3.3 幂函数课件（第2课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图像与性质，通过“如何判断幂函数”等问题导入，衔接函数概念，以五个具体幂函数为基础，搭建从特殊到一般的学习支架，帮助学生逐步理解知识脉络。 其亮点在于运用数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识），通过性质对比表、题型分类（如例1概念辨析、例3比较大小）及巩固训练，系统呈现内容。学生能提升抽象与推理能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

3.3 幂函数 第2课时 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 知识点1　幂函数的概念 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. y＝xα 知识点2　五个幂函数的图像与性质 (2)五个幂函数的性质： {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调递增 单调递减 单调 递增 单调递增 单调递减 单调递减 知识点3　一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点______. (2)当α>0时，幂函数的图象通过_____，并且在区间[0，＋∞)上单调递____.特别地，当α>1时，幂函数的图象_____；当0<α<1时，幂函数的图象______. (3)当______时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减. (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称. (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列. (1，1) 原点 增 下凸 上凸 α<0 小 大 1.如何判断一个函数是幂函数？ 答：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数；(4)不加其他项. 2.通过对要点2的5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 答：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象. 题型一 ——幂函数的概念 考点一　 考点一　 √ 5 √ 探究1 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：(1)系数为1；(2)自变量为x；(3)指数为常数；(4)后面不加任何项.反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式. 巩固训练 √ (2)若函数y＝(2a＋3)xa2－3是幂函数，则实数a的值为________. －1 【解析】　因为y＝(2a＋3)xa2－3是幂函数，则2a＋3＝1，得a＝－1，此时a2－3＝－2.因为函数y＝x－2为幂函数，所以a＝－1符合题意. 题型二 ——幂函数的图像 √ 巩固训练 √ (1)如图，函数y＝x－1，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　) (2)画出幂函数f(x)＝x－3的大致图象. 【解析】　函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 因为函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，所以函数f(x)＝x－3是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递减，其大致图象如图. 题型三 ——利用幂函数的性质比较大小 考点一　 考点一　 探究3 (1)比较幂大小的三种常用方法： (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题： 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小. 巩固训练 < < < 题型四 ——幂函数性质的综合应用 考点一　 考点一　 巩固训练 已知函数f(x)＝xα2－2α(常数α∈Z)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α的值为________. 1 【解析】　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴α2－2α<0，解得0<α<2，∵α∈Z，∴α＝1，此时f(x)＝x－1，为奇函数，故α＝1. 随堂训练 √ √ √ 解析　对于A，函数是奇函数，不合题意；对于B，函数是偶函数且是幂函数，符合题意；对于C，函数不是偶函数，不合题意；对于D，函数不是幂函数，不合题意.故选B. √ √ c<b<a 感谢观看与聆听 THANKS (1)在同一平面直角坐标系内，函数y＝x；y＝xeq \s\up12(\f(1,2))；y＝x2；y＝x－1；y＝x3的图象如图. y＝x y＝x2 y＝x3 y＝xeq \s\up12(\f(1,2)) y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) __________ 值域 R _________ R __________ __________ 奇偶性 ______ _________ ______ ____________ __________ 单调性 单调 递增 在[0，＋∞) 上________， 在(－∞，0] 上_________ _____ _____ __________ 在(0，＋∞) 上_________， 在(－∞，0) 上_________ 例1　(1)下列函数中是幂函数的是(　　) ①y＝－x2；　②y＝2x；　③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝eq \f(1,x2)；　⑥y＝x2＋eq \f(1,x). A.①③⑤　　　　　　 B.①②⑤ C.③⑤ D.只有⑤ 【解析】　y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；形如y＝xα的函数是幂函数，其中x是自变量，α是常数，故y＝2x不是幂函数；y＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；y＝x2＋eq \f(1,x)是两个幂函数和的形式，也不是幂函数.y＝eq \f(1,x2)＝x－2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式.故选C. (2)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))，则f(25)的值是________. 【解析】　设f(x)＝xα，∵其图象过点(2，eq \r(2))，∴eq \r(2)＝2α，∴α＝eq \f(1,2)，即f(x)＝xeq \s\up12(\f(1,2))，∴f(25)＝5. (3)已知函数f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up18(\f(1,a－2))为幂函数，则实数a的值为(　　) A.－1或2 B.－2或1 C.－1 D.1 【解析】　因为f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up18(\f(1,a－2))为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1. 【解析】　函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数. (1)在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】　设幂函数为f(x)＝xα.∵其图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，∴2α＝eq \f(1,4)＝ 2－2，∴α＝－2，∴函数解析式为f(x)＝x－2. (3)幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则其解析式是f(x)＝________. x－2 例2　(1)若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x). 【解析】　设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(eq \r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq \r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得， ①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x). ②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x). ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). (2)幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝xeq \s\up12(\f(1,3))，y＝xeq \s\up12(－\f(1,2))在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A.C1，C2，C3，C4 B.C1，C4，C3，C2 C.C3，C2，C1，C4 D.C1，C4，C2，C3 【解析】　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝xeq \s\up12(\f(1,3))在第一象限内的图象为C2，y＝xeq \s\up12(－\f(1,2))在第一象限内的图象为C3. 【解析】　∵幂函数f(x)＝xα的图象过④⑧部分，∴f(x)＝xα在第一象限内单调递减,∴α<0.又易知当x＝2时，f(x)>eq \f(1,2)，∴只有B符合题意. A.f(x)＝x2　　　　 B.f(x)＝eq \f(1,\r(x)) C.f(x)＝xeq \s\up12(\f(1,2)) D.f(x)＝x－2 【解析】　(1)∵幂函数y＝xeq \s\up12(\f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增，又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(\f(1,2))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(\f(1,2)). (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1). 例3　比较下列各组中两个数的大小： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(\f(1,2))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(\f(1,2))；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1). 【解析】　(1)(2)直接利用单调性比较大小. (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(0.6)<10.6＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(－0.4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3))) eq \s\up12(0.4)>10.4＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(0.6)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(－0.4). 比较下列各组数中两数的大小. (1)1.5eq \s\up12(\f(3,5))________1.7eq \s\up12(\f(3,5))； (2)2.2eq \s\up12(－\f(2,3))________1.8eq \s\up12(－\f(2,3))； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(0.6)________eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(－0.4). eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3))) 【解析】　因为y＝xeq \s\up12(\f(1,2))在定义域[0，＋∞)内是增函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2m≥0，,m＋1≥0，,3－2m>m＋1，))解得－1≤m<eq \f(2,3). 故实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3))). 例4　若(3－2m)eq \s\up12(\f(1,2))>(m＋1)eq \s\up12(\f(1,2))，则实数m的取值范围为________. 1.在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A.0　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 解析　根据幂函数定义可知，只有y＝eq \f(1,x2)＝x－2是幂函数.故选B. 2.函数y＝(m2＋2m－2)xeq \s\up18(\f(1,m－1))是幂函数，则m＝(　　) A.1 B.－3 C.－3或1 D.2 解析　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m－1≠0，))解得m＝－3.故选B. 解析　∵y＝f(x)和y＝－f(x)的单调性相反，y＝xeq \s\up12(\f(1,2))－1在[0，＋∞)上单调递增，∴对称后的函数在[0，＋∞)上单调递减.故选B. 3.与函数y＝xeq \s\up12(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 4.下列函数既是偶函数又是幂函数的是(　　) A.y＝x B.y＝xeq \s\up12(\f(2,3)) C.y＝xeq \s\up12(\f(1,2)) D.y＝|x| 5.已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(－∞，0) B.(－∞，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D.(－∞，0)，(0，＋∞) 解析　由题意得2α＝eq \f(1,2)，则α＝－1，f(x)＝x－1，所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞). 6.已知a＝4eq \s\up12(\f(1,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2))，c＝(－8)eq \s\up12(\f(1,3))，则a，b，c的大小关系为________.(用“<”连接) 解析　4eq \s\up12(\f(1,3))>1eq \s\up12(\f(1,3))＝1，0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2))<1eq \s\up12(\f(1,2))＝1，(－8)eq \s\up12(\f(1,3))<0，所以c<b<a. $