精品解析：上海市上海海事大学附属北蔡高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

海大附中高二第一学期期中考试数学试卷 一、填空题（3*12=36） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为________. 3. 若直线和直线垂直，则实数的值为______. 4. 设，向量，，，且，，则的值为______________. 5. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______． 6. 正方体中，点E是上底面的中心，若，则_______. 7. 点关于直线对称的点在x轴上，则______． 8. 已知，两点到直线的距离相等，则_____. 9. 已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 10. 已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 11. 在矩形中，，，，是平面内的动点，且，若，则的最小值为____． 二、选择题（3*4=12） 12. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，，， B. ，， C. ，， D. ，， 13. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. D. 的最大值为5 三、解答题（8+10+10+10+14） 16. 已知两条直线和. （1）讨论直线与的位置关系； （2）当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 18. 某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求出公路的长度及该示范带的总面积． 19. 如图，在三棱锥中，，，． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）若，求二面角的正弦值． 20. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海大附中高二第一学期期中考试数学试卷 一、填空题（3*12=36） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系先求斜率再求倾斜角即可. 【详解】，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故答案为： 2. 已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程的点法式求解即可. 【详解】∵直线过点，一个法向量为， ∴直线的点法式方程为. 故答案为：. 3. 若直线和直线垂直，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线和直线垂直，则，解得. 故答案为：. 4. 设，向量，，，且，，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】，向量，，， ，解得，又， ，解得， 则. 故答案为：. 5. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即； 当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 6. 正方体中，点E是上底面的中心，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 7. 点关于直线对称的点在x轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 所以，解得，． 故答案为： 8. 已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 9. 已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 10. 已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先分别对直线进行变形，求出每条直线恒过的定点，再利用两点间距离公式求出两定点间的距离，该距离即为两直线间的最大距离，最后利用两定点的连线与的垂直关系求出直线的斜率，进而求出． 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 11. 在矩形中，，，，是平面内的动点，且，若，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由题设有在以为直径的圆上，为圆心，构建直角坐标系并设，将问题转化为、到线段上一点距离之和最小，利用将军饮马模型及圆上点到定点距离最值的求法求结果. 【详解】由知：，即， 所以在以为直径的圆上，为圆心， 构建以为原点，为x、y轴的坐标系， 所以，若，则， 则， 所以，， 则转化为点到、的距离之和， 又在直线且上，即对应线段， 所以只需最小，而关于对称点为， 故，此时，即. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将问题转化为定点和圆上点到线段上点的距离之和最小，结合将军饮马及圆上点到定点距离最值求法求结果. 二、选择题（3*4=12） 12. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合向量共面逐项分析判断. 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 13. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 14. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件首先确定外接球的半径，然后根据已知条件求出半径，最后根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 15. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. D. 的最大值为5 【答案】D 【解析】 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 三、解答题（8+10+10+10+14） 16. 已知两条直线和. （1）讨论直线与的位置关系； （2）当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】（1）且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）平行时距离为，相交时最大夹角为． 【解析】 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【小问1详解】 ，且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． 【小问2详解】 由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 【答案】（1）； （2）（或）. 【解析】 【分析】（1）由圆锥的底面半径为2，母线长为4能求出高，再利用圆锥的体积公式计算即可； （2）法一：取中点，连接，作出异面直线与所成角，通过线面垂直的判定和性质证得，从而可得的值； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线所成的角． 【小问1详解】 由题意，，，∴， 圆锥底面积，∴圆锥的体积. 【小问2详解】 法一：取中点，连接，则，异面直线与所成角即， 由题意，，，，ON，则， 即，则， 又平面， 平面， 平面，. 所以在中，，即， 所以异面直线与所成角大小为. 法二：以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 则，， 设异面直线与所成角为， 则，， 所以异面直线与所成角大小为. 18. 某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】（1） （2）公路长千米，示范带250平方千米 【解析】 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【小问1详解】 解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 【小问2详解】 ∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 19. 如图，在三棱锥中，，，． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用体积公式，即可求解； （2）根据条件建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用二面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，所以， 即，又，，平面，所以平面， 设，又，则， 又，当时，，所以当时，三棱锥体积最大，最大值为. 【小问2详解】 ，即， 又，所以， 得到，又，则，所以为等边三角形， 在平面内，过作直线，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，所以， 又易知平面的一个法向量为，则， 设二面角的平面角为，则. 20. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $