专题05 指对幂函数与零点问题（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题05 指对幂函数与零点问题 5大高频考点概览 考点01 指数函数 考点02 对数函数 考点03 幂函数 考点04 函数零点 考点05 函数与方程 地 城 考点01 指数函数 1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏·期末）下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若对任意和任意，都有成立，则实数的取值范围 . 7．（23-24高三上·江苏连云港·期末）已知函数，若，则实数的解集为 . 地 城 考点02 对数函数 8．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知实数，满足等式，下列三个关系式中可能成立的个数为（   ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24高三上·江苏·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·江苏南通·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 13．（2023·江苏常州·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，若，， 则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（    ） A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 17．（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 18．（23-24高三上·江苏·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 ． 19．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知函数若，则实数的值为 ． 20．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，则 ． 地 城 考点03 幂函数 21．（21-22高三上·江苏扬州·期中）已知a，b∈R，且a>b，则下列选项中正确的是角的（    ） A． B． C． D． 22．（2023·江苏镇江·期末）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）已知，则是“”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 函数零点 24．（2024·江苏扬州·期末）已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高三上·江苏·期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·江苏·期末）若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知，若，且是的必要条件，则可能为（    ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．在上没有零点 28．（2023·江苏扬州·期末）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 . 29．（23-24高三上·江苏盐城·期末）设函数，其中为自然对数的底数， (1)若为上的单调增函数，求实数的取值范围； (2)讨论的零点的个数. 30．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 地 城 考点05 函数与方程 31．（23-24高三上·江苏泰州·期末）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 32．（2023·江苏连云港·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三上·江苏常州·期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指对幂函数与零点问题 5大高频考点概览 考点01 指数函数 考点02 对数函数 考点03 幂函数 考点04 函数零点 考点05 函数与方程 地 城 考点01 指数函数 1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及在2处的函数值正负判断即得. 【详解】函数的定义域为R， ，函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BD； 而，排除选项A，选项C符合题意. 故选：C 2．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解. 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 3．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数函数的单调性求集合，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可知：， ， 所以. 故选：C. 4．（23-24高三上·江苏·期末）下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义进行判断即可. 【详解】对于A，令，，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，令，，，所以是奇函数，故B错误； 对于C，令，，，所以是奇函数，故C错误； 对于D，令，，，所以是奇函数，故D错误. 故选：A. 5．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断时的函数值符号，即可得答案. 【详解】由已知得， 若为偶函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然C对，D错； 若为奇函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然B对，A错； 故选：BC 6．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若对任意和任意，都有成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性，根据不等式恒成立求解实数的取值范围. 【详解】由可得， 令， 因为与均在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 又因为对任意都有， 当时，恒成立，满足题意； 当，幂函数在上递增， 所以，即； 当时，幂函数在上递减， 所以以，即. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 7．（23-24高三上·江苏连云港·期末）已知函数，若，则实数的解集为 . 【答案】 【分析】通过计算可得，从而构造，并可知为奇函数，再根据的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意可知， 所以 ， 所以， 令，则，即为奇函数， 不等式等价于，即， 令，则， 所以是奇函数， 又因为在单调递增， 所以根据指数函数的性质可知在上单调递增， 又由对数函数的性质可知在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 故答案为： 地 城 考点02 对数函数 8．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系. 【详解】由， 而，则，所以，即， 由，则，即， 综上，. 故选：D 9．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知实数，满足等式，下列三个关系式中可能成立的个数为（   ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合对数的运算，以及对数函数的性质，一一判断①、②、③，即可得答案. 【详解】当时，，③可能成立． ，时，，，， ，，，即， 此时，①可能成立． 当，时,，，，， ，即，即，②不可能成立， 即①③可能成立， 故选：C． 10．（23-24高三上·江苏·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为，，，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性比较的大小，再结合对数函数的单调性比较的大小可得结论. 【详解】因为，， 构造函数， 因为， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以， 故，即， 因为，， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过将化为结构相似的形式，通过构造函数，再利用函数的单调性比较函数值的大小. 11．（23-24高三上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，解得，即，而， 所以. 故选：B 12．（23-24高三上·江苏南通·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为，由求解. 【详解】解：设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为， 由题意得：，即， 所以， 故选：D 13．（2023·江苏常州·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递增，分、、讨论，根据在上单调性可得答案. 【详解】在单调递减上单调递减， 根据复合函数的单调性可得在区间上单调递增， 当时，在单调递增，需满足， 当满足题意， 当时，在单调递增，则在区间上单调递增 又需满足真数，则最小值，即， 综上． 故选：C． 14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据交集和补集的定义，直接求解即可. 【详解】由题意知，则 则 故选：A 15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，若，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的奇偶性和单调性，通过奇偶性把，，转化在同一单调区间，利用单调性比较即可. 【详解】由题意， 故为偶函数， 当时，，故， 所以，， 所以， 故当时，单调递增， ， 因，所以，即， 设函数， ，故在区间上单调递增， 所以， 所以，即， 所以， 所以，即， 故选：B 16．（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（    ） A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项. 【详解】由函数解析式可得图象如下：    ∴由图知：，，而当时，有，即或2， ∴，而知：， ∴，. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系. 17．（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值 【详解】可令，满足要求. 故答案为：.（答案不唯一） 18．（23-24高三上·江苏·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 ． 【答案】1 【分析】由已知可得，，从而得，可解. 【详解】由函数为奇函数，为偶函数， 则，为偶函数， 所以得图象关于对称，且关于对称， 即，， 则， 所以，即函数的周期为4， 则. 故答案为：1. 19．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知函数若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用分段函数求解即可. 【详解】，，． 故答案为： 20．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据定义域代入计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 地 城 考点03 幂函数 21．（21-22高三上·江苏扬州·期中）已知a，b∈R，且a>b，则下列选项中正确的是角的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值可排除ABC，利用指数函数的单调性判断D. 【详解】A中，取，则显然错误； B中，取，则显然错误； C中，取，则显然错误； D中，由是增函数，可知a>b时，正确. 故选：D 22．（2023·江苏镇江·期末）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以, 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 23．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）已知，则是“”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】CD直接由作差法即可判断，对于A举出反例即可判断；对于B由对数函数单调性即可判断. 【详解】对于A，取，此时有，故A不符合题意； 对于B，由对数函数单调性可知，故B符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：BD. 地 城 考点04 函数零点 24．（2024·江苏扬州·期末）已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出，再逐项计算判断即得. 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键. 25．（24-25高三上·江苏·期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 26．（24-25高三上·江苏·期末）若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数有零点求出，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】函数有零点，则，解得， 而，因此，， 所以的取值集合为. 故选：D 27．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知，若，且是的必要条件，则可能为（    ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．在上没有零点 【答案】AC 【分析】将各项作为条件，应用正弦型函数的性质求参数，再由必要性定义判断是否满足题设即可. 【详解】A：为的最小正周期为，则，此时是的必要条件，符合； B：为是图象的一条对称轴，则， 所以且，则，此时不是的必要条件，不符合； C：为在上单调递增，则有递增， 所以，即，此时是的必要条件，符合； D：为在上没有零点，则有没有零点， 所以且，则或，此时不是的必要条件，不符合； 故选：AC 28．（2023·江苏扬州·期末）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 . 【答案】 1 【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案. 【详解】第一空：当时，当时，，解得； 当时，，无零点， 故此时的零点个数是1； 第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以； ① 若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得， 此时； ② 若恰有3个零点，则，此时， 所以恰有1个零点，符合要求； ③当时，，所以恰有1个零点， 而至少有4个零点， 此时至少有5个零点，不符合要求，舍去. 综上，或. 故答案为：1；. 【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题. 29．（23-24高三上·江苏盐城·期末）设函数，其中为自然对数的底数， (1)若为上的单调增函数，求实数的取值范围； (2)讨论的零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题需使在上恒成立，接着对的取值分类讨论，确保条件满足即得的取值范围； （2）借助于一阶、二阶导数，就的取值范围分类进行分析、讨论函数的零点情况. 【详解】（1）因为上的单调增函数，故对恒成立， ①当时，显然符合； ②当时，当时，，不合题意，舍去； ③当时，令则当 时， ，当 时， ， 故在上递减，在上递增，则， 依题意，需使，即，故得：. 综上：实数的取值范围为. （2） ①当时，有且仅有一个零点； ②当时，若，则无零点，当时，递增，注意到 由零点存在定理，在上有唯一的零点； ③当时，令当时，，当时，， 故在上递增，在上递减， 时，时，递减，注意到， 则在上有唯一的零点，且当时，递增；当时，，递减， 注意到， 在和上各有一个零点 综上：当时，有两个零点；当时，有唯一的零点. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了不等式恒成立问题和函数零点问题.对于这两类问题，一般考虑两种方法： （1）讨论分析法：即对函数进行求导，按参数分类讨论相关函数的单调性、极值等性质得出结论； （2）参变分离法：通过等价转化进行参变分离，将恒成立问题转化为求相关函数的值域问题，或将函数零点问题转化为两函数的图像的交点问题. 30．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【答案】(1)的单调减区间为；单调增区间为， (2)1个 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【详解】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 地 城 考点05 函数与方程 31．（23-24高三上·江苏泰州·期末）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数范围即可. 【详解】由题知， 的实数解可转化为或的实数解，即， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示： 所以时有最大值： 所以时，由图可知， 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示： 因为时，已有两个交点， 所以只需保证与及与有四个交点即可， 所以只需，解得． 故选：D 32．（2023·江苏连云港·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可. 【详解】解：，，使，则， 可得，， 若k为奇数，则，所以， ，则， 解得，或， 当时，，，，， 当时，，，，， 若k为偶数，则，所以， ，则， 解得，或， 当时，，，， 当时，，，，， 因此，所有解之和为：， 故选：C. 【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 33．（23-24高三上·江苏常州·期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用三角函数的伸缩平移变换得到函数的解析式，再利用方程与函数的关系将方程的解的情况转化为两个函数的图象交点问题来解决. 【详解】依题意，，则关于x的方程可化为：， 则关于x的方程在内有两个不同的解可转化为：函数的图象与函数的图象在上有两个交点. 由可得：，取,作出函数在上的图象. 由图，要使函数的图象与其有两个交点，须使，即实数m的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角函数的平移伸缩变换和函数的零点与方程的解的转化. 对于方程在给定区间上的解的情况问题的解决，常用方法有两种： （1）变量分离法：将方程的解转化成两个函数图象的交点情况，通过讨论函数的图像趋势解决； （2）讨论分析法：直接讨论含参函数的零点分布情况即得. 试卷第1页，共3页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $