专题07 角度中的五类动态模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴，∴， ∴是的，∴是的新生线，故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，，∴． ∴，∴． ∵平分，∴； 当时，如图所示， 同理，，∴， ∵平分，∴；综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，，∴， ∴当追上的时间为：，解得：； 当追上的时间为：，解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分，∴． ∵， 当时，∴，解得：； 当时， ，∴，解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时，∵， ∴，∴，解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时，∵， ∴，∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时，∵， ∴， ∵，∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时，∴，解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ，，； （2）解：平分，，， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ，分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时，解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图：由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图：由题意得：， ， ；综上所述，． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知分别在内部旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，．设运动时间为秒．    (1)求的度数．（用含的代数式表示）(2)当，求证：平分． (3)运动过程中，当时，，求的值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，运动时间为秒，则， 设，则，则， ，∴，即，； （2）解：，， 又，，解得，，即， ∴，，即平分． （3）解：当时，． 从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，运动时间为秒，则，．∴ ，，解得，设，则， ，解得：， 由（1）知 例2（24-25·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【答案】(1)25°(2)∠AOM＝50°，∠CON＝25°(3)＝70° 【解析】（1）解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°， ∴∠MOC＝∠MON−∠BOC＝90°−65°＝25°，故答案为：25°； （2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°， ∴∠AOM＝180°−∠MOB＝180°−130°＝50°，∠BON＝∠MOB−∠MON＝130°−90°＝40°， ∠CON＝∠COB−∠BON＝65°−40°＝25°，即∠AOM＝50°，∠CON＝25°； （3）∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝65°，∠MON＝90°， ∴∠AOM＋∠MON＝180°−65°−90°＝25°， ∵∠AOM＝4∠NOC，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°． 例3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， ；故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，，解得：； ②如图，因为，， 所以； （3）设绕点逆时针旋转，时，如图， ，，， 平分，， ，平分，， ，； ②时，如图，，，， 平分，， ，平分，， .综上，或. 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①150；②，或，(2)不改变，其度数为 【详解】（1）①∵，∴， ∵，，∴，故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1），设，则， ， 由得，，解得， ∴， ∴；       (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，，解得， ，， ∴； （2）不改变，其度数为．设，由条件知，分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），  ， ，， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），  ， ，∴； ⅲ)当在内部时（如图5），  ， ，∴； ⅳ)当在外部时（如图6），  ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 例2（24-25七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，∴， 平分，平分，， ， ； （3）解：∵，，∴， ∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴，． 例3（24-25·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3 【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角； 当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°， ∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°； （2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°， ∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD， ∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t， ∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°， ∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝， 当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6， ①如图所示，当0＜t＜时，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t ∴＝，（不是定值） ②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t， ∴＝=3，（是定值） 综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时， t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线，，； （2）解：，， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线，，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ，，， 综上，度数为 或． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【详解】（1）解：①∵，，∴， ∵，∴； ∵，，∴， ∵，∴故答案为：；； ②猜想，理由如下：∵，， ∴，，∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴； ②如图所示，当点G在上方时， ∵，∴，∴由（3）①的结论可知，， ∴，∴；       如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴；综上所述，t的值为3或21． 例3（24-25七年级上·四川成都·期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1)(2)(3)时，；时， 【详解】（1）解：∵，∴， ∵是直角，∴，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：∵平分平分，∴， ∴，∵，∴； （3）解：①时，由题意得， ∴，∴； ②时， 由题意得，∴， ∴． 综上，时，时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)t的值为秒(3)存在，t的值为15秒或秒 【详解】（1）当时，． （2）平分，解得：（或者11.25） 答：当恰好平分时，t的值为秒． （3）当，重合时，解得： 当时：解得： 当时，解得：（或者22.5） 答：在旋转过程中存在这样的t，使得，t的值为15秒或秒． 例2（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【答案】(1)(2)与的差是定值，该定值为(3)或或或69 【详解】（1）解：平分，， ∴，∴，∴，∴； （2）解；如图所示，当在上方时， ∵，， ∴； 如图所示，当在下方时， ∵，， ∴； 综上所述，与的差是定值，该定值为； （3）解：射线平分，射线平分，，， 旋转前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①当相遇前，解得，； ②当第一次相遇后，解得，； ③当第一次相遇后，相遇前，解得； ④当第一次相遇后，相遇后，解得，； 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69. 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·重庆渝北·期末）若，对于绕点O旋转的动射线，将的值定义为射线关于的特征值，其中：，且，． (1)如图1，射线旋转至的内部，且时， ； (2)若．①如图2，将绕点O旋转，若旋转过程中始终在内部，是否存在某一段时刻．若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． ②为角平分线，在绕点O旋转的过程中，若，请直接写出的值（其中，）． 【答案】(1) (2)①存在；时，；②或或或 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴； （2）解：①存在；∵将绕点O旋转，若旋转过程中始终在内部， ∴，， 当时，， ， ∵，∴， ∴， 解得：，∴此时不符合题意； 当时，， ， ∵，∴， ∴，解得：； 当时，， ， ∵，∴， ∴，解得：； ∴此时不符合题意；综上分析可知：时，． ②当在内部时，，∴， 即，∴，解得：或； 当在外部，且靠近时，如图所示： ，∴，∴，解得：； 当在外部，且靠近时，如图所示： ，∴，∴，解得：； 综上分析可知：或或或． 例2（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）【阅读新知】如图①，射线在内，图中共有三个角、和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的倍，则称射线是的“巧线”． 【理解运用】（1）的角平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） 【拓展提升】如图②，一副三角板（分别含，，和，，）如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒．（2）求为何值时，射线是的“巧线”？ （3）若三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻，使三条射线、、中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是；（2）的值为或或；（3）的值是或或或或或． 【详解】解：（1）∵角平分线将角分成两个相等的角，即是角平分线所分成的任意一角的倍， ∴的角平分线是这个角的“巧线”，故答案为：是； （2）∵ 当时，,此时旋转的角度为 ∵旋转速度为每秒∴ 当时，此时旋转的角度为; 当时，此时旋转的角度为; 故的值为或或 （3）∵将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．∴三角板绕点旋转的速度实际为， ∵，∴， 分三种情况：①在内部，是的巧线， ，，，，． 时，，． ②在内部，是的巧线，，， ，，， ，，，，，； ③在内部，是的巧线，，， ，，（舍去）， ，，（舍去），，，； 综上，的值是或或或或或． 1．（24-25·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设，∵平分，∴， ∴ ，， ∴， 当时，设，∵平分，∴， ∴，∴， ∴，∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③；故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    【答案】或 【详解】解：如图，当在外部时，   ， 由题意可得：， ，， 平分，， ； 如图，当在内部时，   ， 由题意可得：， ，， 平分，， ； 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 【答案】/12度 【详解】解：设，当点E在直线上方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，即； 当点E在直线下方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，此时， ∴此情况不存在，舍去；故答案为： 3．（24-25七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【详解】解：设运动的时间为秒， ∵于点，∴， ∴，∴. 当与成一条直线时，则，∴. (秒)， (秒)，∴秒时停止运动. 当时，， ∴，∴； 当时，，，∴. 综上所述，与之间的数量关系为或，故答案为：或． 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100(2)，(3) 【详解】（1）∵，，∴， ∴；故答案为：100； （2）如图，∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵，∴，， ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵，∴，， ∴． 综上所述：的度数为． 6．（24-25七年级上·广东云浮·期末）如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°． 【答案】(1)直线平分，理由见解析 (2)30 【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，即直线平分； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：30． 7．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由；(3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 【答案】(1)；(2)不变，；(3)或； 【详解】（1）解：∵平分，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴． （2）解：不变，．理由如下： ∵，分别平分和，∴，， ∴，，，，． （3）解：如下图 ∵，分别平分和，∴，， ∴，，，，， 如下图：∵，分别平分和，∴，， ∴，，，，， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究（）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 【答案】（）线段的长度不会发生变化，理由见解析； （）；，理由见解析；（）． 【详解】解：（）线段的长度不会发生变化， ∵、分别是的中点，，，， ，，， ，； （）∵射线和射线分别平分和， ∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：； ， 理由：和分别平分和，，， ∴， ∵，∴， ∴，，， 即； （），，， ，，，． 9．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解(2)9或6或12(3)或或，理由见详解 【详解】（1）解：是，理由如下：∵点C为线段的中点，∴，∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，，∴，或，或； 当，则；当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得，∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 10．（24-25七年级上·山东临沂·期末）将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．    【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1），， ，． （2）设，则，， ∵平分，， ，，解得， ． （3）①如图，  在直线上方，． ∵平分，． ，． ②如图，  在直线下方，． ∵平分，． ，． 综上，的度数为或． 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s， ∴，， ∴， ∴． ∵，∴； （2）设旋转时间是ts，则， ∵，∴，则， ∴； （3）∵M，N两点的速度之比是，∴． ∵，∴，∴，∴． 12．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直角三角板的直角边放在线段上，点与点重合．，，，．现将直角三角板的顶点沿方向向右匀速运动，同时三角板绕点以/秒的速度顺时针匀速旋转．当点到达点时停止运动，此时三角板恰好旋转一周．设直角三角板运动的时间为秒． (1)当时，______°；点运动的速度为______/秒； (2)当点运动到中点时，此时______°；(3)当平分时，求此时的长度． 【答案】(1)，(2)(3)为或． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵三角板恰好旋转一周．∴， 当时，，∴点运动的速度为（/秒）． （2）∵，当点运动到中点时， ∴，∴； （3）如图，当平分时， ∴，，∴，∴； 如图，当平分时，∴， ∴∴； 综上：为或． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90(2)，理由见解析(3)的度数是一个定值，理由见解析 【详解】（1）解： ，；故答案为90； （2）解：，理由如下：，，； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，，． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数；(2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)正确，理由见解析 【详解】（1）解：由题知，，， ，，； （2）解：，理由如下：由题知，， 当在与之间，，；       当在与之外，  ，； （3）解：正确，理由如下： ． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】（2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】（3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）75；（2）15秒或秒；（3）9秒或秒或27秒 【详解】解：（1）∵，， ∴，故答案为：75． （2）当在外部，且时， ∵，∴， ∴，∴，解得； 当在内部，且时， ∵，∴，∴，解得； 综上所述，旋转时间t的值为15秒或秒； （3）存在，由得， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分时，则，∴，解得；          当平分时，则，∴，解得； 当平分时，则：，∴，解得：； 综上所述，或或． 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【答案】(1)(2)(3)不存在， 【详解】（1）解：当旋转角时，则， ，，， 平分，，； （2）解：当旋转角时，则，， 平分，， ，，； （3）解：不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则， ， 平分，， ，， 即，，． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ．(2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分；(3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)；(2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分，∴，∴， 设运动秒时平分根据题意得，，解得； 情况：如图：∵平分，∴，∴， 设运动秒时平分，根据题意得，，解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21(2)①；②存在，或 【详解】（1）如图，∵平分，，∴, ∴边旋转的度数为，解得，故答案为：； （2）①如图，∵平分，，∴, 由题意可得，，， ∵，∴，解得； ②时，，， 如图，，相遇之前，，相遇之前，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵，∴，解得，不符合题意； 如图，，相遇之前，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵，∴，解得，符合题意； 如图，，相遇之后，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题意； 综上所述，在旋转过程中，存在某一时刻使，或 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知分别在内部旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，．设运动时间为秒．(1)求的度数．（用含的代数式表示）(2)当，求证：平分．(3)运动过程中，当时，，求的值． 例2（24-25·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 例3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转． (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．    例2（24-25七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 例3（24-25·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 例3（24-25七年级上·四川成都·期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·重庆渝北·期末）若，对于绕点O旋转的动射线，将的值定义为射线关于的特征值，其中：，且，． (1)如图1，射线旋转至的内部，且时， ； (2)若．①如图2，将绕点O旋转，若旋转过程中始终在内部，是否存在某一段时刻．若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． ②为角平分线，在绕点O旋转的过程中，若，请直接写出的值（其中，）． 例2（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）【阅读新知】如图①，射线在内，图中共有三个角、和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的倍，则称射线是的“巧线”． 【理解运用】（1）的角平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） 【拓展提升】如图②，一副三角板（分别含，，和，，）如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒．（2）求为何值时，射线是的“巧线”？ （3）若三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻，使三条射线、、中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 1．（24-25·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 6．（24-25七年级上·广东云浮·期末）如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°． 7．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由；(3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究（）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 9．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 10．（24-25七年级上·山东临沂·期末）将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．    11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 12．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直角三角板的直角边放在线段上，点与点重合．，，，．现将直角三角板的顶点沿方向向右匀速运动，同时三角板绕点以/秒的速度顺时针匀速旋转．当点到达点时停止运动，此时三角板恰好旋转一周．设直角三角板运动的时间为秒． (1)当时，______°；点运动的速度为______/秒； (2)当点运动到中点时，此时______°；(3)当平分时，求此时的长度． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数；(2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】（2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】（3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ．(2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分；(3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 18．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $