专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 17 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆， ∵，∴，故答案为：； （）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆； 解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴， ∵，关于对称，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∵，∴． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG 又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN= 又∵，∴ ∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3；∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 例2（24-25·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】D 【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆． 由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上． A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意； C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意； D．∵和不一定相等，∴和不一定相等， ∴不一定平分，故D符合题意．故选：D． 例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴， ∴A、D、E、C四点共圆，∴，∴，∴是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】如图，设交于点F，过C作， 在以为直径的圆上 ， ， 在和中 = ， 例2（2023·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，作射线， 是等边三角形，，， ，点，点，点，点四点共圆，， 点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值， ，，的最小值为，故选：B． 例3（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 例4（2023·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 5+ 【详解】解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H， ∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°， ∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH, ∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2， （2）如图2中，作AH⊥CD于H， ∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点， 又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC， ∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1， ∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2， ∴，四边形ABCD的周长为． 故答案为：（1）2；（2）． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接， ，为等腰三角形，， 又∵，∴为中点，∴垂直平分，，∴，， 又，为等腰三角形，，∴，∴A，，，四点共圆． 例2（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，如图， ∵，，，∴，， ∵，∴， ∴，设，则，则，解得， ∵，∴， ∴，即，解得，故选：A． 例3（24-25九年级上·湖北·课后作业）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析 【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆． 故答案为：圆内接四边形对角互补  过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）∵，∴点A，，，四点在同一个圆上，∴， ∵，∴．答案：45° （3）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，， ∴，，∴，∴，∴A，，，四点共圆． 模型4.对角互补共圆模型 例1（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【答案】见解析 【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是， ，，，，， ，，， ，，，，，四点共圆； 例2（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：，，、、、四点共圆， 平分，，，，， ，，，如图，延长到，使， ，为等边三角形，，，， 设每一份为，，，，，．故选：C． 例3（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想： 过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）． 对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补； （）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆． 证明：假设过点，，，不能作一个圆． 如图，过，，三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则 ______． ，而是的外角， ______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分． 若，求的度数．若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外，设与交于点，连接，则， ， ，而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立，∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况，故答案为：，； （）解：①∵ ，∴四点共圆， ∵平分，，∴，∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 1.（2024·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，，，， ，，，， ，，， ，即，，， ，、、、四点共圆，，， ，，．故选：． 2．（24-25·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①由旋转的性质可知：， 即 故①正确 ②设相交于点,如图：由①，可得， 又故②正确 ③，可知四点共圆， 则即故③正确 ④设到的距离为， ，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大， 由③可知是等腰三角， ,当点到的距离最大时即当时，最大 即当旋转角度时，过作于点，如图， 由②可知由③可知, ；由①可知 在中，，； 在中，, 在中， 故④不正确 综上所述：①②③正确，共计3个 故选C 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（    ） A．32° B．140° C．29° D．61° 【答案】B 【详解】如图，∵点A、C、D到点O的距离相等，∴OA=OD=OC， ∵点O为线段的中点，∴OC=OB，∴OA=OB=OC=OD， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上，即⊙O为四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）． A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，∴当有最大值时，有最大值， ，∴点，点，点，点四点共圆，∴最大值为直径， ，∴是直径，∴的最大值为，∴的最大值为，故选：C． 5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)①③④(2)(3)不变，8 【详解】（1）解：∵，∴A，B，C，D“四点共圆”，故①正确； ∵，，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故③正确； ∵，∴， 又，∴，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故④正确； 根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”．故能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有①③④． （2）解：对于，当时，则，当时，则，解得， ∴，，∴，又，∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”，∴， 又，∴，∴，∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”，∴， 又，，∴，∴， ∴； （3）①证明：∵，∴， ∵点E与点C关于的对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点E与点C关于的对称，∴，∴， 又，∴，∵A，D，B，E四点共圆， ∴，∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴， ∵，∴，∴，∴． 6．（24-25·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，，∴，∴． （2）解：由（1）可知，，∴， 在，， ∴在中，，∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，，∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，，∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且， ∵是外角，∴， 在中，，∴， ∴是等腰三角形，即，∴，∴． 7．（2024·江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止． 问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值； 问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，． ①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由； ②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程． 【答案】（1）；（2）；（3）①不变，2；② 【详解】解：（1）如图，过A作轴与E， ∵，，，∴，， ∵，∵， ∴，∴，， ∴，∴A点坐标为：，故答案是：． （2）如图，取中点，连接、， 在中，∵M为斜边中点，∴，，， 当O、M、A三点不共线时，根据， 当 O、M、A三点共线时，时，∴，即， ∴当 O、M、A三点共线时，取最大值，最大值为． （3）①不变，∵，， 有，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴点B、O、C、P四点共圆，都在以为直径的圆上，∴， 而为定值． ②由①可知为定值，∴点在直线上运动， 由①知，点到轴的距离从到最大为，再回到距离为直到， ，当从运动到轴时，其坐标为， ∵，这时点从运动到轴，再回到经过的路径长为， ∵、，∴，∴点经过的路径长为． 8．（2024·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)，理由见详解(3) 【详解】（1）解：设，则，∵，∴， ∴，解得：，∴，则（负值舍去）； （2）解：过点C作的平行线交于点G， ∵ ，， ∴A、C、E、B四点共圆， ∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，， ∴，，，∴，， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接， 由题意得：，∵， ∴，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，，则， ∵，∴ ∴， ∵点K为中点，且∴，∵，∴，∴， 而，点K为中点，∴， 在中，，由勾股定理得，∵，∴， ∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，∴的最小值为． 9．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)30；60(2)为等边三角形，见解析(3)(4) 【详解】（1）解：过点作于点，∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：30；60； （2）解：为等边三角形，理由如下：如图：∵为等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴点四点共圆， ∴，∴，∴， ∴四点共圆，∴，∴， ∴，∴为等边三角形； （3）解：在上取一点，使得，过点作于点， ∵，∴，∴为等边三角形，∴，， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵等边，，∴，， ∴由勾股定理得，由（1）得，∴，∴， ∴， ∴ ∴当时，，此时点重合，如图： ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴共线， ∵∴，∴； （4）解：延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵是直径，为圆心，∴，∴ ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴当最大时，最小， ∴当为直径时，最大，，此时． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． (1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________ (2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 【答案】(1)①是；②(2)，元 【详解】（1）解：①：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴A、B、C、E四点共圆，故答案为：是； ②∵，平分，∴， ∵A、B、C、E四点共圆，∴，∴，故答案为：； （2）解：延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q， ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∵，，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，∴平分，∴， ∵点N为中点，，∴，∴点N在以点H为圆心，为半径的上运动， ∵，∴当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为， ∵在中，，，∴， ∴，∴最低造价为：元， 当点M与点Q重合时，如图： ∵，，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∵，∴， ∵，∴，∴． 11．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【详解】（1）证明：，， ，，，A、B、C、D四点共圆； （2）如图，过作交于，，， ，，， ，，，， 四边形是的内接四边形，， ，，， y关于x的函数关系式； （3）延长至，使得，连接、， ，,，， ，，， ，，如图，作轴交于，轴交于， 当、、三点共线时，的值最小，此时，即， ，，，， ，， 轴，轴，，， ，，， ，，解得：，， ，，，， ，；故k的值为． 12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）①∵∴ 又∵∴ ∴，∴， ∴； ②∵当时，∴∴， ∵∴，是等腰直角三角形 ∵∴，即∴ ∵∴ ∵平分∴∴ ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴； （2）如图所示，连接， ∵∴， ∵∴， 同（1）可得，∴ ∴设，则同（1）可得， ∴∴∴． 13．（2024·广西柳州·二模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或 【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则，又∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上，∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，，∴， 图3 图4 ∵，∴，∴，，，四点共圆，∴， ∵，∴，∴， ∵旋转得，∴，∴，∵，∴； ②如图，当时，∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，又∵，，， ∴，∴； 如图中，当时，过作交于， ∵，，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴． 14．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 【答案】见解析 【详解】解：问题提出：证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即：， 在与中，，∴． 尝试应用：延长，使，连接， ∵为等腰直角三角形，∴，， 又∵，即：，∴、、、四点共圆， ∴，∴， 在与中，，∴．∴，， ∴，即：， ∴ ∵∴，∴ 即：． 问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形， ∴，， ∵，∴、、、、五点共圆， 则：，，， ，， 又∵，∴，∴， ∵，，，∴∴， ∵，，，∴∴， ∴，则，作交于，则， ∵，∴， ∴，则：． 15．（2024·江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1． （1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3） 【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC， 在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB， 在Rt△ABD中， ∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）解： △ABC的面积为；△ABD的面积为 （3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点 ∵DF∥BC ∵ ∴△DEF∽△CEB，∴又得． 16．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴，∴，即， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵，∴， ∵是四边形的外接圆，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，即，∴， 又∵是的半径，∴是的切线；    （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵，∴， ∵点M是边的中点，∴，， ∴，∴，在中，，∴， ∵是四边形的外接圆，∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上，∴当时，有最小值， ∵，∴在中，， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 17．（2024·浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 (2)45°(3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8 【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则， ∵，∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上； （2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴， ∵，∴，故答案为：； （3）①证明：∵，∴， ∵点与点关于的对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接， ∵点与点关于的对称，∴，∴，∴， ∵A，D，B，E四点共圆，∴， ∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴， ∵，∴，∴，∴． 18．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．    【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______． 【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论． ①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)①见解析；② 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：∵将绕点逆时针旋转，得到，       ∴∴ ∵旋转角相等，即∴ 又∵，∴， 设，则， ∵在中，，，∴ ，∴，即， ∵∴∴四点共圆∴ 又∵，∴， ②当为直角三角形，只有一种情形，如图所示，过点作于点， ∵∴是等腰直角三角形，∵，则，即是等腰直角三角形， ∵ ∴∴ ∵∴ ∵∴∴ 在中，； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 17 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 例2（24-25·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ． 例2（2023·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 例3（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 例4（2023·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 例2（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·湖北·课后作业）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 模型4.对角互补共圆模型 例1（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 例2（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 例3（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想： 过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）． 对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补； （）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆． 证明：假设过点，，，不能作一个圆． 如图，过，，三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则 ______． ，而是的外角， ______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分． 若，求的度数．若，，求线段的长． 1.（2024·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（    ） A．32° B．140° C．29° D．61° 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）． A．5 B． C． D． 5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 6．（24-25·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 7．（2024·江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止． 问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值； 问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，． ①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由； ②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程． 8．（2024·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 9．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． (1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________ (2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 11．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 13．（2024·广西柳州·二模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 14．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 15．（2024·江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1． （1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值． 16．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 17．（2024·浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 18．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．    【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______． 【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论． ①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $