专题02 复数与不等式（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题02 复数与不等式 9大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02 复数的模 考点03 复数的几何意义 考点04 复数的运算 考点05 不等式的性质 考点06 基本不等式 考点07 一元二次不等式 考点08 不等式恒成立问题 考点09 导数证明不等关系 地 城 考点01 复数的概念 1．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到复数的虚部为， 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知复数，则“”是“复数的实部大于0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出的实部大于0的充要条件，再结合集合关系进行判断即可. 【详解】因为， 若其实部大于0，则，即，易知， 则是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件， 则“”是“复数的实部大于0”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（23-24高三上·江苏镇江·期末）已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系求出即可得解. 【详解】因为是关于x的方程（a，）的一个解， 所以是一元二次方程的另一个解， 由根与系数的关系可知， 即， 所以，虚部为， 故选：B 4．（23-24·江苏淮安·期末）若复数满足（是虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部. 【详解】因为, 所以, 所以复数的虚部为. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 5．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为纯虚数 【答案】BD 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 故选：BD. 地 城 考点02 复数的模 6．（23-24高三上·江苏苏州·期末）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据复数除法的几何意义求复数的模. 【详解】. 故选：A 7．（23-24·江苏连云港·期末）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】求得，进而可得. 【详解】， ， . 故选：A． 8．（24-25高三上·江苏镇江·期末）复数z满足（i为虚数单位），则的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】方法一：先根据复数的除法求出复数，进而求出，再根据复数模的概念求. 方法二：根据复数模的性质直接求. 【详解】方法一：由题意：， 所以，所以. 故选：D 方法二：根据复数模的性质，得：. 故选：D 9．（23-24·江苏连云港·期末）若（，为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则求得参数，再求目标复数的模长即可. 【详解】因为，故，故， 则. 故选：B. 地 城 考点03 复数的几何意义 10．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数除法、模的求法化简求复数，进而判断对应点所在象限. 【详解】由，对应点为在第一象限. 故选：A 11．（23-24高三上·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得，，， 则对应复数1. 故选：A． 12．（2023·江苏泰州·期末）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断 【详解】由题意可得：对应的点为， ∵，则， 故位于第二象限. 故选：B. 13．（2023·江苏·期末）（多选）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断. 【详解】设，， ，， ，， 对于A，，故选项A正确； 对于B， ，，故选项B正确； 对于C，， 当时，，故选项C错误； 对于D， ， 可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误. 故选:AB. 地 城 考点04 复数的运算 14．（23-24高三上·江苏·期末）（    ） A．5 B． C．1 D．7 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】， 故选:D. 15．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A．25 B．16 C．9 D．5 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再利用复数乘法运算计算即得. 【详解】由，得，所以. 故选：A 16．（2023·江苏常州·期末）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘除运算可得解. 【详解】. 故选：A. 17．（2023高三上·江苏南通·期末）（多选）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项． 【详解】，∴，不妨设，， ，A正确； ，C正确； ，∴，时，，B错； 时，，，计算得， ，，同理，D正确． 故选：ACD． 地 城 考点05 不等式的性质 18．（23-24高三上·江苏常州·期末）对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】B 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，一一判断各选项中两条件之间的推理关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错． 对于B，，“”是“”的必要条件，B对， 对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件 对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立， 故“”不是“”的充分条件，D错误， 故选：B． 19．（21-22高三上·江苏扬州·期中）已知a，b∈R，且a>b，则下列选项中正确的是角的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值可排除ABC，利用指数函数的单调性判断D. 【详解】A中，取，则显然错误； B中，取，则显然错误； C中，取，则显然错误； D中，由是增函数，可知a>b时，正确. 故选：D 20．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】当时，则，但是，不是充分条件， 当时，因为，，所以，即， 当且仅当等号成立，所以是必要条件， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含. 21．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）已知，则是“”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】CD直接由作差法即可判断，对于A举出反例即可判断；对于B由对数函数单调性即可判断. 【详解】对于A，取，此时有，故A不符合题意； 对于B，由对数函数单调性可知，故B符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：BD. 地 城 考点06 基本不等式 22．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系. 【详解】由， 而，则，所以，即， 由，则，即， 综上，. 故选：D 23．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知平面向量，满足，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可得解。 【详解】由可得， 即， 而，当且且，反向时等号成立， 所以，即，等号成立条件为. 故选：A 24．（2023-2024学年江苏南京金陵中学高三上学期期末）（多选）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为18 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，a，b为正实数，且， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，即，故的最大值为，所以A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值18，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时，等号成立， 可得，解得，即的最小值为4，所以C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以D错误. 故选：ABC. 25．（23-24高三上·江苏盐城·期末）（多选）已知圆，过点作两条互相垂直的弦，则（    ） A．弦长的最小值为1 B．四边形的面积的最大值为5 C．弦长的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】当时弦长的最小，计算结果判断A选项；到的距离为到的距离，则，四边形的面积，利用基本不等式求最大值判断B选项；利用配方法和基本不等式求最大值判断C选项；，利用基本不等式求最大值判断D选项. 【详解】，当时，弦长的最小，最小值为，A选项错误； 到的距离为到的距离，则， ，当且仅当时等号成立， 四边形的面积的最大值为5，B选项正确； ， ， 当且仅当时等号成立，则的最大值为，D选项正确； ， ， 当且仅当时等号成立， 则， ，C选项正确. 故选：BCD. 26．（2024·江苏南京·期末）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理以及不等式可得，进而可求解面积的最大值，进而根据，即可求解高的最大值，进而可求解体积，根据正弦定理求解外接圆半径，即可根据球的性质求解球半径的最小值，即可由表面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得, 故，所以， 当且仅当时取等号，故， 故面积的最大值为， ， 由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径， 故， 由正弦定理可得：，为外接圆的半径， 设四面体外接球半径为,则,其中分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小， 故外接球的表面积为, 故答案为：,    27．（2023高三·江苏南通·期末）函数的最小值 ． 【答案】/ 【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得. 【详解】由， 故 ， 由，故、， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 28．（2023·江苏常州·期末）已知正实数m，n满足，则的最小值为 ． 【答案】17 【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 故答案为：17 29．（23-24·江苏镇江·期末）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由题得，再利用基本不等式求出的最小值即得解. 【详解】解：由题得， 所以. (当且仅当时取等) 因为，所以的最小值为4. 故答案为：4 30．（23-24高三上·江苏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可； （2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 由得， 所以，即. 因为，所以.又， 所以.因为，所以. （2） 由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 31．（2023·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设，由题意， 因为，所以， 即，两边平方并整理得． 故点的轨迹的方程为； （2）设直线方程为， 联立，消并整理得，，显然， 设，，则，， 又，可得线段中点坐标为， 所以线段中垂线的方程为， 令，可得， 对于直线，令，可得， 所以 又， 所以， 令，则， 因为在上单调递增， 所以，故． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点07 一元二次不等式 32．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知集合，且，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的结果得出，因此确定各选项中的集合后，根据集合包含关系选择. 【详解】因为，所以， A中集合显然不合题意； B中集合为或，也不合题意， C中集合为，满足题意， D中集合为，不合题意. 故选：C. 33．（23-24高三上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，解得，即，而， 所以. 故选：B 34．（24-25高三上·江苏·期末）设a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，根据集合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】由解得或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 35．（23-24高三下·江苏南通·期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合. (1)求集合A； (2)若___________，求实数m的取值范围． 在①；②“ ​”是“​”的充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式对一切实数x恒成立，分和两种情况讨论，当时可得，求解即可； （2）选①②③都有，从而列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为对一切实数x恒成立， 所以当时，恒成立，满足题意； 当时，则需，解得， 综上，， 故集合. （2）选①，，则，即不等式在区间上恒成立， 令，则，解得， 所以实数m的取值范围为； 选②，“ ”是“​”的充分条件，则，同理得实数m的取值范围为； 选③，“”是“”的必要条件，则，同理得实数m的取值范围为. 地 城 考点08 不等式恒成立问题 36．（24-25高三上·江苏·期末）设函数（，，）. (1)当时，求的最小值； (2)讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； (3)当时，都有，求实数a的取值集合. 【答案】(1)4 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件. （2）利用中心对称列方程，根据指数运算化简得，，按照和分类讨论求解即可. （3）由题意转化为恒成立，令，按照和分类讨论，利用导数法研究其单调性，求解最值即可得解. 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最小值4. （2）设点为函数的对称中心，则， 所以，即， 所以， 于是，且，且， 即，， 所以当时，m无解，此时函数的图象没有对称中心； 当时，，此时函数图象的对称中心为. （3）当时，，所以在上恒成立，即． 令，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， ①当时，，则在上单调递减， 此时当时，，舍去； ②当时，由，解得， 1°当时，， 所以时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以时，取极大值，则，所以满足； 2°当时，， 因为时，，则单调递减， 所以时，，舍去； 3°当时，， 因为时，，则单调递增， 所以时，，舍去； 综上，实数a的取值集合为. 地 城 考点09 导数证明不等关系 37．（23-24高三上·江苏南京·期末）（多选）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 则由，得. 对于A：设，， 则在区间上，，为增函数， 所以由题意可得，所以，故A正确； 对于B：由，得,故B错误； 对于C：由A可知在区间上为增函数， 且，则，即, 则, 由,得, 令,则, 所以在上单调递增, 所以, 所以,故C错误； 对于D：又, 令, 则, 所以在上单调递增,所以， 所以, 又，且, 令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 综上可得，故D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点睛： 本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得. 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数与不等式 9大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02 复数的模 考点03 复数的几何意义 考点04 复数的运算 考点05 不等式的性质 考点06 基本不等式 考点07 一元二次不等式 考点08 不等式恒成立问题 考点09 导数证明不等关系 地 城 考点01 复数的概念 1．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知复数，则“”是“复数的实部大于0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三上·江苏镇江·期末）已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．5 4．（23-24·江苏淮安·期末）若复数满足（是虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为纯虚数 地 城 考点02 复数的模 6．（23-24高三上·江苏苏州·期末）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．4 7．（23-24·江苏连云港·期末）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 8．（24-25高三上·江苏镇江·期末）复数z满足（i为虚数单位），则的值为（   ） A． B．5 C． D． 9．（23-24·江苏连云港·期末）若（，为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 复数的几何意义 10．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（23-24高三上·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 12．（2023·江苏泰州·期末）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2023·江苏·期末）（多选）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 复数的运算 14．（23-24高三上·江苏·期末）（    ） A．5 B． C．1 D．7 15．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A．25 B．16 C．9 D．5 16．（2023·江苏常州·期末）复数等于（    ） A． B． C． D． 17．（2023高三上·江苏南通·期末）（多选）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 地 城 考点05 不等式的性质 18．（23-24高三上·江苏常州·期末）对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 19．（21-22高三上·江苏扬州·期中）已知a，b∈R，且a>b，则下列选项中正确的是角的（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）已知，则是“”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 地 城 考点06 基本不等式 22．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知平面向量，满足，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C． D． 24．（2023-2024学年江苏南京金陵中学高三上学期期末）（多选）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为18 C．的最小值为4 D．的最小值为 25．（23-24高三上·江苏盐城·期末）（多选）已知圆，过点作两条互相垂直的弦，则（    ） A．弦长的最小值为1 B．四边形的面积的最大值为5 C．弦长的最大值为 D．的最大值为 26．（2024·江苏南京·期末）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 27．（2023高三·江苏南通·期末）函数的最小值 ． 28．（2023·江苏常州·期末）已知正实数m，n满足，则的最小值为 ． 29．（23-24·江苏镇江·期末）已知，，且，则的最小值为 . 30．（23-24高三上·江苏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 31．（2023·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 地 城 考点07 一元二次不等式 32．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知集合，且，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三上·江苏·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高三上·江苏·期末）设a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（23-24高三下·江苏南通·期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合. (1)求集合A； (2)若___________，求实数m的取值范围． 在①；②“ ​”是“​”的充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答． 地 城 考点08 不等式恒成立问题 36．（24-25高三上·江苏·期末）设函数（，，）. (1)当时，求的最小值； (2)讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； (3)当时，都有，求实数a的取值集合. 地 城 考点09 导数证明不等关系 37．（23-24高三上·江苏南京·期末）（多选）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $