16.2 整式的乘法 典型题型归纳专项练-2025-2026学年 人教版（2024）八年级 数学上册

16.2整式的乘法 一同底数幂的除法及逆用 1.计算：m÷(-m2= 2.计算：x8÷x5= 3.若am=3,a”=4,则a2m-n的值为」 4.若3m=2,3”=4,则3m-"= 二单项式乘单项式 1.计算：(-3a)2.(-a2)= 2.计算)gy2(4x) 3.计算：(-3x-2x2)°= 4.计算： ab-(-2ab2y的结果是 41 三单项式乘多项式 1.计算：（-2a2)3ab2-5ab). 2.计算：（-4x2x2+3x-1, 3.化简求值：x(5-x)+x2+3,其中x=2. 4.先化简，再求值：x(x--x(x+2),其中x=1. 四多项式乘多项式 1.计算： (1)xy(-2xy)2+-x2y); (2a-2)(2a+1-(a-5)a+1. 2.计算： (1)xx2+x-1-2x2-1(x-4): (2)2x(x-4)+(3x-1)(x+3). 3.计算： (1-8ab2）(-ab)2.3abc; (22x+5y)3x-2y). 4.先化简，再求值：（x+1(x-2)-(x+3)(x-3,其中x=5. 五单项式除以单项式 1,计算-2÷的结果是 2.计算： 3.计算(2x2y°(-3xy2）÷6xy= 4.计算(-2xy3÷x2y3）的结果是： 六多项式除以单项式 1.计算：（-24x3y2+8x2y3-4x2y2）÷(-2xy)2. 2.计算： 3.计算： (1)3x3-6x2+12x÷3x; 2(2ab-a +3a)+ab) 4先化向.再求值：(6y+3xy-2y:小，夷巾=1.=2 七整式四则混合运算 1.计算： (1川a-2)(a+1-2a5÷a3; (23x+y(3x-y)+(2x+y)2。 2.先化简，再求值：「3xx-2x2++6x3-3x÷x,其中x=-1. 3.先化简，再求值：[(x+2y)2-(x+4(3x+y)]÷2x,其中x=4,y=1 4.先化简.再求值：「(x-2y)2-4y2+2xy÷2x,其中x=2√2，y=V2. 八单项式乘多项式的应用 1.如图，一张长方形硬纸片ABCD,长AD为5a+4b)m,宽AB为6am,在它的四个角 上分别剪去一个边长均为2am的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请 你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积。 O B 2.如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍 少1米，周边的道路是等宽的， 花圃 (1)设空地的宽是Q米，周边道路的宽度是x米，请表示出花圃的面积； (2)在(1)的条件下，若要求花圃的宽是m米，请用m表示出花圃的面积. 3.李老师给学生出了一道题：当a=0.35,b=-0.28时，求 a3(7-6b+3ab+3a3+6ab-a2(3b+10a的值.题目出完后，小聪说：“老师给的条件 a=0.35,b=-0.28是多余的.”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余 的.”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 4.某市的环保局将一个长为2a×10分米，宽为4a×104分米，高为8a×102分米的长方体 废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮 水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由 九多项式乘积不含某项求字母的值 1.若(x+m与x+3)的乘积中不含有x的一次项，求m. 2.若(x-2)(2x2+ax+b)的展开式中不含x的二次项和一次项，求a,b的值. 3.若(x2+x+3与x2-3x+m的乘积中不含x和2的项，求m、n的值， 4.如果关于x的多项式x-2与x2+x+5的乘积中不含的一次项，求m的值。 十多项式乘法中的规律问题 1.阅读材料一：(a+b)”可以展开成一个有规律的多项式： (a+b}'=a+b: a+b2=a2+2ab+b2: (a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3: (a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b; 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化.下面 我们依次对（α+b)”展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中 的形式，表中每个数等于它上方两数之和.例如，在三角形中第二行的三个数1,2,1，恰 好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数 (a+b)0= l (a+b}'= a叶b… (a+b)2= a2+2ab+b2… (a十b)= a3+3a2b+3ab2+b3… 13 (a+b= a+4a3b+6a2b2+4ab3+b. .1464 (a十b5= a3+5ab+10a3b+10a2分+5ab+…15101051 (1)多项式(a+b)的展开式是一个_次_项式，各项系数和是-； (2)写出(a+b)°的展开式：(a+b)°=-；观察(a+b)‘的展开式，各项系数和是-： (3)利用材料中的规律计算：25-5×2·+10×23-10×22+5×2-1· 2.观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： (x+1)(x2-x+1)=x3+1,(x+2)(x2-2x+4)=x3+8, (x+3)(x2-3x+9)=x3+27, （1)你发现的规律是：(x+y)x2-xy+y)=-,并写出推理过程；类似地，你还可以得到如 下规律：(x-y)(x2+xy+y2)=- (2)用你发现的规律填空：(2x+1)(4x2-2x+1)=-;(3x-2(9x2+6x+4)=-;(4x+3-)=64x+27 ;(5x-2)0-)=125x3-8; (3)我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ①a3-27=-;2a3+16=- ②拓展思考：把多项式a5-b分解因式. 3.探索题：(a-b)(a+b)=a2-b2 (a-b)a2+ab+b2）=a3-b (a-b)(a+a'b+ab2+b3)=a-b (a-b)a4+a3b+a2b2+ab3+b4=a3-b3… (1)根据规律可得(a-b)(a-1+a”-2b+a”-3b2+…+a2b”-3+ab”-2+b-）=-(其中n为正整数)： (2)仿照上面等式分解因式：a6-b6=-: (3)根据规律可得（a-1)(a-1+a”-2+…+a2+a+1=-(其中n为正整数)： (4)计算：（4-1(40+4°+48+…+42+4+1=- (5)计算：①32019-2.32018+22.32017-23.32016+…+22018.3-22019； ②2.32018+23.32016+25.32014+27.32012+…+22017.32+22019. 4.已知x≠1，计算： (1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)1+x+x2)=1-x3,(1-x)1+x+x2+x3)=1-x4. (1)观察以上各式并猜想：(1-x)1+x+x2+…+x）=·(n为正整数) (2)根据你的猜想，计算： ①(1-2)(1+2+22+23+24+2)= ②2+22+23+…+2”=- -·(n为正整数) ③(x-1)(x9+x8+x7+…+x2+x+1= 3)请根据以上猜想计算：3+32+33+…+3”的值. 综合练 一、单选题 1.计算x÷x3的结果是（) A.x3 B.x C.2 D.x8 2.计算3a(-2a的结果是() A.5a2 B.-5a2 C.6d D.-6a2 3.计算(-1+2026)°的结果是() A.-1 B.1 C.2025 D.2026 4.已知单项式6gy2与-xy的积为mry,则m,n的值为() A.m=-2,n=4 B.m=-18,n=4 C.m=-2,n=3 D.m=-18,n=3 5.己知等式(x+m)(x-n)=x2+kx-12(m,n为整数)，则k的值不可能是() A.-1 B.4 C.11 D.7 6.若x2+3x=2025,则代数式(x-1)(x+4)-2020的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 7.若(y+3)(y-2)=y2+y+n,则的值为() A.-6 B.1 c.5 D.6 8.下列式子中，正确的有() ①a3n÷a3=a ②a3n-5÷a5-n=a4n-l0 ③(y)3÷(y2=y3 ④(x+y)4÷(-x-y)=-x-y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.己知a+b=5,ab=3,则a-2)(b-2)的值为() A.-3 B.2 C.3 D.9 10.若2=3,4=2，则22x等于() A.1 B. D.2 11.如果x2+px+g=(x-1)(x+4),那么p、q的值是() A.p=3,9=4B.p=3,g=-4 C.p=-4,9=3 D.p=4,9=-3 12.我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和 的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角， 计算(a+b)°的展开式中，含项的系数是() (a+b)0= (a+b)'= a+b (a+b)2= a?+2ab+b (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 3 3 (a+b)a+4ab+6ab2+4ab+b4 ...... 4 6 4 A.15 B.10 C.9 D.6 二、填空题 13.计算a6÷a2的结果为 14.若y=2,则6n2(分y的值为— 15.若(x+a)(2x-1)=2x2+3x-2,则a= 16.已知(2x-3)*3-1=0,求x的值为 三、解答题 17.计算： (1-1)20×2020-元°-1： (2)xy-5+y(3-x 3)x23-(x2)÷x2; (4川x+2)(2x-3). 5)3a2b(-2ab)月 6-2xr-+3 18.先化简，再求值：x2(x-)-x(x2+x-),其中x=2 19.己知：2°=3,2=6,2°=12. (1)22的值等于-； (2)2-b的值等于- (3)试说明：2b=a+c. 20.(1)己知m-4n-2=0,求3"÷81"的值； (2)已知若2x8*×16=222,求x的值 21,已知，7张如图1的长为a,宽为b(其中a>b)的小长方形纸片，按图2方式不重叠 地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD=m,未被覆盖的部分的长方形MNPD的面 积记作S,长方形BEFG的面积记作S2, M D E B G 图1 图2 (1)用含有a、b、m的代数式表示S,-S2,求当a=5,b=1,m=14时，S-S2的值. (2)若S-S2的值与m的取值无关，求α、b满足的数量关系. 22.【问题提出】 因式分解：(1+x)+x1+x)+x1+x)2…+x(1+x+x1+x)” 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ①(1+x)+x1+x)=(1+x1+x)=(1+x)2 ②由①知(1+x)+x1+x)=(1+x)2,继续添加下一项得： (1+x)2+x(1+x)2=(1+x)2(1+x)=(1+x)3 (1)仿照②，把代数式(1+x)+x(1+x)+x(1+x)+x(1+x)进行因式分解. 【发现规律】 (2)推广到一般形式：(1+x+x(1+x)+x1+x2…+x(1+x)”+x(1+x)”= 【问题解决】 (3)化简：a+a1+2)+a1+2)2+a1+23+…+a1+2)2025= 答案 一同底数幂的除法及逆用 1.解：m÷(-m月 =m÷1m2 =m6-2 =m4. 故答案为：m4. 2.解：x8÷x5=x8-5=x3. 故答案为：x2. 3.解：a"=3,a”=4, a2=a2÷a=(a）÷a=32*4=9 4.解：：3m=2,3”=4, 1 .3m-"=3m÷3”=2÷4= 2 故答案为：3 二单项式乘单项式 1.解：(-3a)2.(-a2) =(-3)2·a2.(-a2) =9a2.(-a2) =9×(-1)(a2·a2) =-9a2+2 =-9a 故答案为：-9a4. 2.解：22-4列=-2y, 故答案为：-2x4y3. 3.解：（-3x2)}2-2x2)月 =9x6-8x） =-72x2. 故答案为：-72x2. 4.解：(4b(-2a6y =Iab.4ab 4 =a'bs 故答案为：a4b 三单项式乘多项式 1.解：原式=（-2a2）3ab2-（-2a2）5ab3=-6ab2+10ab. 2.解：（-4x)2x2+3x-1 =(-4x2x2+-4x3x-（-4x)1 =-8x3-12x2+4x 3.解：x(5-x)+x2+3 =5x-x2+x2+3 =5x+3, 当x=2时，原式=5×2+3=13. 4.解：xx-1-xx+2)=x2-x-x2-2x=-3x, 将x=1代入得，原式=-3x1=-3. 四多项式乘多项式 1.(1)解：xy-2xy2+-x2y月 =x4y.4x2y2+-xy）】 =4xy3-x6y3 =3x6y3; (2)解：(a-2)(2a+1)-a-5)(a+1 =2a2-4a+a-2-a2-5a+a-5 =2a2-4a+a-2-a2+5a-a+5 =a2+a+3. 2.(1)解：xx2+x-1-(2x2-1(x-4) =x3+x2-x-2x3-8x2-x+4