专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（24-25九年级下·河南南阳·期中）在中，，，是边上的一点，将沿折叠，得到，连接． 【特例发现】（1）如图1，当，落在直线上时，求证：． 【类比探究】（2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程． 【拓展运用】（3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长． 例2（24-25·山西·寿阳县九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题： (1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________． ②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； (2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想． 例3（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】（3）如图3，，，连接，，若． ①求的值；②延长交于点，则 ． 例4（24-25·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 例5（2024·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 例6（24-25·浙江·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）． 1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ；（2）的长是 ． 4.（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为 ． 5．（24-25·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转． （一）发现问题（1）如图①，、、满足的数量关系为________； （二）探究问题（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分； （三）拓展应用（3）如图③，在四边形中，，，，求的度数． 6．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接） 7．（24-25·河南信阳·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； (2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 8．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 9．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．         (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；       ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 10．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．    （1）求的度数；（2）求的长．深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现：图（1），在和中，，，，连接，交于点M.①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究：图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 12．（2025·湖南长沙·三模）如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点．(1)求证：；(2)若，点从点运动到点，①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值；②的外心所经过的路径长为_____； (3)记的面积为，的面积为，若，求的正切值． 13．（2025·四川绵阳·三模）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N． (1)求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）．(2)当时，求的长．(3)试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 14．（2025·山东聊城·三模）问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，均为等腰直角三角形， 【观察发现】（1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】（2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】：（1）如图（1），．求证：； 【变式迁移】：（2）如图（2），，，AE与DC相交于点F，点D在CB的延长线上，．求的值； 【问题拓展】：（3）如图（3），若，当CD的值最大时，直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，，则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（24-25九年级下·河南南阳·期中）在中，，，是边上的一点，将沿折叠，得到，连接． 【特例发现】（1）如图1，当，落在直线上时，求证：． 【类比探究】（2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程． 【拓展运用】（3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析（2），探究见解析（3） 【详解】解：（1）如图，延长，交于点． 由翻折得，，∴垂直平分，∴， ∵．∴． ∵，∴． （2）如图，延长，交于点．同（1），知． ∵，∴，∴． （3）同（1）可知，， ∵是边的中点，∴，∴是的中位线，∴， ∴，．由（2）知， ∴，，∴． 设，则．∵，∴，∴，，∴． ∵，，∴，∴，，∴． 在中，，∴． ∵，∴，解得或（舍去），即． 例2（24-25·山西·寿阳县九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题： (1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________． ②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； (2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想． 【答案】(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，见解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN 【解析】(1)①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE ∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE， ②∠MAN=∠BAC 理由：如图1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE ∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD ∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD ∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN △ABM≌△ACN ∴∠BAM=∠CAN ∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC； (2)结论：∠MAN=∠BAC，AM=AN ∵△ABC∽△ADE，∴∴∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴ ∵DM=BD，EN=CE ∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN， ∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE， ∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．AM=k•AN，∠MAN=∠BAC． 例3（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】（3）如图3，，，连接，，若． ①求的值；②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，∴， ∵，，∴， ∴，∴．故答案为：； （3）①∵，，∴设，则， ∴，∴． ∵，，∴，， ∵，， ∴，∴，∴． ②设，交于点，如图， ∵，∴，∵，∴， ∴．故答案为：． 例4（24-25·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：．理由：如图1中， ，，，，， ，，，，，． （2）结论成立．理由：如图2中， ，，，，， ，，，． （3）如图3中，由旋转的性质可知，，，， ，，，，，， ，，，． 例5（2024·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3)的长为或 【详解】（1）解：如图1，延长，交于H，连接， ∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∵矩形与矩形相似，，∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴，故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接、， ∵矩形与矩形相似，∴，由旋转可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：①如图3，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； ②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，综上所述，的长为或． 例6（24-25·浙江·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）∵四边形为正方形，∴，， 又∵四边形为正方形，∴，， ∴∴， 在△AEB和△AGD中，，∴，∴； （2）当时，， 理由如下：∵，∴∴， 又∵四边形和四边形均为菱形，∴，， 在△AEB和△AGD中，，∴，∴； （3）设与交于Q，与交于点P，由题意知，， ∵，，∴，∴，∵，∴， ∴，连接，，∴， ∵，，，∴， 在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理， ∴． 1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接BC'，AC'，如图： ∵五边形A'B'BCD为正五边形，∴∠CDA'==108°， ∵菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，且∠ADC=72°， ∴∠A'DC'=∠ADC=72°，∴∠CDC'=∠ADA'=108°-72°=36°， ∴∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，∴点C'在对角线BD上，∠ABC'=36°， 由旋转的性质知AD=AB= DC'=2，∴∠DC'A=∠DAC'=72°， ∴∠C'AB=36°，∴C'A= C'B，设C'A= C'B=x，则BD= x+2， ∵∠BDA=∠BAC'=36°，∴△BDA∽△BAC'， ∴DA：AC'=BD：BA，即2：x=( x+2)：2， 整理得：x2+2x-4=0，解得x=，(负值已舍) ∵∠C'BP=36°，∠BC'P=72°，∴∠C'PB=72°，∴BP= C'A= C'B=，∴AP=3-， ∴，故选：B． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设交于,如图，,, 将绕点按逆时针方向旋转得到,,,, ,, ,,,, ,,,, 设,则,,, ,,,, ,, 故答案为：. 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ；（2）的长是 ． 【答案】 或14 【详解】解：（1）如图1所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，即， ∵，∴；         如图2所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； 综上所述，；故答案为：； （2）如图1所示，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去；∴； 如图2所示，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去；∴； 综上所述，的长为10或14；故答案为：10或14． 4.（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于点的对称点，连接，，则面积等于面积， ∵菱形，，，∴，∴， ∵矩形，∴，∵，∴， 作于点，作交延长线于点，设， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为，故答案为：． 5．（24-25·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转． （一）发现问题（1）如图①，、、满足的数量关系为________； （二）探究问题（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分； （三）拓展应用（3）如图③，在四边形中，，，，求的度数．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）在与中，， ，，故答案为：； （2）在原图中，∵，∴，∴，又，∴， ，，， ∴，，∴，∴，∴平分；       （3）如图，延长至，使得，连接， ，， ，，， ，，，， ，，即是等边三角形， ，． 6．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）和是等边三角形，，，， ，，，故答案为：； （2），理由如下： 和是等腰直角三角形，，，， ，，，，； （3）如图，过点作，且，连接，， ，，是等腰直角三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到，，， ，，，， 又，，，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当在的延长线上时，的值最大，最大值为，故答案为：． 7．（24-25·河南信阳·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； (2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE (2)结论仍然成立，证明见解析 (3)P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是 【解析】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE ∵点D，E分别为AC，BC的中点∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴ AD＝BE． 故答案为：AD＝BE，AD⊥BE． （2）解：结论仍然成立，理由如下： ∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴， ∵△CDE绕点C顺时针旋转，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD， ∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE， ∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD． （3）解：∵∠APB＝90°，   ∴点P在以AB为直径的圆上， 如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP， ∵BE是⊙C切线，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，   ∴∠GBP＝30°，   ∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，    ∴∠BGP＝120°， ∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π， ∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝， ∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．    ∴P点到直线BC距离的最大值． 8．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；② 【解析】(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE； (2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，； (3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC． 9．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．         (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；       ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】(1)正方形，见解析(2)①，见解析；② 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： ∵，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴四边形为矩形． ∵，∴．∴矩形为正方形． （2）：①．证明：∵，∴． ∵，∴．∵，即，∴． ∵，∴．由（1）得，∴． ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵，∴，，∴； ∵，∴，∴， ∵，∴点G是的中点；由勾股定理得，∴； ∵，∴，即； ∴； ∵，，∴，∴， ∴，即的长为．      10．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．    （1）求的度数；（2）求的长．深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或 【详解】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点， ∴是的中位线，∴；；故答案是：； （2）特例研讨：（1）如图所示，连接，，       ∵是的中位线，∴，∴ ∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到， ∴； ∵点在同一直线上时，∴ 又∵在中，是斜边的中点，∴ ∴∴是等边三角形， ∴，即旋转角 ∴ ∴是等边三角形， 又∵，∴,∴, ∴,∴, （2）如图所示，连接，∵，， ∴，, ∵,∴, ∴,设，则， 在中，，则， 在中，,∴, 解得：或（舍去）∴, （3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时，      ∵，∴，设，则， ∵是的中位线，∴∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到，∴，， ∴∴，∵点在同一直线上， ∴∴，∴在同一个圆上， ∴∴ ∵，∴；如图所示，当在上时，    ∵∴在同一个圆上， 设，则， 将绕点顺时针旋转，得到， 设，则，则，∴， ∵,∴， ∵∴∴ 综上所述，或 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现：图（1），在和中，，，，连接，交于点M.①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究：图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【详解】（1）①∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴，故答案为：； ②设与交于点F，由①知，，∴， ∵，，∴，故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，，∴； ∵，即，∴， ∴，，∵，， ∴，∴，∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，；过点O作的垂线，垂足为；∴； ∵；∴；∴，； 在中，由勾股定理得；；∴； ∵；∴；即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，；∴的最大值取得当且仅当时； 即在中；；∴； 过点作的垂线，垂足为；∴；即线段即为所求； 在中；；∵；∴； ∵；∴；；∴；∴M点到直线距离的最大值为． 12．（2025·湖南长沙·三模）如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点．(1)求证：；(2)若，点从点运动到点，①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值；②的外心所经过的路径长为_____； (3)记的面积为，的面积为，若，求的正切值． 【答案】(1)见解析(2)①；最大值为2；②4(3)或 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴， ∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴； （2）解：①过点C作于点H，过点F作于点G，如图所示： 则，∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，整理得：； ∵，∴当时，取最大值2； ②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，如图所示：根据①可知：，∴，∴点在过点B与垂直的射线上运动， ∵垂直平分，∴的外心在上， ∵，，， ∴和为等腰直角三角形，∴， ∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴M为的中点， ∴垂直平分，同理得：垂直平分， ∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，∴的外心从点H处运动到点M处， ∴的外心运动的轨迹长为； （3）解：设，则，根据解析（2）可知：， ∴为等腰直角三角形，∴， 根据勾股定理得：，， ∴，∴， ， ∵，∴， 整理得：，解得：或， 根据解析（1）可知：，∴的正切值等于的正切值， 当时，，过点D作于点M，如图所示： 则，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，∴； 当时，，过点D作于点M，如图所示： 则，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，∴； 综上分析可知：或． 13．（2025·四川绵阳·三模）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N． (1)求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）．(2)当时，求的长．(3)试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)或(3)的值不变，为 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形， ∴，，，，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴； （2）解：∵四边形是正方形，，∴， 分以下两种情况：①如图1，∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴，即，∴； ②如图2，∵，，∴， 又∵，∴，∴，即，∴． 综上所述，或； （3）解：当点E在上运动时，的值不发生变化．如图1，连接， ∵，∴，即， 又∵，∴，∴； 如图2，连接，∵，∴，即， 又∵，∴，∴．综上所述，的值不变，为． 14．（2025·山东聊城·三模）问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 【答案】[探究发现]，，理由见解析；[类比应用]；[延伸思考] 【详解】解：[探究发现] ，理由如下：∵点和点为分别为中点， ∴，，∴， ，，， 根据旋转的性质可得：，， ，即．故答案为：， [类比应用]由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ，，， ∴当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得：， 由[探究发现]可得：，，解得：； [延伸思考]过点作于点，根据题意可得：， ，，， ∵，，根据旋转的性质可得：， ，，， 15．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，均为等腰直角三角形， 【观察发现】（1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】（2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________． 【答案】（1）（2）结论还成立，理由见详解（3）或． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴，∴，∴ ． （2）（1）中的结论还成立．理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，∴，∴，∴． (3)当点在点右侧时，如图，设与直线的交点为， ∵，是等腰直角三角形，∴， ∵直线，∴，∴， ∴，∴，∴； 当点在点左侧时，如图，设与直线的交点为， 同理可求，∴，∴，综上所述：或． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】：（1）如图（1），．求证：； 【变式迁移】：（2）如图（2），，，AE与DC相交于点F，点D在CB的延长线上，．求的值； 【问题拓展】：（3）如图（3），若，当CD的值最大时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，∴，∴， ∴，故． （2）解：∵，， ∴，∴点A，D，E，C四点共圆，且为圆的直径， 连接，∴；∵，设，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． （3）解：如图，作，的交点为E， 则，， ∵，∴，， ∴，，∴，∴， ∵,∴,∴, ∵,∴当D，E，C三点共线时，的值最大，且最大值为 ∴，∴，， ∴，,∴， 故． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $