专题04 指数对数幂函数（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题04 指数对数幂函数目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：指数与指数幂的运算 考点二：指数函数的图象及其应用 考点三：指数（型）函数的单调性 考点四：指数（型）函数的值域与最值 考点五：对数的运算 考点六：对数函数的定义域 考点七：对数函数的图象与性质 考点八：对数函数的单调性 考点九：对数函数的值域与最值 考点十：指数对数函数值的大小比较 考点十一：幂函数的定义 考点十二：幂函数的单调性 进阶分级训练 1.掌握指数与指数幂的运算； 2.理解指数函数的图象，能利用图象解决相关问题； 3.会判断指数（型）函数的单调性； 4.会求指数（型）函数的值域与最值； 5.掌握对数的运算； 6.会求对数函数的定义域； 7.理解对数函数的图象与性质； 8.会判断对数函数的单调性； 9.会求对数函数的值域与最值； 10.掌握指数、对数函数值的大小比较方法； 11.理解幂函数的定义； 12.会判断幂函数的单调性。 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 知识点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 知识点8 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 底数 ，N叫作对数的 真数 ．    知识点9 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点10 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数 和 零 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 知识点11 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 知识点12 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 知识点13 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0且不等于1 知识点14 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点15 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 以为底数的对数式 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 换元法（令） ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 知识点16 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 知识点17 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 知识点18 幂函数的奇偶性 考点精讲讲练 考点一：指数与指数幂的运算 例题1．．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 1．（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】． 故选：D. 2．式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 3．计算：=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘以单项式法则进行运算即可. 【详解】由， 故选：B. 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】由. 故选：D 考点二：指数函数的图象及其应用 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得. 【详解】令函数，， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误； 对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确. 故选：D 1．已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 2．如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及与轴的交点即可判断. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 3．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 考点三：指数（型）函数的单调性 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）下列函数在其定义域内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦、余弦函数的性质，以及指数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数在定义域上不是单调函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在定义域上不是单调函数，所以B不符合题意； 对于C中，由指数函数的性质，可得在上是递增函数，所以C不符合题意； 对于D中，由指数函数的性质，可得在上是递减函数，所以D符合题意. 故选：D. 例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 【答案】或 【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案. 【详解】函数， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 故答案为：或. 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质逐一判断即可. 【详解】对A，在上单调递增，故错误； 对B，在上单调递增，故错误； 对C，在上单调递减，故正确； 对D，在上单调递增，故错误. 故选：C. 2．若函数且是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由函数且是上的减函数，得， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B 3．若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 4．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 考点四：指数（型）函数的值域与最值 例题1．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 1．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值. 【详解】因为在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：A. 2．若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 3．若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可求出a的值. 【详解】解：当时，在单调递减， 即， 解得：或(舍)； 当时，在单调递增， 即， 解得：或(舍)； 综上所述：或. 故选：D. 考点五：对数的运算 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故选：A 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质，进行计算即可. 【详解】由题意，得， 故选：B. 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则 ． 【答案】 【分析】由对数定义可得答案. 【详解】。 故答案为：. 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）计算： ． 【答案】4 【分析】根据对数的定义和指数幂运算求解. 【详解】由题意可知：. 故答案为：4. 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得出所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 4．（2025高二下·陕西西安·学业考试）计算： . 【答案】11 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 ， 故答案为：11. 考点六：对数函数的定义域 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的性质可得. 【详解】由对数函数的性质可得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解. 【详解】要使有意义，则有，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 1．（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解. 【详解】由，解得. 故选：B. 2．（2025高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 3．（2025高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数、根式的性质求函数的定义域和值域，再由集合交并及集合关系的表示判断各项正误. 【详解】由题设，则，值域， 所以，，集合之间关系不能用表示， 所以A、C、D错，B对. 故选：B 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组，解出即可； （2）根据函数奇偶性定义判断； （3）根据题意转化为有两解，利用函数的单调性求值域进行求解. 【详解】（1）由题意得， 由得， 所以的定义域为． （2）因为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数． （3）当时，． 令，则． 令，， 则，函数在上单调递增，， 易知，函数在上单调递增，在上单调递减． 要使有两个零点，即有两个解， 那么，则，所以实数m的取值范围是． 考点七：对数函数的图象与性质 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象经过的定点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，确定函数的图象经过的定点. 【详解】由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是. 故选：C 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用排除法，根据对数函数单调性分析判断即可. 【详解】由题意可知：函数在定义域内单调递增，且， 结合选项可知：ABC错误，D正确. 故选：D. 2．已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数图象的平移变换，即可求得答案. 【详解】对于，当时，， 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时的图象过第二、三、四象限； 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时图象过第一、三、四象限； 综合可知函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标加1（纵坐标不变） C．纵坐标减1（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】C 【分析】根据函数图像的平移变换以及对数的运算即可得出答案. 【详解】因为函数，由函数图像的平移变换可知为了得到函数的图像，只需把函数图象上所有点的纵坐标减1（横坐标不变）. 故选：C 4．要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（   ） A．缩小到原来的倍（纵坐标不变） B．扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C．向左移动1个单位（纵坐标不变） D．向右移动1个单位（纵坐标不变） 【答案】B 【分析】由对数的运算及函数图象的变换可得解. 【详解】因为， 所以由函数图象的变换知，只需将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变）， 故选：B 5．函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，设点的坐标，得到其关于原点对称的点的坐标，将点的坐标代入中即可得到结果. 【详解】设点是函数上的一个点，则其关于原点的对称点为. 所以根据题意可知点在函数上，则， 化简得，所以. 故选：D. 考点八：对数函数的单调性 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案. 【详解】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 3．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 考点九：对数函数的值域与最值 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 例题2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 1．函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 2．已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 3．已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 4．“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】验证充分性，当时，，所以函数的值域为R，即具有充分性；再验证必要性，若函数的值域为R，则对于二次函数，其判别式非负，由此可解得，可得答案. 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 考点十：指数对数函数值的大小比较 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB：根据对数函数性质单调性分析判断；对于C：根据对数函数单调性结合中间值2分析判断；对于D：根据指数函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为， ， 所以，故C正确； 对于选项D：由指数函数性质可知：，故D错误； 故选：C. 1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性,判断大小关系. 【详解】已知对数函数，当时，函数单调递减，因为,所以. 故选：D. 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求，结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3．（2024高二上·江苏·学业考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 4．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段法求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：C 考点十一：幂函数的定义 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】由分数指数幂的运算公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：2. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】待定系数法，设幂函数的解析式，代点可得. 【详解】设幂函数，代入点，得，所以， 所以函数的解析式. 故答案为： 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的解析式； （2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 1．下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. 2．已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 3．已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 4．已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义及单调性即可判断. 【详解】由幂函数的定义可知，，解得，所以，则为偶函数，A错误； 在上单调递减，在上单调递增，B错误； 由单调性可知，当时，，，C正确，D错误． 故选：C 考点十二：幂函数的单调性 例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、幂函数、指数函数及对数函数的图象及性质，结合函数奇偶性、单调性的定义即可求解. 【详解】由正弦函数的性质可知：函数为上的奇函数， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项A错误； 由幂函数的图象及性质可知：函数为上的奇函数，且在上单调递增，为增函数，故选项B正确； 由指数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，且为非奇非偶函数，故选项C错误； 由对数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，是为非奇非偶函数，故选项D错误. 故选：B. 例题2．（2025高二上·北京·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 2．已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （   ） A．0 B． C．3 D．3或 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得到，解得即可. 【详解】因为幂函数，且的图象在第一象限内单调递增， 所以，解得. 故选：C 3．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断. 【详解】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 训练 一、单选题 1．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂，根式的运算公式即可判断AB，根据对数运算公式即可判断CD. 【详解】由，故A正确，,故B正确； ，故C正确，，故D错误. 故选：D. 2．已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出，再将该值代入相应的解析式后可求函数值. 【详解】,故， 故选：A 3．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 所以有. 故选：C 4．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 6．已知幂函数为偶函数，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求解. 【详解】由幂函数定义得，解得或， 当时，，定义域为，不为偶函数，不满足题意； 当时，，定义域为，且，故为偶函数. 故选：C 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可. 【详解】由，则， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 9．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 10．幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据函数为幂函数可列式求出m的值，验证是否符合题意，即得答案. 【详解】由函数为幂函数，得， 解得或， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 故， 故选：B 二、多选题 11．下列函数中，不满足既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性及在的单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数是奇函数，不是偶函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，且在上单调递增，B不是； 对于C，函数是偶函数，在上单调递减，C是； 对于D，函数不是偶函数，在上单调递增，D是. 故选：ACD 12．已知曲线，，则（   ） A．把向上平行移动1个单位长度，得到曲线 B．把向左平行移动1个单位长度，得到曲线 C．把向右平行移动1个单位长度，得到曲线 D．把上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到曲线 【答案】BD 【分析】利用函数图象变换规律逐项判断即可. 【详解】对于A，把曲线向上平行移动1个单位长度得到曲线， 不为曲线，故A错误； 对于B，把曲线向左平行移动1个单位长度得到曲线，为曲线，故B正确； 对于C，把曲线向右平行移动1个单位长度得到曲线， 不为曲线，故C错误； 对于D，把曲线上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变）， 得到曲线，为曲线，故D正确. 故选：BD. 13．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A：利用指数函数的单调性可得答案；对于B：换元令，转化成关于的不等式判断即可；对于C：举反例即可；对于D：利用对数函数的单调性可得答案. 【详解】对于选项 A： 由于 ，指数函数 是减函数， 给定 ，有 ，故选项 A 错误； 对于选项 B： 令 ，则不等式可化为 . 因为 且 （即 )，， 所以 恒成立，故选项 B 正确； 对于选项 C：当 时， ，，故选项 C 错误； 对于选项 D： 等价于 由，可得， 又因为，对数函数 是减函数， 所以，故选项D正确. 故选：BD 三、填空题 14．计算 . 【答案】10 【分析】根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算法则化简运算即可得答案. 【详解】 . 故答案为：10. 15．已知，则 . 【答案】 【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 16．下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②⑥ 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数定义即可判断． 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故③④不满足题意， 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，但，故⑤不满足题意； 因为的定义域为，但，故⑥满足题意． 故答案为：②⑥． 四、解答题 17．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数与对数的转化及对数运算法则计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）由，则，， 则. 18．（1）设，且，求的值： （2）若，，用和表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据立方和公式分解求解即可； （2）根据换底公式求解即可. 【详解】解：(1)因为， 所以 （2）由得， 所以 19．已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求的定义域并判断其奇偶性. 【答案】(1)3 (2)，奇函数 【分析】（1）将点代入解析式化简得，求解即可； （2）解分式不等式求得的定义域，再利用奇函数定义判断即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 由题意知，即，解得. （2）由（1）得，， 由得，解得，所以的定义域为， 因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数. 20．已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 一、单选题 1．已知，是函数图象上的两个不同的点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解AB，利用基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B, ,则，故B错误， 对于CD，，则，且，， 故，故D正确，C错误， 故选：D 2．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围． 【详解】设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得． 故选：A． 3．函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 4．已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【分析】利用换底公式转化，进行求解即可. 【详解】， 所以，则，解得. 故选：C. 5．已知，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质，以及函数图象平移方法，判断函数值大小. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数， 如图所示，根据指数函数性质，可知不存在实数使成立. 故选：B. 二、多选题 6．已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 7．若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先对等式取对数，可得到类似的式子，通过都是正数，和都是负数，讨论即可. 【详解】当都是正数，由可得（其中）， 因为，所以，故， 所以，即，故A选项可能成立， 当都是正数，由于，取常用对数得：， 则，同时由于对数函数在定义域上是增函数， 进而，所以； 同理，进而，所以； 所以，故C选项可能成立， 当都是负数，由于，取常用对数得：， 同时由于对数函数在定义域上是增函数， 则，则， 则，则， 即，故B选项可能成立， 故选：ABC 三、解答题 8．已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按分类，利用指数函数单调性求出最大值. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用单调性求出最大值并建立不等式求出范围. 【详解】（1）当时，在上单调递减，，则； 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. （2）不等式，令函数， 依题意，对，恒成立，而当时，函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 9．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； 【详解】（1）当时，， 对任意的恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故． （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得． 因此，实数的取值范围是． 10．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数对数幂函数目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：指数与指数幂的运算 考点二：指数函数的图象及其应用 考点三：指数（型）函数的单调性 考点四：指数（型）函数的值域与最值 考点五：对数的运算 考点六：对数函数的定义域 考点七：对数函数的图象与性质 考点八：对数函数的单调性 考点九：对数函数的值域与最值 考点十：指数对数函数值的大小比较 考点十一：幂函数的定义 考点十二：幂函数的单调性 进阶分级训练 1.掌握指数与指数幂的运算； 2.理解指数函数的图象，能利用图象解决相关问题； 3.会判断指数（型）函数的单调性； 4.会求指数（型）函数的值域与最值； 5.掌握对数的运算； 6.会求对数函数的定义域； 7.理解对数函数的图象与性质； 8.会判断对数函数的单调性； 9.会求对数函数的值域与最值； 10.掌握指数、对数函数值的大小比较方法； 11.理解幂函数的定义； 12.会判断幂函数的单调性。 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 知识点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 知识点8 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    知识点9 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点10 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 和 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 知识点11 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 知识点12 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 知识点13 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数 知识点14 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点15 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 知识点16 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 知识点17 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 知识点18 幂函数的奇偶性 考点精讲讲练 考点一：指数与指数幂的运算 例题1．．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（   ） A．3 B．2 C． D． 2．式子的值为（    ） A． B． C． D．1 3．计算：=（   ） A． B． C． D． 4．（　　） A． B． C． D． 考点二：指数函数的图象及其应用 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 1．已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 考点三：指数（型）函数的单调性 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）下列函数在其定义域内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数且是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：指数（型）函数的值域与最值 例题1．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 1．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 考点五：对数的运算 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）（   ） A． B． C．2 D． 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则 ． 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）计算： ． 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·陕西西安·学业考试）计算： . 考点六：对数函数的定义域 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1．（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 考点七：对数函数的图象与性质 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象经过的定点是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标加1（纵坐标不变） C．纵坐标减1（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 4．要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（   ） A．缩小到原来的倍（纵坐标不变） B．扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C．向左移动1个单位（纵坐标不变） D．向右移动1个单位（纵坐标不变） 5．函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 考点八：对数函数的单调性 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点九：对数函数的值域与最值 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 例题2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 1．函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点十：指数对数函数值的大小比较 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·江苏·学业考试）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点十一：幂函数的定义 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则 ． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 1．下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 3．已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 4．已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 考点十二：幂函数的单调性 例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）. A． B． C． D． 例题2．（2025高二上·北京·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （   ） A．0 B． C．3 D．3或 3．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 训练 一、单选题 1．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数为偶函数，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 二、多选题 11．下列函数中，不满足既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 12．已知曲线，，则（   ） A．把向上平行移动1个单位长度，得到曲线 B．把向左平行移动1个单位长度，得到曲线 C．把向右平行移动1个单位长度，得到曲线 D．把上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到曲线 13．若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．计算 . 15．已知，则 . 16．下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 四、解答题 17．（1）计算：； （2）已知，求的值． 18．（1）设，且，求的值： （2）若，，用和表示． 19．已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求的定义域并判断其奇偶性. 20．已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知，是函数图象上的两个不同的点，则（    ）． A． B． C． D． 2．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 4．已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 5．已知，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 三、解答题 8．已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 9．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 10．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $