+片1a>b>0)上的点A到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过椭圆C的左焦点F作不与x轴重合的直线MW与椭圆C相交于M、N两点，过点M作直线m:x=-2a 的垂线ME,E为垂足，求： ①已知直线EN过定点P,求定点P的坐标； ②点O为坐标原点，求aOEN面积的最大值. 19.(17分)设f'(x)为函数f(x)的导函数，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函 数，区间D称作函数f(x)的凹区间；反之，则称f(x)为区间D上的凸函数，区间D称作函数f(x)的凸区 间 (1)已知函数g(x)=x+号，求g(x)的凹、凸区间： 2 (2)如图所示为某个凹函数y=m(x)的图象，在图象上任取两个不同的点A(,m(x),B(x2,m(x)》,过线 段AB的中点C作x轴的垂线，与函数图象和x轴分别交于D,E两点，则有CE>DE ①将不等关系CE>DE转化为对应的不等式： y=m(x) ②证明：当x,y∈(0,2)时， 恒成立， E 头4页 衡阳市八中2026届高三第一学期期中考试 数学参考答案 命题人：徐五洲 审题人：廖洪波 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. B 2. D 3. D 4.A 5. B 6. D 7. C 8. B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. ABD 10. BD 11. ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【详解】（1）设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． …………………………6分 （2）连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． …………………………13分 16．(1)；(2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式. （2）利用错位相减，化简解可得出答案. 【详解】（1）由题意知：，（） 即：，化简得. 所以数列的通项公式. …………………………6分 （2）因为 所以 ①， 可得 ②， ①-②得： . 故. ……………………………………………………15分 17．(1)，；(2)当时，取得最小值． 【分析】（1）由直角三角形的锐角三角函数的定义和三角形的面积公式得函数解析式； （2）由三角函数的和差公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，可得所求最小值． 【详解】（1），， 又，，，则， 中，，中，， ，； ………………7分 （注：未写出定义域扣1分） （2） ， ，， 当，即时，取得最小值为． ………………………………………………15分 18．(1)；(2)①；② 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）①设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；. ②利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1， 由椭圆的几何性质，可得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. …………………………3分 （2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，所以，可得，又由，所以直线的方程为， 令，则，所以直线过定点. ……10分 ②由①知：， 可得， 所以， 令，则，所以， 因为函数在上为单调递增函数，所以在上为单调递减函数， 故当时，面积取得最大值，最大值为. ……………………………………………………17分 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用． 19．(1)凹区间为，凸区间为； (2)①；②证明过程见解析 【分析】（1）二次求导，得到导函数的单调区间得到的凹区间和凸区间； （2）①表达出的坐标，由得到结论； ②对不等式两边取对数，问题等价于，构造函数，，二次求导，得到是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，结合①的结论得到答案. 【详解】（1）因为的定义域为，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的凹区间为，凸区间为； …………………………4分 （2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量， ，， ，， 所以，， 由，有， ………………………………………………10分 ②对不等式两边取对数，问题等价于， 恒成立， 构造函数，， 即恒成立， ，令， ， 令，即，解得， 所以是函数的凹区间， ，所以当时，是凹函数， 由①知，，当时，等号成立， 所以时，恒成立， 即恒成立. ……………………………………………………17分 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 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