5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时 周期性、奇偶性及对称性）（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性及对称性，通过类比函数性质研究经验导入，引导学生从已有单调性、奇偶性认知过渡到三角函数周期性，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察—抽象—推理”为主线，通过图象观察和诱导公式抽象周期性定义（数学眼光），例题用换元法推导周期公式（数学思维），总结强调定义严谨性与符号表达（数学语言）。结合高考真题分类题型，助力学生深化理解，教师可直接用于教学，提升效率。

人教版2019高一数学（必修一）第五章 三角函数 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 周期性、奇偶性及对称性 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期. 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 情景导入 探究 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质? 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等.另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的. 新知探究 1.周期性 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)中得到反映，即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律. 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数(periodic function).非零常数T叫做这个函数的周期(period). 周期函数的周期不止一个.例如，2π，4π，6π，…以及一2π，一4π，一6π，…都是正弦函数的周期.事实上，Vk∈Z且k≠0，常数2kπ都是它的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 根据上述定义，我们有: 正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π① ①证明从略.同学们可以从函数图象上观察出这一结论。今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期. 课本例题 （3） x∈R; 分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R； (3)令,由得Z且的周期为即周期为2π. 即，, 于是， 所以 由周期函数的定义知，原函数的周期为4π. 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 思考 从例2可以看出，这些函数的周期仅与自变量飞的系数有关， 本例是利用f(x+T)=f(x)求周期,并由此观察周期与自变量系数的关系. 在f(x+T)=f(x)中,T是相对于自变量x而言的. 一般地，函数y=Asin(ωx＋φ)及y=Acossin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0,x,∈R)的周期为T= 2.奇偶性 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助? 思考 如果一个函数的周期为T，即f(x+T)= f(x)那么这个函数的图象我们只需要画出一个周期的图象，其余图象可由这个函数的一个周期图象平移即可得到,同样研究一个周期图象的性质就可得到函数的性质. 如果一个函数是奇函数，那么图象关于原点对称，画出必 > 0或必 < 0时的图象对称可得到整个函数的图象，性质可由图象得到. 如果一个函数是偶函数，那么图象关于轴对称，画出x > 0或x < 0的图象对称可得到整个函数的图象,性质可由图象得到. 课本练习 （1）奇函数； （3）奇函数； （2）偶函数； （4）奇函数. 题型分类讲解 1.函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 题型1 定义域 解析 由题意,得 , , 则, .故选B. 2.［福建厦门2024高一月考］已知函数的定义域为，则函数 的定义域为_________. 解析 因为函数的定义域为 ,所以 即 解得 . 19 3.［湖北荆州中学2025高一期末］函数 的最小正周期是( ) C A. B. C. D. 题型2 周期性 解析 函数的最小正周期 .故选C. 4.函数 的最小正周期为( ) D A. B. C. D. 解析 ,即 ,即函数的最小正周 期为 .故选D. 多种解法 函数的最小正周期为 ,并且函数是奇函数,加绝对值后, 的最小正周 期是最小正周期的一半,即最小正周期为 . 20 5.［四川内江六中2025月考］已知函数在区间内 恰有2 025个零点， 则 的一个可能取值是_____________________. （答案不唯一） 解析 令，可得，要使函数在区间 内恰有 2 025个零点，即有2 025个根，因为，，所以 ，则 ，可得 . 21 6.［云南昆明一中2025期末］若函数对任意的都有 ，则 ( ) A A. B.0 C.3 D. 题型3 奇偶性、对称性 解析 因为函数对任意的都有 ， 所以函数的图象关于直线对称，可得是函数的最值，所以 .故选A. 22 7.（多选）［广西示范性高中2024高一联考］已知函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 ( ) AC A.函数的最小正周期为 B.直线是 图象的一条对称轴 C.点是 图象的一个对称中心 D.点是 图象的一个对称中心 23 解析 设的最小正周期为 , 由题中图象可知,解得 ,故A正确. 因为,所以,解得.由题图可知,故 ． 将点的坐标代入解析式化简得,因为 ,所以,解得 , 故 ． 当时, ,则点是函数图象的对称中心,则直线不是 图象的对称 轴,故B错误. 当时, ,则点是函数 图象的对称中心,故C正确. 当时,，则点不是函数图象的对称中心，故D错误.故选 ． 24 8.函数 是( ) D A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 易错点 忽略定义域 解析 由题意,知,即的定义域为,不关于原点对称,故 是非 奇非偶函数. 易错警示 本题容易忽视使式子有意义的条件,即忽视函数 的定义域产生错误. 25 课堂小结 1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次． 2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期． 3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数. 例2．求下列三角函数的周期： (1) y＝3sinx，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R； 【解】(1) ，有3sin(x＋π)＝3sinx， 由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π. (2)令 ，由 ，得 ，且 的周期为2π.即 因为cos (z＋2π)＝cosz， 于是cos(2x＋2π)＝cos 2x， 所以cos2(x＋π)＝cos 2x， 由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. $