8.2.1几个函数模型的比较（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版必修第一册）

该高中数学课件聚焦函数模型比较，核心讲解指数、对数、幂函数的增长差异及模型选择。通过气温变化的情景导入，从实际问题抽象数学模型，衔接函数概念与性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学建模与数据分析素养，通过“指数爆炸”计算、函数图像比较及科技公司奖励方案、汽车生产量预测等实例，培养学生用数学眼光观察、思维分析的能力。课堂小结结构化梳理四类模型特征，助力学生系统掌握，教师可借助丰富例题与题型提升教学效率。

8.2　函数与数学模型 8.2.1几个函数模型的比较 苏教版2019高一数学（必修一）第八章 函数应用 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 4.通过本节的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养. 情景导入 函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题. 例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如下信息 (图 8-2-1)，怎样来研究气温的变化状况呢? 我们是这样来研究的： 分别用数(数量) T(单位：℃)，(单位：h) 来刻画温度和时间的状态，就得到两个数集，例如，t 的范围为[0，24]，T 的范围为[－2，9]. (2)将温度与时间之间的关系，抽象为数集之间元素的对应关系,从而建立起刻画事物现象的一种数学模型. (3)借助数学方法来研究这个模型的数学性质,进一步认识这一现象的变化过程,从而给出气温的变化规律. ●不同的数学模型之间有什么区别? ●怎样建立函数模型去解决实际问题? 新知探究 不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同. 对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解. 课本例题 例 1 (1) 用计算器或计算机计算下列各值： 1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994. 解：1.012＝1.020 1， 0.992＝0.9801， 1.013＝1.030 301， 0.993＝0.970 299， 1.014＝1.040 604 01， 0.994＝0.960 596 01. 猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少? (2) 用计算器或计算机计算下列各值： 1.12，1.13，1.14，0.9，0.92，0.94. 猜测一下，1.1100大概是多少? 1.1260大概是多少? 猜测一下，0.9100大概是多少? 0.91000大概是多少? 解：1.12＝1.21， 0.92＝0.81， 1.013＝1.030 301， 0.993＝0.970 299， 1.014＝1.040 604 01， 0.994＝0.960 596 01. (3) 用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解. 解：1.01365≈37.8， 0.99365≈0.03， 1.1100≈13 781， 0.9100≈2.656×10－5， 1.1260≈57 822 669 934， 0.91000≈1.748×10 －46. 根据(1)(2),我们可以发现“指数爆炸”的含义是:当a>1时,指数函数y=随着x的增大而增大,且增大的速度越来越快,呈“爆炸”的趋势;当0<a<1时,指数函数y= 随着x的增大而减小，并逐步趋向于0. 例 2 (1) 在同一个直角坐标系中画出下列 4 个函数在区间(0，＋∞) 上的图象： y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝ log2x. 结合这 4 个函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出：当x 的值足够大(x＞16)的时候，这4 个函数的值的大小关系； 由图8-2-2可知： 当0＜x＜2时，0＜x＜2＜4； 当x＝2时，2x＝x2＝4； 当2＜x＜4时，4＜2＜x＜16； 当x＝4时，2x＝x2＝16； 当x＞4时，16＜x2＜2. 对应地，当 0＜x＜4时，0＜log2x＜x0.5＜2； 解 这4个函数的图象如图8-2-2所示. 图8-2-2 当x＝4时，x0.5－log2x＝2； 当4＜x＜16时，2＜x0.5＜log2x＜4； 当x＝16时，x0.5＝log2x＝4； 当x＞16 时，x0.5＞log2x. 可以发现：当 x 的值足够大(x＞16)时，这 4 个函数值的大小关系是 2x＞x2＞x0.5＞log2x. (2) 先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想. ① y＝1.01x与y＝x100；② y＝x0.25与y＝lgx. 解 ①可以想象，在区间 (0，＋∞) 上，函数 y＝1.01x 与 y＝x10 的图象都是随着 x 的增大而上升的，函数值的大小有如下特征： 当0＜x＜1时，1.01x＞x10；当2≤x≤9000时，1.01x＜x10， 例如，当 x＝9 000时，1.019000 ≈7.8×1038，9 00010≈3.5×1039， 显然 1.019000 ＜9 00010；当 x ≥ 10 000 时，1.01x＞x10， 例如，当x＝10000时，1.0110000≈1.6×1043，10 00010 ≈ 1040， 显然 1.0110000 ＞ 10 00010. ②可以想象，在区间 (0， ＋∞) 上，函数 y＝x与y＝lgx的图象都是随着x 的增大而上升的，函数值的大小有如下特征： 当0＜x＜10时，x0.1＞1＞lg x；当30≤x＜1010时，x0.1＜lgx， 例如，当x＝30时，300.1≈1.405 1，lg 30≈1.477 1，显然 300.1 ＜ lg 30； 当 x＝10 时，x0.1＝lgx＝10；当 x＞10 时，x0.1＞lg x， 例如，当x＝1011 时，(1011)0.1≈12.59，lg1011≈11， 显然(1011)0.1＞lg1011.因此，我们可以得到更一般的猜想： 对于指数函数 y＝a (a＞1)，幂函数 y＝xa(a＞0)和对数函数y＝logax (a＞1)，当x足够大时，总有 ax＞xa＞logax. 一般地，在描述现实问题的变化规律时,常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. (3) 借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在(2)中的猜想. ① y＝2x与y＝x100；②y＝x0.25与y＝log2x. 解 借助图形计算器或计算机，观察函数 y＝2x，y＝x100 的图象(图 8-2-3)，可以发现：当x的值从 0 开始增大时，随着 x 的增大，当0≤x≤1时，2x＞x100；之后很快有 2x＜x100，直到 x＞997 时，总有2x＞x100. 同样，借助图形计算器或计算机，观察函数 y＝x0.25，y＝log2x 的图象(图8-2-4)，可以发现：当从4 开始增大时，一直有x0.25＜log2x，直到x＞65536时，总有 x0.25＞log2x. 由此，我们进一步验证了(2) 中的猜想：当 足够大时，总有 ax＞xa＞logax. 课本练习 1. 利用计算器或计算机，计算下表中与 的值对应的函数 y＝0.99x与 y＝1.01x 的 值 (精确到 0.000 1)： x 10 20 100 365 730 y＝0.99x 0.9044 0.8179 0.3660 0.0255 0.0007 y＝1.01x 1.1046 1.2202 2.7048 37.7834 1427.5879 2. 利用图形计算器或计算机，在同一个直角坐标系中画出下列各组两个函数在区间 (0， ＋∞) 上的图象，并结合函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出当 x 的值足够大的时候，这两个函数值的大小关系. (1) y＝10x，y＝x100； (2) y＝x0.6，y＝log1.5x； (3) y＝1.01x，y＝x2； (4) y＝x－2，y＝2－x. (1) y＝10x，y＝x100； 解 y＝10x 红色图象，y＝x100蓝色图象. 在 (0，＋∞) 上，y＝10x的图象初期在 y＝x100 的图象的上方， 随着x的增大图象变化到 y＝x100 的图象的下方， 当x的值足够大，图象又变化到 y＝x100 的图象的上方， 即相对于 y＝x100来说，y＝10x的图象增长的速度先快后慢， 当x的值足够大，y＝10x的图象增长的速度越来越快，并远远超过 y＝x100 的增长速度. (2) y＝x0.6，y＝log1.5x； 解 y＝x0.6 红色图象，y＝log1.5x蓝色图象. 在(0，＋∞)上，y＝x0.6 的图象起点高，所以初期图象在 y＝log1.5x 的上方， 相对于 y ＝log1.5x 来说，y＝x0.6 的图象增长的速度先慢后快， 随着的增大，y＝x0.6 的图象变化到 y＝log1.5x 的图象的下方， 当x的值足够大，图象又变化到y＝log1.5x的图象的上方. 解 y＝1.01x 红色图象，y＝x2 蓝色图象. (3) y＝1.01x，y＝x2； 在(0， ＋∞)上，y＝1.01x 的图象初期 在 y 的图象的上方，随着x的增大图象 变化到 y＝x2 的图象的下方， 当 x 的值足够大，图象又变化到 y＝x2 的图象的上方， 即相对于 y＝x2 来说，y＝1.01x 的图象增长的速度先快后慢， 当x的值足够大，y＝1.01x 的图象增长的速度越来越快，并远远超过 y＝x2 的增长速度. (4) y＝x－2，y＝2－x. 解 y＝x－2红色图象，y＝2－x 蓝色图象. y＝x－2和 y＝2－x在 (0，＋∞) 上都是单 调递减的函数，y＝2－x的图象初期在 y＝x－2 的图象的下方，随着x的增大图 象变化到y＝x－2的图象的上方， 当x的值足够大，图象又变化到 y＝x－2 的图象的下方， 即相对于y＝x－2来说， y＝2－x的图象减小的速度先慢后快， 当x的值足够大， y＝2－x 的图象减小的速度越来越快，并远远超过 y＝x－2 的减小速度. 题型分类讲解 题型一　函数模型的增长差异 1.(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2 021x B.y＝x2 021 C.y＝log2 021x D.y＝2 021x 解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A. A (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________. y2 解析　以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 2.函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2 021)，g(2 021)的大小. 解　(1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)<g(3). ∵f(4)＝16，g(4)＝12，∴f(4)>g(4)，∴3<x2<4. 从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)， ∴f(2 021)>g(2 021). 又g(2 021)>g(3)， ∴f(2 021)>g(2 021)>g(3)>f(3). 题型二　函数模型的选取 3.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%. (1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？ 解　由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000，9 000]上为增函数， ①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f(3 000)＝98<100，不符合要求； ②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求； ③对于函数f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]， 显然f(x)为增函数，且当x＝3 000时，f(3 000)>100log2020＋50＝150≥100；又因为f(x)≤f(9 000) ＝100log209 000＋50<100log20160 000＋50＝450； (2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 解　由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000， 所以公司的投资收益至少要达到8 000万元. 4.某汽车制造商在2021年初公告：公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示： 如果我们分别将2018，2019，2020，2021年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？ 年份 2018 2019 2020 产量(万) 8 18 30 解　建立生产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30). (1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入， 解得a＝1，b＝7，c＝0， 则f(x)＝x2＋7x， 故f(4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)， 由(1)(2)可得f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系. 课堂小结 1.掌握4类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型. 2.注意1个易错 实际应用题易忘记定义域和作答. 且对∀x∈[3 000，9 000]，恒有f(x)≥100且f(x)≤eq \f(x,5). 而eq \f(x,5)≥eq \f(3 000,5)＝600，所以当x∈[3 000，9 000]时，f(x)max≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)))eq \s\do7(min). 所以f(x)≥eq \f(x,5)恒成立；因此f(x)＝100log20x＋50为满足条件的函数模型. 可得 解得a＝，b＝，c＝－42， 则g(x)＝×－42， 故g(4)＝eq \f(125,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq \s\up12(4)－42＝44.4，与计划误差为1.4. 将点的坐标代入可得 $