专题03 乘法公式（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

专题03 乘法公式（六大题型） 【题型1: 平方差公式运算】..................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】.........................................................................................2 【题型3:完全平方公式】........................................................................................................5 【题型4: 完全平方公式下得几何背景】..............................................................................5 【题型5: 完全平方公式的逆运算】.......................................................................................9 【题型6 求完全平方式中的字母系数】.................................................................................9 【题型7 整式的混合运算】....................................................................................................10 【题型1: 平方差公式运算】 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．一条水渠的横断面为梯形，它的上底为，下底为，高为，则梯形面积的代数式为（   ） A． B． C． D． 5．若，则等于（    ） A．2 B． C．±4 D．以上都不对 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 8．已知，则=（   ） A．6 B．3 C．2 D． 9．计算 的值为（  ） A．1 B． C．0 D． 【题型2:平方差公式的几何背景】 1．观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 2．（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 3．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 4．从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 7．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)若，求的值． (3)利用以上等式计算：． 【题型3:完全平方公式】 1． ． 2．计算 ． 3．运用乘法公式计算的结果是 ． 4．计算： ． 5．利用因式分解计算： ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 1．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（   ） A． B． C． D． 3．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 4．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是_______； (3)根据（2）中的结论，若，求． 5．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用了如图①所示的三种不同的矩形纸片拼成了如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示出图②中阴影部分的面积； 方法1：            方法2： (2)拓展应用： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 6．合探究． 把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示： ； ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示： ； 【深入总结】（2）由（1）可得等式： ，并证明你的结论； 【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 7．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 8．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系是______； (3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值； (4)变式应用：若，求． 【题型5: 完全平方公式的逆运算】 1．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 2．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 3．已知，．求： (1)； (2)的值． 4．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 5．已知 (1)求的值； (2)求的值． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1．若代数式是一个完全平方式，则 ． 2．若是完全平方式，则的值为 ． 3．若是完全平方式，则 ． 4．多项式是一个完全平方式，则 ． 【题型7 整式的混合运算】 1．化简求值∶，其中，． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：，其中，． 4.先化简，再求值：，其中，． 5．先化简，再求值：，其中，． 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 2．【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为________； (4)如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接、，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式（六大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................4 【题型3:完全平方公式】......................................................................................................11 【题型4: 完全平方公式下得几何背景】..............................................................................12 【题型5: 完全平方公式的逆运算】......................................................................................21 【题型6 求完全平方式中的字母系数】................................................................................24 【题型7 整式的混合运算】....................................................................................................25 【题型1: 平方差公式运算】 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，据此判断求解即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 2．下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特点找相同项和相反项，即可得到答案． 【详解】解： A、符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式进行计算，此选项正确； B、没有相同项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； C、没有相同项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； D、没有相反项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； 故选：A． 3．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平方差公式对每个选项逐一判断即可． 【详解】A、可以用平方差公式，故此选项符合题意； B、前后两个因式中没有相同项，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； C、前后两个因式中没有相同项，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； D、前后两个因式中没有相同项，不能用平方差公式，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．一条水渠的横断面为梯形，它的上底为，下底为，高为，则梯形面积的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，根据梯形的面积公式列式后，运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：梯形的面积为． 故选：B 5．若，则等于（    ） A．2 B． C．±4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 先按照平方差公式计算等式左边，然后再跟右边对照，，即可得出的值． 【详解】解：， ， 解得：． 故选：B． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 7．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是．首先根据平方差公式化简得出，然后乘方的意义求解即可． 【详解】解：，即， ∴． 故选：D． 8．已知，则=（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 9．计算 的值为（  ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握平方差公式． 直接运用平方差公式进行运算． 【详解】解： 故选：A． 【题型2:平方差公式的几何背景】 1．观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积，根据矩形和正方形的面积公式列式，即可得出结论． 【详解】解：图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 2．（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 3．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3)287200 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用． （1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差即可；图②是长为，宽为，有长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：原式 ． 4．从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)， (2) (3)①4；②750000 【分析】本题考查平方差公式的应用，代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据和的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式将，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 7．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)若，求的值． (3)利用以上等式计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，已知式子的值求代数式的值，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，结合阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分的面积等于长乘宽，进行列式表示，即可作答． （2）整理得，再代入，进行计算得，即可作答． （3）先结合平方差公式进行整理，然后展开得，故得，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：结合阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分的面积等于长乘宽， 即． （2）解：依题意， ∵ ∴ （3）解： ． 【题型3:完全平方公式】 1． ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．运用乘法公式计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，直接根据完全平方公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征并正确应用． 将变形为，再利用完全平方公式展开计算． 【详解】解：． 故答案为： 5．利用因式分解计算： ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，将原式化简为，即可利用完全平方公式求解． 【详解】解： 故答案为： ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 1．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．根据长方体的底为边长为的正方形，即可求解． 【详解】解：这个长方体盒子的底面积为， 故选：C． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，利用两种方法表示大正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：； 故选：B． 3．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析图形中各部分的边长，分别用两种方式表示阴影部分的面积，从而推导出对应的乘法公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的形式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键． 【详解】解：表示阴影部分面积的第一种方式：阴影部分是边长为的正方形，其面积为． 表示阴影部分面积的第二种方式： 大正方形边长为，面积为；两个长方形的长为、宽为，面积和为；小正方形边长为，面积为． ∴阴影部分面积还可以表示为． 所以，该图可验证的乘法公式是， 故选：C ． 4．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是_______； (3)根据（2）中的结论，若，求． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）由（2）的结论得到，再把代入即可求得的值． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； （3）解 5．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用了如图①所示的三种不同的矩形纸片拼成了如图②所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示出图②中阴影部分的面积； 方法1：            方法2： (2)拓展应用： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①3；②2023 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可； （2）①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案； ②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案. 【详解】（1）解：（1）方法1：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和 即：， 方法2：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积 ； （2）①∵，，， ∴， 解得； ②由（1）得， 可得， ∵， ∴ ． 6．合探究． 把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示： ； ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示： ； 【深入总结】（2）由（1）可得等式： ，并证明你的结论； 【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）（，见解析；（3）①；②1 【分析】此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键． （1）①观察图形，可得图中大正方形的边长为，每一块长方形木板的长为a，宽为b，根据正方形的面积边长的平方，长方形的面积长宽即可求解； ②观察图形，可得图中空心部分的正方形边长为，根据正方形的面积边长的平方即可求解； （2）根据利用（1）中结论代值求解即可； （3）利用完全平方公式及（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）①由图知，大正方形面积减去四块木板的面积为， ②用空心部分的正方形边长的平方表示为：， 故答案为：，； （2）， 证明：∵左边， 右边，左边右边， ∴． （3）解：①∵，， ∴， ∴． ②∵ ，，， ∴ ∴． 7．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)53 (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式的变式，即可求解； （2）利用完全平方公式的变式，即可求解； （3）利用完全平方公式的变式及正方形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：， ． ， ， ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 8．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系是______； (3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值； (4)变式应用：若，求． 【答案】(1)；； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键． （1）根据图形直接列代数式即可； （2）从整体和个体两方面分析大正方形的面积解答； （3）代入（2）中结论计算即可； （4）设， 得 ， ，再结合（2）中结论解答即可． 【详解】（1）解：如图1，面积为， 如图2，阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）解：由图2可知：大正方形的面积为，或， ， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的结论，可得： ， 把，代入， ， 故或； （4）解：设，                        ， ，    ， ， ， ， ，         ． 故的值为． 【题型5: 完全平方公式的逆运算】 1．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)32 (2)28 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式的变形． （1）由题意知，代值求解即可； （2）由题意知，代值求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 2．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解： ． 3．已知，．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式得再把两式子相加，进行计算即可． （2）根据完全平方公式得再把两式子相减，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 4．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是关键． （1）根据完全平方公式的变形计算，代入计算即可； （2）根据完全平方公式的变形计算，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 5．已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)17 (2)27 【分析】本题考查完全平方公式及其变形，根据完全平方公式正确变形是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的结构特征求解． （2）根据完全平方公式的结构特征求解． 【详解】（1）解：∵， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∴． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1．若代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或10 【分析】把写成，解答即可； 本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， 故将写成， 根据多项式对应项的系数相等，得到， 故答案为：或10． 2．若是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值，根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为： 3．若是完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：或． 4．多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了完全平方公式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方公式，并通过对比多项式的对应项确定中间项与常数项的关系，进而求出参数的值． 先明确完全平方公式的展开形式，将已知多项式与公式对比，其中可确定；再根据中间项，代入求出的值；最后由常数项，计算得出的值． 【详解】解：根据完全平方公式，对比多项式： 由，得；中间项， 将代入，得， 两边同时除以（），得； 因为常数项，所以. 故答案为：36． 【题型7 整式的混合运算】 1．化简求值∶，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟记乘法公式是解题关键．先利用平方差公式与完全平方公式计算乘法，再合并同类项得到化简的结果，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，7 【分析】本题考查整式的混合运算，根据混合运算的法则进行化简，再代入值计算即可．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 4.先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整式化简求值等知识点．根据平方差公式和完全平方公式展开、然后合并同类项、再算除法，最后代入求值即可解答． 【详解】解： ； 当，时，原式． 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；7 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据，解答即可． （2）根据，解答即可． 本题考查了配方法，实数的非负性，熟练掌握配方和非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故的最小值是． （2）解： ． 故的最大值是9． 2．【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为________； (4)如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接、，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)36 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． （1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案； （2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案； （3）由（2）得结论可得，然后将代入进行计算即可得出结论； （4）分别求出，，，再根据得，然后由（1）可知：，从而得，再将进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意得：； 故答案为：； （2）解：依题意得：； 故答案为：； （3）解：由（2）可知：， ∴， 即：， 又∵ ∴； 故答案为：21； （4）解： ． 当，时， 原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $