专题04 函数及其性质（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题04 函数及其性质 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数图像 考点03 函数单调性 考点04 函数奇偶性与对称性 考点05 函数周期性 考点06 函数新定义 地 城 考点01 函数的概念 1．（2024·江苏南通·期末）（多选）设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知函数若，则实数的值为 ． 地 城 考点02 函数图像 4．（24-25高三上·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏镇江·期末）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏连云港·期末）（多选）已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（    ） A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 8．（23-24高三上·江苏常州·期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ． 地 城 考点03 函数单调性 9．（23-24高三上·江苏·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知实数，，，那么，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·江苏南通·期末）已知，若，， 则（    ） A． B． C． D． 16．（2023·江苏镇江·期末）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·江苏·期末）（多选）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若对任意和任意，都有成立，则实数的取值范围 . 19．（23-24高三上·江苏·期末）已知函数，若，则实数的解集为 . 20．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在区间上的函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 地 城 考点04 函数奇偶性与对称性 21．（23-24高三上·江苏·期末）下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高三上·江苏南京·期末）已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称 C．函数关于点中心对称 D． 23．（2023·江苏无锡·期末）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三上·江苏南通·期末）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高三上·江苏连云港·期末）（多选）是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为偶函数，则为奇函数 C．若是周期为的函数，则也是周期为的函数 D．已知且，则 26．（24-25高三上·江苏·期末）设函数（，，）. (1)当时，求的最小值； (2)讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； (3)当时，都有，求实数a的取值集合. 地 城 考点05 函数周期性 27．（23-24高三上·江苏·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 ． 28．（2023·江苏泰州·期末）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 地 城 考点06 函数新定义 29．（23-24高三上·江苏扬州·期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 30．（2023·江苏连云港·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数及其性质 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数图像 考点03 函数单调性 考点04 函数奇偶性与对称性 考点05 函数周期性 考点06 函数新定义 地 城 考点01 函数的概念 1．（2024·江苏南通·期末）（多选）设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 【答案】ABC 【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】 对A：对原式令，则，即，故A正确； 对B： 对原式令，则，故， 对原式令，则，故非负； 对原式令，则，解得， 又非负，故可得，故B正确； 对C：由B分析可得：，故C正确； 对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题. 2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知函数若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用分段函数求解即可. 【详解】，，． 故答案为： 3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据定义域代入计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 地 城 考点02 函数图像 4．（24-25高三上·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及在2处的函数值正负判断即得. 【详解】函数的定义域为R， ，函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BD； 而，排除选项A，选项C符合题意. 故选：C 5．（2023·江苏镇江·期末）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求定义城、判断函数的奇偶性，利用定义域、奇偶性排除部分选项，再利用特殊点处的函数值或特殊区间内函数的值域排除其他不合适的选项． 【详解】易知的定义域为， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C； 当时，，排除D． 故选A． 6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断时的函数值符号，即可得答案. 【详解】由已知得， 若为偶函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然C对，D错； 若为奇函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然B对，A错； 故选：BC 7．（23-24高三上·江苏连云港·期末）（多选）已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（    ） A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项. 【详解】由函数解析式可得图象如下：    ∴由图知：，，而当时，有，即或2， ∴，而知：， ∴，. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系. 8．（23-24高三上·江苏常州·期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用三角函数的伸缩平移变换得到函数的解析式，再利用方程与函数的关系将方程的解的情况转化为两个函数的图象交点问题来解决. 【详解】依题意，，则关于x的方程可化为：， 则关于x的方程在内有两个不同的解可转化为：函数的图象与函数的图象在上有两个交点. 由可得：，取,作出函数在上的图象. 由图，要使函数的图象与其有两个交点，须使，即实数m的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角函数的平移伸缩变换和函数的零点与方程的解的转化. 对于方程在给定区间上的解的情况问题的解决，常用方法有两种： （1）变量分离法：将方程的解转化成两个函数图象的交点情况，通过讨论函数的图像趋势解决； （2）讨论分析法：直接讨论含参函数的零点分布情况即得. 地 城 考点03 函数单调性 9．（23-24高三上·江苏·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为，，，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性比较的大小，再结合对数函数的单调性比较的大小可得结论. 【详解】因为，， 构造函数， 因为， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以， 故，即， 因为，， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过将化为结构相似的形式，通过构造函数，再利用函数的单调性比较函数值的大小. 10．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解. 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 11．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由，可得， 令，结合，则， 所以在R上递减，故， 则原不等式解集为. 故选：A 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 13．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设利用导数得到函数单调性，从而求解； 方法二：设特例法得解. 【详解】方法一：∵， ∴, 设则在上单调递减， 所以， ， 即，故C正确． 方法二：设又，C正确． 故选：C 14．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知实数，，，那么，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造函数，当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为，，，， 所以，即. 故选：C 【点睛】关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键. 15．（2023·江苏南通·期末）已知，若，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的奇偶性和单调性，通过奇偶性把，，转化在同一单调区间，利用单调性比较即可. 【详解】由题意， 故为偶函数， 当时，，故， 所以，， 所以， 故当时，单调递增， ， 因，所以，即， 设函数， ，故在区间上单调递增， 所以， 所以，即， 所以， 所以，即， 故选：B 16．（2023·江苏镇江·期末）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以, 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 17．（2023·江苏·期末）（多选）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，利用三角函数的性质判断出，，即可判断；对于B，判断出，即可判断；对于C，令，，利用导数判断单调性即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断出，即可判断， 【详解】对于A，∵， ， ∴，故A错误； 对于B，记，，则， 记，，则， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增， 而，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，，所以， 所以，，，故，故B正确； 对于C，记，则， 令，得；令，得； 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以对任意，都有，即恒成立， 令，，所以， 对于函数，，因为恒成立， 所以在上单调递增，所以，即在上恒成立， 因为，即，所以， 因为， 所以，故C正确， 对于D，令，若，令， ，由解得：，解得：， 所以在上单调递减；上单调递增，所以， 记，因为， 所以在上单调递增，因为， 所以，即， 所以，则，故D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：比较大小类题目解题方法： （1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 18．（23-24高三上·江苏镇江·期末）若对任意和任意，都有成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性，根据不等式恒成立求解实数的取值范围. 【详解】由可得， 令， 因为与均在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 又因为对任意都有， 当时，恒成立，满足题意； 当，幂函数在上递增， 所以，即； 当时，幂函数在上递减， 所以以，即. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 19．（23-24高三上·江苏·期末）已知函数，若，则实数的解集为 . 【答案】 【分析】通过计算可得，从而构造，并可知为奇函数，再根据的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意可知， 所以 ， 所以， 令，则，即为奇函数， 不等式等价于，即， 令，则， 所以是奇函数， 又因为在单调递增， 所以根据指数函数的性质可知在上单调递增， 又由对数函数的性质可知在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 故答案为： 20．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在区间上的函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)函数在区间上为增函数,证明见解析. 【分析】（1）依题意函数图象必过原点，由此求出值即得解析式； （2）运用定义法的步骤证明函数单调性即可. 【详解】（1）由题意知：，即得：，故函数的解析式为：. （2）函数在区间上为增函数.理由如下： 任取且，由， 因，故，，，即， 则在区间上为增函数. 地 城 考点04 函数奇偶性与对称性 21．（23-24高三上·江苏·期末）下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义进行判断即可. 【详解】对于A，令，，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，令，，，所以是奇函数，故B错误； 对于C，令，，，所以是奇函数，故C错误； 对于D，令，，，所以是奇函数，故D错误. 故选：A. 22．（22-23高三上·江苏南京·期末）已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称 C．函数关于点中心对称 D． 【答案】C 【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确； 由由及推导出，故周期为4，A错误； 根据函数的周期性求出，D错误. 【详解】∵为偶函数， ∴， ∴， 故 即， ∴函数的图象关于直线对称. ∵为奇函数， ∴， ∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确； 由及知，， ∴， ∴，即， ∴，故 ∴函数的周期为4，A错误， ，故D错误. 故选：C. 23．（2023·江苏无锡·期末）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案. 【详解】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 当时，函数单调递增，故A不符合题意； 对于B，函数的定义域为R，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 由幂函数的性质知函数在R上单调递增， 所以函数在R上单调递减，故B不符合题意； 对于C，函数的定义域为R，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 当时，又， 所以函数在上单调递减，故C符合题意； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数，又， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意. 故选：C. 24．（23-24高三上·江苏南通·期末）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得是周期为4的函数，然后结合条件即可求解. 【详解】由为奇函数，即函数的图象关于对称， 又，则的图象关于对称， 所以， 则， 为周期函数且周期为，B对． 所以，A对． 而，C错． 由上可知，， 所以， 则，D对． 故选：ABD． 25．（23-24高三上·江苏连云港·期末）（多选）是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为偶函数，则为奇函数 C．若是周期为的函数，则也是周期为的函数 D．已知且，则 【答案】AD 【分析】对于A，等式两边对进行求导即可得出， 对于B，列举反例，， 对于C，列举反例， 对于D，等式两边对进行求导，分别令和即可求出. 【详解】对于A，等式两边对进行求导，则，所以，选项A正确， 对于B，列举反例，若，所以，此时为偶函数，但，并不是奇函数，所以选项B错误， 对于C，若，则，此时是以为周期的函数，但并不是周期函数，所以选项C错误， 对于D，因为，等式两边对进行求导，即， 令则，所以， 又因为，等式两边对进行求导，则， 令则，所以，所以，所以选项D正确. 故选：AD 26．（24-25高三上·江苏·期末）设函数（，，）. (1)当时，求的最小值； (2)讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； (3)当时，都有，求实数a的取值集合. 【答案】(1)4 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件. （2）利用中心对称列方程，根据指数运算化简得，，按照和分类讨论求解即可. （3）由题意转化为恒成立，令，按照和分类讨论，利用导数法研究其单调性，求解最值即可得解. 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最小值4. （2）设点为函数的对称中心，则， 所以，即， 所以， 于是，且，且， 即，， 所以当时，m无解，此时函数的图象没有对称中心； 当时，，此时函数图象的对称中心为. （3）当时，，所以在上恒成立，即． 令，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， ①当时，，则在上单调递减， 此时当时，，舍去； ②当时，由，解得， 1°当时，， 所以时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以时，取极大值，则，所以满足； 2°当时，， 因为时，，则单调递减， 所以时，，舍去； 3°当时，， 因为时，，则单调递增， 所以时，，舍去； 综上，实数a的取值集合为. 地 城 考点05 函数周期性 27．（23-24高三上·江苏·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则 ． 【答案】1 【分析】由已知可得，，从而得，可解. 【详解】由函数为奇函数，为偶函数， 则，为偶函数， 所以得图象关于对称，且关于对称， 即，， 则， 所以，即函数的周期为4， 则. 故答案为：1. 28．（2023·江苏泰州·期末）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，且是偶函数， 所以， 所以，即， 故是4为周期的周期函数，且有， 则. 故答案为： 地 城 考点06 函数新定义 29．（23-24高三上·江苏扬州·期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给定义得到方程组，再根据图像判断或构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解. 【详解】对于A:，函数在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，，则， 所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点， 所以函数不存在“2倍值区间”，故A错误； 对于B:为增函数，若函数存在“2倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，即有两个根，所以存在2倍值区间，故B正确； 对于C:在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，则， 所以，解得. 所以函数不存在“2倍值区间”，故C错误； 对于D：为增函数， 若存在“2倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“2倍值区间”，D错误； 故选：B 30．（2023·江苏连云港·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可. 【详解】解：，，使，则， 可得，， 若k为奇数，则，所以， ，则， 解得，或， 当时，，，，， 当时，，，，， 若k为偶数，则，所以， ，则， 解得，或， 当时，，，， 当时，，，，， 因此，所有解之和为：， 故选：C. 【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 试卷第1页，共3页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $