专题03 平面向量（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题03 平面向量 6大高频考点概览 考点01 平面向量线性运算及模长 考点02 平面向量基本定理 考点03 平面向量坐标运算 考点04 平面向量数量积 考点05 投影向量 考点06 向量新定义 地 城 考点01 平面向量线性运算及模长 1．（2023·江苏·期末）（多选）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏镇江·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 4．（23-24高三下·江苏泰州·期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 地 城 考点02 平面向量基本定理 5．（2023·江苏南京·期末）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 6．（2023·江苏南通·期末）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·江苏苏州·期末）（多选）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 地 城 考点03 平面向量坐标运算 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知向量，．若，则实数的值是（    ） A．-2 B．2 C． D． 9．（23-24高三上·江苏南通·期末）若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知，，若，则=（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 11．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知，若，则（    ） A．4 B． C． D．-4 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 地 城 考点04 平面向量数量积 14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知平面向量，满足，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C． D． 17．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（    ） A． B． C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得 18．（23-24高三上·江苏·期末）平面向量，，满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知单位向量的夹角为，向量，若，则 .（写出一个可能值） 20．（23-24高三上·江苏·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 21．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，． (1)若点，关于原点对称，且，求的取值范围； (2)若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围． 地 城 考点05 投影向量 22．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 23．（2023·江苏连云港·期末）（多选）已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 24．（2023·江苏镇江·期末）已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（    ） A．3 B． C． D． 25．（23-24高三·江苏扬州·期末）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点06 向量新定义 26．（23-24高三上·江苏南通·期末）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①，；②，，；③，，，． (2)已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由． (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论： ①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量 6大高频考点概览 考点01 平面向量线性运算及模长 考点02 平面向量基本定理 考点03 平面向量坐标运算 考点04 平面向量数量积 考点05 投影向量 考点06 向量新定义 地 城 考点01 平面向量线性运算及模长 1．（2023·江苏·期末）（多选）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断. 【详解】设，， ，， ，， 对于A，，故选项A正确； 对于B， ，，故选项B正确； 对于C，， 当时，，故选项C错误； 对于D， ， 可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误. 故选:AB. 2．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中向量的特征，可设，，，然后根据向量模的运算得到，，转化为点与点、的距离和的最小值问题，再结合图象即可得到. 【详解】因，为两个相互垂直的单位向量，不妨设，， 因，可设，其中， 则，，， ， ， ， 设，， 则， 其中表示点与点的距离，表示点与点的距离， 如图    设点与点所在的直线为，则其方程为：，即， 联立，得或， 即当或，时，取的最小值， 所以的最小值为， 故选：B 3．（24-25高三上·江苏镇江·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解. （2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 4．（23-24高三下·江苏泰州·期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】D 【分析】根据向量夹角定义可得A错误；利用向量加、减法运算法则及模长关系可得B错误，C错误；再利用投影向量定义计算可得D正确. 【详解】由八卦图可知与的夹角为，其大小为， 即与的夹角为，所以A错误； 由向量的平行四边形法则可知，即B错误； 易知，又，所以， 而，所以，即C错误； 易知在上的投影向量为，即D正确. 故选：D 地 城 考点02 平面向量基本定理 5．（2023·江苏南京·期末）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，则得到的值，进而即可求解． 【详解】因为，边的中点为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以，，故. 故选：D． 6．（2023·江苏南通·期末）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先分别表示出，，再由向量的数量积运算得到，从而得到为的重心，即可得到结果. 【详解】设，则，， ， ，或（舍去）， 为的重心，，为的中点， ， 故选：B． 7．（23-24高三下·江苏苏州·期末）（多选）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】BCD 【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，根据平面向量数量积的公式，模长公式及夹角公式可得结果. 【详解】选项A： ，故A错误，C正确； 选项B： ，故B正确； 选项D：因为 ， ， 所以， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD. 地 城 考点03 平面向量坐标运算 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知向量，．若，则实数的值是（    ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据得，进行数量积的坐标运算即可. 【详解】根据已知有： 故选：B. 9．（23-24高三上·江苏南通·期末）若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，则“”是“”的充要条件. 故选：C． 10．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知，，若，则=（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据向量平行，求出的值，再结合向量的坐标运算求模. 【详解】因为，所以：. 所以： 所以：. 故选：C 11．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知，若，则（    ） A．4 B． C． D．-4 【答案】D 【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律，利用模的坐标表示以及数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意得， 即， ， 故选：D. 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案. 【详解】令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即， 所以. 故选：B． 13．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）A=；tanC=；（2）. 【详解】（1）因为，所以，由余弦定理可得：，而，所以, 所以. （2）由正弦定理得， 所以，则 , 因为ABC是锐角三角形，所以，则， 所以，所以三角形周长. 地 城 考点04 平面向量数量积 14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰△ABC在边上的高为， 因为，所以， 所以,所以， 所以 . 故选:B. 15．（24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 16．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知平面向量，满足，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可得解。 【详解】由可得， 即， 而，当且且，反向时等号成立， 所以，即，等号成立条件为. 故选：A 17．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（    ） A． B． C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得 【答案】BCD 【分析】根据三角函数的性质，结合向量的数量积运算即可得，，，进而可判断AB,根据在图象上可得，根据圆的性质即可求解D. 【详解】， 而，故，，，A错误、B正确； ，（），而，故，C正确； 显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确， 故选:BCD. 18．（23-24高三上·江苏·期末）平面向量，，满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，计算得到，求出，利用求出答案. 【详解】设， 则， 而， 因为，所以. 故选：B. 19．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知单位向量的夹角为，向量，若，则 .（写出一个可能值） 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】由向量模的公式以及数量积公式进行运算，结合余弦函数的值域即可求解. 【详解】由题意， 所以，所以只能取或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 20．（23-24高三上·江苏·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】据题意，，，，根据向量的数量积运算即可求. 【详解】 因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高， 所以，且在中，， 所以 . 故选：D. 21．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，． (1)若点，关于原点对称，且，求的取值范围； (2)若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，，可得，，可解； （2）设，，，分别写出直线方程，由分别过和，可得和，从而化简得，则椭圆方程：．当斜率为0时，，当斜率不为0时，设直线的方程为：，，，可求范围. 【详解】（1）设，，，， ，，， ， ，， ，，即的取值范围为． （2）设，，， 方程： 它过，① 方程为： 它过，② ①②, ，， 而，，． 椭圆方程：． ①当斜率不为0时，设直线的方程为：，，， ． ②当斜率为0时，，，， 的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点05 投影向量 22．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合向量的数量积的坐标运算，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知平面向量， 故在上的投影向量为， 故选：B 23．（2023·江苏连云港·期末）（多选）已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D. 【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|, Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，， 为等轴双曲线，故B正确； 对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，， ，，，，故C错误； 对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，， ，在双曲线上，，，， 的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 24．（2023·江苏镇江·期末）已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到，再根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】，则，故， 在方向上的投影向量. 故选：D. 25．（23-24高三·江苏扬州·期末）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 地 城 考点06 向量新定义 26．（23-24高三上·江苏南通·期末）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①，；②，，；③，，，． (2)已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由． (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论： ①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则． 【答案】(1)①线性相关，②线性相关，③线性相关 (2)向量，，线性无关，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可； （3）①如果某个，，然后证明都等于0即可； ②由可得，然后代入证明即可. 【详解】（1）对于①，设，则可得，所以线性相关； 对于②，设，则可得，所以， 所以线性相关； 对于③，设，则可得， 可取符合该方程，所以线性相关； （2）设，则 因为向量，，线性无关，所以，解得 所以向量，，线性无关 （3）证明：①，如果某个， 则 因为任意个都线性无关，所以都等于0 所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零 ②因为，所以全不为零 所以由可得 代入可得 所以 所以，， 所以 试卷第1页，共3页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $