2.4 用因式分解法求解一 元二次方程 同步练习2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一 元二次方程-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2025九上·游仙期中） 一元二次方程x2-x=0的一个根是（　　） A．x=-1 B．x=0 C．x=2 D．x=3 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴或， ∴， ∴各选项中符合的答案为B， 故选：B． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后逐项判断即可． 2．（2025九上·丰南月考）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：原方程为， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案. 3．（2024九上·五华期中）一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　） A． B．4或 C．8或 D．4 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：解方程得：（舍）， ∴该直角三角形的另一条直角边长是， 故该三角形的面积. 故答案为：A. 【分析】先求出一元二次方程的解，再利用直角三角形的面积公式列出算式求解即可. 4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系 【解析】【解答】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故答案为：B. 【分析】根据因式分解法求出方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此可得周长. 5．（2024九上·青秀开学考）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（　　） A． B．3或 C．3 D．或1 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：把代入得， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义即可求出的值． 6．（2024九上·乐山期末）定义一种新运算，其中，当时，的值为（　　） A． B．4 C．4和 D．3 【答案】B 【知识点】二次根式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解： ，即 解得 故答案为：B 【分析】先根据定义新运算得到，进而结合题意解一元二次方程，再根据二次根式有意义的条件即可求解。 7．（2024九上·衡阳期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（　　） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴+2k-3=0，且k+3≠0， ∴k=1或k=-3， 且k+3≠0。 ∴k=1， 故答案为：B． 【分析】把x=0代入原方程建立k的方程，用因式分解法解方程即可。注意k+3≠0． 8．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案. 二、填空题 9．（2024九上·张掖期中）一元二次方程的解是　 　； 【答案】x1=1，x2=2 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1)(x-2)=0， ∴x-1=0或x-2=0， ∴x1=1，x2=2． 【分析】 本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活选择合适的方法求解是解题关键． 观察方程：根据因式分解法中的十字相乘法可得：(x-1)(x-2)=0，令每一个因式=0可得：x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，由此可得出答案． 10．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是　 　. 【答案】x1=1，x2= 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解： 或x-1=0 解得： 或x=1 故答案为： 或x=1. 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可. 11．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　 　． 【答案】20 【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质 【解析】【解答】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【分析】先求出菱形的两条对角线长分别为6和8，再利用勾股定理和菱形的周长求解即可。 12．（2024九上·衡阳期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则　 　． 【答案】1或2 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：1或2． 【分析】由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 13．（2023九上·大厂期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点． 给出下面三个结论： ①点A的对应方程有两个相等的实数根； ②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个； ③线段上任意点的对应方程都没有实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是　 　． 【答案】①②③ 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；待定系数法求一次函数解析式 【解析】【解答】解：∵， ∴点A的对应方程为， 解得，， ∴点A的对应方程有两个相等的实数根，故①正确； 若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵m、n均为整数， ∴当时，，符合条件， 当时，，符合条件， ∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵， ∴，即， ∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确， 故答案为：①②③． 【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③． 三、计算题 14．（2024九上·确山期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）解：，， ，， ∴，； （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方，得， 即，． 【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用因式分解法解诶一元二次方程即可； （2）运用配方法解一元二次方程即可． （1）解：， ， ，， ∴，； （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方，得， 即，． 15．（2025九上·红桥月考）解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）解：原方程化为 解得， （2）解：原方程化为，可得，，， ∴ ∴方程有两个不等的实数根， 由求根公式可得，， 解得， 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先将方程变为一般式，再利用因式分解可得，求解即可； （2）先将方程变为一般式，利用根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求解. 四、解答题 16．解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2）（2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； 【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键． （1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； （2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 17．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足 求代数式 的值. 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a=b时，a 的值是　 　. （2）当a≠b时，代数式 的值是　 　. 【答案】（1）-2或1 （2）7 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）当a=b时，a2+2a-a-2=0即a2+a-2=0， ∴（a+2）（a-1）=0 解之：a1=-2，a2=1. 故答案为：-2或1。 （2）∵ 实数a，b同时满足 ∴a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0② 由①+②得 a2+b2+a+b-4=0即（a+b）2-2ab+a+b-4=0， 由①-②得 a2-b2+3（a-b）=0， ∴（a-b）（a+b+3）=0 ∵a≠b， ∴a+b+3=0 解之：a+b=-3， ∴9-2ab-3-4=0 解之：ab=1， ∴原式=. 故答案为：7. 【分析】（1）将a=b代入方程，可得到关于a的一元二次方程，再利用因式分解法求出方程的解，即可得到a的值. （2）将两个方程转化为a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0②，由①+②可得到（a+b）2-2ab+a+b-4=0，由①-②可得到（a-b）（a+b+3）=0，根据a≠b，可求出a+b的值，再求出ab的值，然后将分式化简后代入求值. 18．（2023九上·南昌月考）已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． （1）若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意可得方程，继而再根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据等边三角形的三边相等可得，继而可将方程化简为x2+x=0，再利用因式分解法进行求解即可． （1）解：是直角三角形， 理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 19．（2024九上·金堂期中）关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”． （1）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请用含m的式子表示n； （2）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，两根之和为3，求代数式的值． 【答案】（1）解：∵一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 解得：； （2）解：∵ ∴x-2a=0或x-b=0， ∴x1=2a，x2=b， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴或， ∵一元二次方方程两根之和为3， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或， 故或． 【知识点】二元一次方程组的其他应用；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用求根公式“”求出一元二次方程的两根，根据倍根方程的定义，得到两根间关系，化简得到结果； （2）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根为和b，根据倍根方程的定义得到或，结合条件，求得a，b，进而再将a、b的值代入待求式子计算得到结果． （1）解：∵一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 解得：； （2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴一元二次方程有两个根：和b， 且或， ∵一元二次方方程两根之和为3， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或， 故或． 20．（2023九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下： 小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，依据是____，进而得到原方程的根为，. 小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢? 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为； 已知方程的两根为，.则分解因式为. 任务： （1）上述材料中“▲”处的依据为　 　(填写字母序号即可)； ：若或，则. ：若，则或. （2）已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为　 　； （3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题. ：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果. ：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果. 【答案】（1）B （2） （3）A： B： 【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：若，则或. 故答案为：B. （2）∵方程的两个根为，， ∴=， 故答案为：； （3）A、=； B、=. 【分析】参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解一元二次方程即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 用因式分解法求解一 元二次方程-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2025九上·游仙期中） 一元二次方程x2-x=0的一个根是（　　） A．x=-1 B．x=0 C．x=2 D．x=3 2．（2025九上·丰南月考）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2024九上·五华期中）一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　） A． B．4或 C．8或 D．4 4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 5．（2024九上·青秀开学考）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（　　） A． B．3或 C．3 D．或1 6．（2024九上·乐山期末）定义一种新运算，其中，当时，的值为（　　） A． B．4 C．4和 D．3 7．（2024九上·衡阳期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（　　） A．或 B． C． D． 8．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空题 9．（2024九上·张掖期中）一元二次方程的解是　 　； 10．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是　 　. 11．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　 　． 12．（2024九上·衡阳期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则　 　． 13．（2023九上·大厂期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点． 给出下面三个结论： ①点A的对应方程有两个相等的实数根； ②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个； ③线段上任意点的对应方程都没有实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是　 　． 三、计算题 14．（2024九上·确山期中）解方程 （1）； （2）． 15．（2025九上·红桥月考）解下列一元二次方程． （1）； （2）． 四、解答题 16．解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 17．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足 求代数式 的值. 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a=b时，a 的值是　 　. （2）当a≠b时，代数式 的值是　 　. 18．（2023九上·南昌月考）已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． （1）若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 19．（2024九上·金堂期中）关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”． （1）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请用含m的式子表示n； （2）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，两根之和为3，求代数式的值． 20．（2023九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下： 小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，依据是____，进而得到原方程的根为，. 小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢? 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为； 已知方程的两根为，.则分解因式为. 任务： （1）上述材料中“▲”处的依据为　 　(填写字母序号即可)； ：若或，则. ：若，则或. （2）已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为　 　； （3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题. ：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果. ：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴或， ∴， ∴各选项中符合的答案为B， 故选：B． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后逐项判断即可． 2．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：原方程为， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案. 3．【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：解方程得：（舍）， ∴该直角三角形的另一条直角边长是， 故该三角形的面积. 故答案为：A. 【分析】先求出一元二次方程的解，再利用直角三角形的面积公式列出算式求解即可. 4．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系 【解析】【解答】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故答案为：B. 【分析】根据因式分解法求出方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此可得周长. 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：把代入得， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义即可求出的值． 6．【答案】B 【知识点】二次根式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解： ，即 解得 故答案为：B 【分析】先根据定义新运算得到，进而结合题意解一元二次方程，再根据二次根式有意义的条件即可求解。 7．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴+2k-3=0，且k+3≠0， ∴k=1或k=-3， 且k+3≠0。 ∴k=1， 故答案为：B． 【分析】把x=0代入原方程建立k的方程，用因式分解法解方程即可。注意k+3≠0． 8．【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案. 9．【答案】x1=1，x2=2 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1)(x-2)=0， ∴x-1=0或x-2=0， ∴x1=1，x2=2． 【分析】 本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活选择合适的方法求解是解题关键． 观察方程：根据因式分解法中的十字相乘法可得：(x-1)(x-2)=0，令每一个因式=0可得：x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，由此可得出答案． 10．【答案】x1=1，x2= 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解： 或x-1=0 解得： 或x=1 故答案为： 或x=1. 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可. 11．【答案】20 【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质 【解析】【解答】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【分析】先求出菱形的两条对角线长分别为6和8，再利用勾股定理和菱形的周长求解即可。 12．【答案】1或2 【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：1或2． 【分析】由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 13．【答案】①②③ 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；待定系数法求一次函数解析式 【解析】【解答】解：∵， ∴点A的对应方程为， 解得，， ∴点A的对应方程有两个相等的实数根，故①正确； 若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵m、n均为整数， ∴当时，，符合条件， 当时，，符合条件， ∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵， ∴，即， ∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确， 故答案为：①②③． 【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③． 14．【答案】（1）解：，， ，， ∴，； （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方，得， 即，． 【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用因式分解法解诶一元二次方程即可； （2）运用配方法解一元二次方程即可． （1）解：， ， ，， ∴，； （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方，得， 即，． 15．【答案】（1）解：原方程化为 解得， （2）解：原方程化为，可得，，， ∴ ∴方程有两个不等的实数根， 由求根公式可得，， 解得， 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先将方程变为一般式，再利用因式分解可得，求解即可； （2）先将方程变为一般式，利用根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求解. 16．【答案】（1）不正确，不正确 （2）（2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； 【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键． （1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； （2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 17．【答案】（1）-2或1 （2）7 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）当a=b时，a2+2a-a-2=0即a2+a-2=0， ∴（a+2）（a-1）=0 解之：a1=-2，a2=1. 故答案为：-2或1。 （2）∵ 实数a，b同时满足 ∴a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0② 由①+②得 a2+b2+a+b-4=0即（a+b）2-2ab+a+b-4=0， 由①-②得 a2-b2+3（a-b）=0， ∴（a-b）（a+b+3）=0 ∵a≠b， ∴a+b+3=0 解之：a+b=-3， ∴9-2ab-3-4=0 解之：ab=1， ∴原式=. 故答案为：7. 【分析】（1）将a=b代入方程，可得到关于a的一元二次方程，再利用因式分解法求出方程的解，即可得到a的值. （2）将两个方程转化为a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0②，由①+②可得到（a+b）2-2ab+a+b-4=0，由①-②可得到（a-b）（a+b+3）=0，根据a≠b，可求出a+b的值，再求出ab的值，然后将分式化简后代入求值. 18．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意可得方程，继而再根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据等边三角形的三边相等可得，继而可将方程化简为x2+x=0，再利用因式分解法进行求解即可． （1）解：是直角三角形， 理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 19．【答案】（1）解：∵一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 解得：； （2）解：∵ ∴x-2a=0或x-b=0， ∴x1=2a，x2=b， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴或， ∵一元二次方方程两根之和为3， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或， 故或． 【知识点】二元一次方程组的其他应用；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用求根公式“”求出一元二次方程的两根，根据倍根方程的定义，得到两根间关系，化简得到结果； （2）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根为和b，根据倍根方程的定义得到或，结合条件，求得a，b，进而再将a、b的值代入待求式子计算得到结果． （1）解：∵一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 解得：； （2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴一元二次方程有两个根：和b， 且或， ∵一元二次方方程两根之和为3， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或， 故或． 20．【答案】（1）B （2） （3）A： B： 【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：若，则或. 故答案为：B. （2）∵方程的两个根为，， ∴=， 故答案为：； （3）A、=； B、=. 【分析】参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解一元二次方程即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $