5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时 单调性与最值）（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值，通过情景导入衔接三角函数周期性，借助列表法观察一个周期内函数值变化（如正弦在[-π/2,3π/2]、余弦在[-π,π]的取值表），搭建从周期规律到单调区间及最值的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，通过换元法推导y=Asin(ωx+φ)单调区间，结合易错点辨析（如y=sin(-2x+π/3)的单调区间转化）培养推理能力，用符号精确表达规律。课堂小结归纳换元、列表等方法，助力学生系统掌握，教师使用可提升教学效率，学生能增强逻辑推理与问题解决能力。

人教版2019高一数学（必修一）第五章 三角函数 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 单调性与最值 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 新知探究 3.单调性 3.单调性 根据三角函数的周期性，只要把握了它一个周期内的规律，就把握了整个三角函数的规律 x ↗ 0 ↗ ↗ ↗ sin x -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 由正弦函数的周期性可得， 正弦函数在每一个闭区间[一+2kπ， +2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从一1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ， +2kπ](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到一1. 类似地，观察余弦函数在一个周期区间(如[一π，π]上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4-3: 由此可得， 函数y≡cosx,x∈[-π，π]在区间 上单调递增，其值从-1增大到1;在区间上 单调递减，其值从1减小到一1. 由余弦函数的周期性可得， 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1;在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到一1. x ↗ ↗ 0 ↗ ↗ cos x -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 4.最大值与最小值 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 正弦函数当且仅当x= 时取得最大值1，当且仅当x= 时取得最小值-1; 余弦函数当且仅当x= 时取得最大值 1，当且仅当x= 时取得最小值-1. 课本例题 解: 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． 分析: 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 解： 思考 将函数y=化为y=-,求原函数的单调递增区间 即求y=的单调递减区间,令z,由x∈[-2π,2π]得z∈[,]， ∵y=sinz，z∈[,]的单调递成区间是[,]和[,]. 故函数y= 课本练习 1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的x所在的区间: (1) sinx>0; (2) sin x<0; (3) cosx>0; (4) cos x<0. 解(1) (2kπ,π+ 2kπ)，k∈ Z; (2)(-π + 2kπ,2kπ)，k∈ Z; (3) + 2kπ, + 2kπ) , k ∈ Z; (4)( +2kπ, +2kπ) , k∈ Z. u y 1 -1 O y=sinx u y 1 -1 O y=sinu 题型分类讲解 1.［四川绵阳南山中学2024开学考试］下列函数中，既在上单调递增，又以 为周期且为偶 函数的是( ) D A. B. C. D. 题型1 单调性 解析 显然函数, 都是奇函数,故A,C不符合； 当时,,而函数在上单调递减,所以函数在 上单 调递减,故B不符合； 函数是周期为 的偶函数,当时,,此时,而 在 上单调递增,故D符合.故选D. 2.（多选）［湖南株洲2024高一月考］下列不等式中成立的是( ) ABD A. B. C. D. 解析 对于A,因为在上单调递增,所以 ,故A正确； 对于B,, , 又在上单调递减,所以 , 所以 ,故B正确； 对于C,因为在上单调递减,所以 ,故C错误； 对于D,, , 又,即 , ,即 , 所以,故D正确.故选 . 20 3.［云南部分学校2025高一期末联考］函数, 的值域为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 值域与最值 解析 因为，所以 ， 则 ， 故，故的值域为 .故选C. 21 4.［浙江衢州2024高一期末］已知函数的最大值为，最小值为 ，则 ___. 2 解析 易知 , 令 , 易知的定义域为,且 , 即 是奇函数. 显然, , 由奇函数图象的对称性易知,则 . 22 5.［北京顺义一中2025高一月考］已知函数 . （1）求 的值； 【解】因为，所以 . （2）求函数 的单调递增区间； [答案] 由 ，，得 ， ， 所以函数的单调递增区间为 , . （3）当时，求的最大值与最小值，并指出相应的 的值. [答案] 当时，，令,， 则 ，作出 的图象如图所示， 由的图象知，当，即时，取得最小值 . 当，即时， 取得最大值2， 所以当时，函数取得最小值；当时，函数 取得最大值2. 23 6.函数 的单调递减区间是( ) A A. B. C. D. 解析 ,要求函数 的单调递减区间,即求函数 的单调递增区间.令 , ,得 , .故选A. 易错警示用整体替换法求函数或 的单调区间时, 如果式子中的系数为负数,应先利用诱导公式将 的系数变为正数,再求其单调区间.本题中,函数 的内层函数中,的系数为负数,故需要先将 的系数转换为正数,即 ,又要求函数 的单调递减区间,故需求函数 的单调递增区间. 易错点 单调性概念理解不理解 24 课堂小结 1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行． 2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形. $