专题11 计数原理与概率统计（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题11 计数原理与概率统计 9大高频考点概览 考点01 计数原理 考点02 二项式定理 考点03 二项分布 考点04 正态分布 考点05 离散型随机变量的分布列与期望 考点06 统计 考点07 古典概型概率 考点08 线性回归方程 考点09 独立性检验 地 城 考点01 计数原理 1．（23-24高三上·江苏·期末）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（    ） A．140种 B．44种 C．70种 D．252种 2．（23-24高三上·江苏南通·期末）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（    ）种停放方法． A．72 B．144 C．108 D．96 3．（23-24高三上·江苏·期末）某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（    ） A．108种 B．90种 C．72种 D．36种 4．（23-24高三·江苏镇江·期末）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是 ．（用数字填写答案） 地 城 考点02 二项式定理 5．（23-24高三上·江苏镇江·期末）的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．65 D． 6．（2024·江苏扬州·期末）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏·期末）在的展开式中，系数为整数的项数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 8．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则 ， ． 9．（23-24高三·江苏苏州·期末）的展开式的常数项为 ． 10．（2023·江苏扬州·期末）已知的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为 .（用数字作答） 11．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知，且，则 . 12．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若展开式中的常数项为120，则实数的值为 . 地 城 考点03 二项分布 13．（2023高三·江苏南京·期末）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准． (1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 地 城 考点04 正态分布 14．（2024·江苏镇江·期末）某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 15．（2023·江苏连云港·期末）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量不小于的汽车大约有（    ） A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆 16．（23-24高三上·江苏·期末）随机变量，若，，则（    ） A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85 17．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 18．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（    ） A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B．甲村的平均分低于乙村的平均分 C．甲村的高度满意率与不满意率相等 D．乙村的高度满意率比不满意率大 19．（24-25高三上·江苏扬州·期末）某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ． 20．（23-24高三上·江苏常州·期末）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04． (1)求； (2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？ 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 可供查阅的（部分）标准正态分布表 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 21．（23-24高三上·江苏扬州·期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为. (1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望； (2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值. 请根据上述信息，求： ①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率； ②该公司今年这一款保险产品亏损的概率. 参考数据：若，则. 22．（2023·江苏扬州·期末）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 地 城 考点05 离散型随机变量的分布列与期望 23．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三·江苏镇江·期末）4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． (1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； (2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 25．（23-24高三上·江苏扬州·期末）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. (1)设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 26．（23-24高三上·江苏南通·期末）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验． (1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值； (2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值． 27．（23-24高三上·江苏·期末）某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球放入罐中，如此反复操作． (1)求活动参与者第2次操作时取到白球的概率； (2)记3次操作后罐子中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望． 28．（23-24高三上·江苏南通·期末）某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． (1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率； (2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证明：． 29．（23-24高三上·江苏盐城·期末）某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元. (1)求的概率； (2)求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大. 30．（23-24高三上·江苏·期末）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是. (1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望； (2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率. 地 城 考点06 统计 31．（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（   ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 32．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量X~，若，则 C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则 D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强． 33．（23-24高三上·江苏南通·期末）（多选）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则（    ） A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差 B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值 C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数 D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 34．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）将两组数据合并成一组数据后（可以有重复的数据），下列特征数一定介于合并前两组数据的该种特征数之间（可以取等）的有（    ）. A．平均数 B．极差 C．标准差 D．中位数 35．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 36．（23-24高三上·江苏泰州·期末）（多选）某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A．频率分布直方图中a的值为0.005 B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225 37．（23-24高三上·江苏苏州·期末）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下： ，则估计这批棉花的第45百分位数为 . 38．（23-24高三上·江苏常州·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 地 城 考点07 古典概型概率 39．（2023·江苏南京·模拟预测）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 41．（2023·江苏扬州·期末）一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高三上·江苏苏州·期末）2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高三上·江苏泰州·期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 . 45．（23-24高三上·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 . 46．（24-25高三上·江苏·期末）已知等差数列的公差不为0．若在的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 ．（用最简分数作答） 47．（2023·江苏南京·期末）2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，． (1)①求第5次传球前，球恰好在手中的概率； ②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小． (2)训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大? 地 城 考点08 线性回归方程 48．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．与正相关 B． C．样本数据的第60百分数为 D．各组数据的残差和为 49．（24-25高三上·江苏镇江·期末）（多选）某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（    ）（参考公式：相关系数.回归直线的方程是：，其中） A．样本数据的相关系数为 B．样本数据关于的经验回归方程为 C．样本数据所得回归直线的残差平方和为0 D．若数据均满足正态分布，则估计 50．（2024·江苏泰州·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 表一 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200） (2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周未在校自主学习与成绩进步”是否有关． 表二 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：，，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 地 城 考点09 独立性检验 51．（23-24高三上·江苏苏州·期末）霹雳舞在2023年杭州举办的第19届亚运会中首次成为正式比赛项目.某学校为了解学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了100名学生，统计得到如下2×2列联表： 男生 女生 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 20 20 40 总计 60 40 100 (1)请你根据2×2列联表中的数据，判断是否有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”； (2)学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学生中选择6人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2人参加市级比赛，设X为这2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 52．（2023高三·江苏常州·期末）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. (1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？ (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 附：，其中， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 计数原理与概率统计 9大高频考点概览 考点01 计数原理 考点02 二项式定理 考点03 二项分布 考点04 正态分布 考点05 离散型随机变量的分布列与期望 考点06 统计 考点07 古典概型概率 考点08 线性回归方程 考点09 独立性检验 地 城 考点01 计数原理 1．（23-24高三上·江苏·期末）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（    ） A．140种 B．44种 C．70种 D．252种 【答案】C 【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可. 【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为. 故选：C. 2．（23-24高三上·江苏南通·期末）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（    ）种停放方法． A．72 B．144 C．108 D．96 【答案】A 【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法. 故选：A. 3．（23-24高三上·江苏·期末）某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（    ） A．108种 B．90种 C．72种 D．36种 【答案】A 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案. 故选：A 4．（23-24高三·江苏镇江·期末）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是 ．（用数字填写答案） 【答案】120 【分析】所有涂色方法可分为三类，第一类，区域涂同一种颜色，第二类，区域涂不同颜色，区域涂不同颜色，第三类，区域涂不同颜色，区域涂相同颜色，利用综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决. 【详解】所有的涂色方法可以分为三类： 第一类：区域涂同一种颜色， 先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂同一种颜色的涂色方法有种，即48种方法， 第二类：区域涂不同颜色，区域涂不同颜色， 先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即24种方法， 第三类：区域涂不同颜色，区域涂相同颜色， 先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即48种方法， 由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48种方法，即120种方法. 故答案为：120. 地 城 考点02 二项式定理 5．（23-24高三上·江苏镇江·期末）的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．65 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】含的项为， 所以展开式中的系数为． 故选： 6．（2024·江苏扬州·期末）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，得，则， 即在的展开式中，常数项为. 故选：A 7．（24-25高三上·江苏·期末）在的展开式中，系数为整数的项数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项,即可求解. 【详解】根据题意有：， 因为，所以，所以系数为整数的项为：1，4，7，故有3项 故选：C. 8．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则 ， ． 【答案】 8 16 【分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案. 【详解】，的系数为， 令，，即；，， . 故答案为：8；16. 9．（23-24高三·江苏苏州·期末）的展开式的常数项为 ． 【答案】 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项． 【详解】由于， 故展开式的常数项为， 故答案为：． 10．（2023·江苏扬州·期末）已知的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为 .（用数字作答） 【答案】240 【分析】先利用二项式系数和列出方程求出n，然后根据二项展开式的通项公式，即可求得本题答案. 【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，所以，解得， 则展开式的通项公式为， 令，得，所以常数项为. 故答案为：240 11．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知，且，则 . 【答案】2 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出a. 【详解】由题意，为中的系数. 因为的二项展开式的通项公式为， 所以的展开式中含项的系数为：，解得：. 故答案为： 12．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若展开式中的常数项为120，则实数的值为 . 【答案】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，代入可得，解得. 故答案为：. 地 城 考点03 二项分布 13．（2023高三·江苏南京·期末）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准． (1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 【答案】(1) (2)该同学没有希望进入决赛 【分析】（1）根据题意，分类讨论所有可能的情况，再求其概率之和即可； （2）由题可得，先计算强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率的最大值，再根据5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X服从二项分布，估算，结合题意即可判断. 【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率， 故所求的概率． （2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： ∵，且，也即，即 故可得：，， ， ∴， 令，则在上单调递减， ∴． ∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数， ∴，故该同学没有希望进入决赛． 地 城 考点04 正态分布 14．（2024·江苏镇江·期末）某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值，再乘以可得结果. 【详解】因为，所以，， 因此，应从分以下的试卷中应抽取份. 故选：C. 15．（2023·江苏连云港·期末）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量不小于的汽车大约有（    ） A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量不小于的汽车大约（辆）. 故选：A. 16．（23-24高三上·江苏·期末）随机变量，若，，则（    ） A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85 【答案】C 【分析】解：根据随机变量，得到，再由求得m即可. 【详解】解：因为随机变量， 所以， ， 解得， 所以， 故选：C 17．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 18．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（    ） A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B．甲村的平均分低于乙村的平均分 C．甲村的高度满意率与不满意率相等 D．乙村的高度满意率比不满意率大 【答案】BCD 【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断. 【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大， 因为，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误； B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确； C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确； D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确. 故选：BCD. 19．（24-25高三上·江苏扬州·期末）某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ． 【答案】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，所以， 故. 故答案为： 20．（23-24高三上·江苏常州·期末）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04． (1)求； (2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？ 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 可供查阅的（部分）标准正态分布表 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 【答案】(1) (2)根 【分析】 （1）求出，进而求出即可求解； （2）根据题意求出即可求解. 【详解】（1），， ， ，， ； （2） ， 不合格的金属棒有：根． 21．（23-24高三上·江苏扬州·期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为. (1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望； (2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值. 请根据上述信息，求： ①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率； ②该公司今年这一款保险产品亏损的概率. 参考数据：若，则. 【答案】(1)，75万元 (2)①0.683；②0.0015 【分析】（1）确定以及，根据二项分布的均值公式，即可求得答案； （2）由题意确定，求出产品利润为50~100万元时X的范围以及产品亏损时的X的范围，结合正态分布的特殊区间的概率，即可求得答案. 【详解】（1）由题可知， 则， 记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则， 所以万元. （2）因为，当较大且较小时，，则. 由于较大，，其中， 若该公司今年这一款保险产品利润，则， ； 若该公司今年这一款保险产品利润，则， . 答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元； （2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683； ②亏损的概率为0.0015. 22．（2023·江苏扬州·期末）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1) (2)①能，理由见解析②假 【分析】（1）设为第次通过第一关，为第次通过第二关，计算即可； （2）①由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； ②假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知 . （2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且， 所以，则；而， 且， 所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励； ②假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 地 城 考点05 离散型随机变量的分布列与期望 23．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过古典概型的概率计算公式即可判断A、B选项；通过X和Y的分布列，可以计算对应的期望和方差的大小关系. 【详解】对选项A：正四面体骰子，记向下的数字为X，当时，对应的概率为，错误； 对选项B：正六面体骰子，记向上的数字为Y，其中时，即，则，正确； 对选项C、D：X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则，且； Y的分布列为： Y 1 2 3 4 5 6 P 则，且， 所以，C错误；，D正确； 故选：BD 24．（23-24高三·江苏镇江·期末）4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． (1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； (2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）（ⅰ）依题意可得，利用等比数列求和公式计算可得； （ⅱ）首先求出，，当时，利用构造法求出通项公式. 【详解】（1）依题意可得的可能取值为、、、， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了， 所以， 设数列的前项和为，则. （ⅱ）依题意可得，，， 当时， 所以， 所以为常数数列，又， 所以， 则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 经检验当、上式也成立，所以. 25．（23-24高三上·江苏扬州·期末）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. (1)设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件求得的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （2）（i）根据全概率公式进行计算即可；（ii）根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】（1）的所有可能取值为， , 所以的分布列为 1 2 3 故. （2）记事件“小张回答类题”， “小张回答类题”，“小张回答论述题”. （i）由（1）知， 由题意知， 所以 . （ii）， 所以. 26．（23-24高三上·江苏南通·期末）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验． (1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值； (2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值． 【答案】(1)概率分布见解析， (2)3 【分析】（1）由分布列及均值定义计算即可得； （2）由二项分布均值公式计算即可得. 【详解】（1）X的可能取值为1，2，3，， 故抽取次数X的概率分布为： X 1 2 3 P ； （2）每次检验取到新球的概率均为，故，所以． 27．（23-24高三上·江苏·期末）某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球放入罐中，如此反复操作． (1)求活动参与者第2次操作时取到白球的概率； (2)记3次操作后罐子中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，4 【分析】（1）由条件概率、全概率公式即可求解. （2）首先，3，4，5，依次求得相应的概率即可得分布列，进一步即可求解数学期望. 【详解】（1）记活动参与者“第1次操作时取到白球”为事件，“第2次操作时取到白球”为事件， 则，，，． 所以， 所以活动参与者第2次操作时取到白球的概率为． （2），3，4，5， ，， ，， 则随机变量的概率分布为 2 3 4 5 所以，随机变量的数学期望． 28．（23-24高三上·江苏南通·期末）某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． (1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率； (2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率； （2）欲求随机变量X的分布列，需先求随机变量X可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X的期望. 【详解】（1）一位顾客中奖的概率为， 仅有最后一位顾客中奖的概率． （2）的所有可能取值为， 的分布列如下： X 0 1 2 n P 令①， ②， ①-② ． 29．（23-24高三上·江苏盐城·期末）某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元. (1)求的概率； (2)求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大. 【答案】(1) (2)，第1位 【分析】（1）首先要理解包含两类情况，分别运用独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）弄清第位员工取出红球的概率与第位员工取出红球的概率的关系式，从而构建一个等比数列，求出其通项，列出分布列，计算数学期望即得. 【详解】（1）的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况： ①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球； ②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球. 故的概率为：. （2）设第位员工取出红球的概率为则有, 即：，且 故组成首项为，公比为的等比数列. 即 第位员工取出白球的概率为. 易知的所有可能取值为则的分布列如下： 1000 500 显然关于单调递减，第1位员工获得奖金额的数学期望最大. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查独立事件的概率乘法公式和随机变量的分布列和数学期望.其中在求解时，关键在于要推理分析出第位员工取出红球的概率与第位员工取出红球的概率的关系式，再借助于数列递推式推导出的通项公式，为后续列出分布列，求数学期望奠定基础. 30．（23-24高三上·江苏·期末）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是. (1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望； (2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意先写出获得奖券金额的可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算得出对应的概率后即可计算数学期望； （2）根据条件概率定义及计算公式计算可得. 【详解】（1）设一位顾客获得元奖券，则的可能取值为100，50，0， ，， ， 所以每位顾客获得奖券金额的期望是（元） （2）设“该顾客中奖”为事件，参加项目A，，分别记为事件，，， 则， 所以， 即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是. 地 城 考点06 统计 31．（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（   ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】BC 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨设， 则样本数据，，，的极差为， 样本数据、、、的极差为， 因为，则，故A错误； 对于B选项，设样本数据，，，的平均数为，即， 所以，样本数据、、、的平均数为 ， 由可知，当时，两组样本数据的平均数相等，故B正确； 对于C选项，当时， 设样本数据，，，的中位数为， 样本数据、、、的中位数为， 同理可知当时，中位数相等， 当时，设样本数据，，，的中位数为， 样本数据、、、的中位数为， 同理可知当时，两组数据的中位数相等，故C正确； 对于D选项，设样本数据，，，的标准差为， 样本数据、、、的标准差为， 则， ， 因为，则， 故，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误. 故选：BC. 32．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量X~，若，则 C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则 D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强． 【答案】ACD 【分析】由中位数的意义判断A，由二项分布方差公式判断B，由正态分布的对称性质判断C，由相关系数的意义判断D. 【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确； 对选项B，，则，因此，故B错误； 对选项C，，函数为偶函数， 则， 区间与关于对称， 故，选项C正确； 对选项D，在回归分析中，样本相关系数越接近1，样本数据的线性相关程度越强，选项D正确． 故选：ACD. 33．（23-24高三上·江苏南通·期末）（多选）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则（    ） A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差 B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值 C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数 D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 【答案】BC 【分析】由中位数、极差的概念即可判断AC，由平均数、方程计算公式即可验算BD. 【详解】甲的极差，乙的极差，A错． 甲的平均数，乙的平均数，B对． 甲的中位数90，乙的中位数90，C对． 甲的标准差，乙的标准差，D错. 故选：BC． 34．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）将两组数据合并成一组数据后（可以有重复的数据），下列特征数一定介于合并前两组数据的该种特征数之间（可以取等）的有（    ）. A．平均数 B．极差 C．标准差 D．中位数 【答案】AD 【分析】根据平均数、极差、标准差、中位数的定义结合题意依次判断即可. 【详解】平均数是所有数据总和除以数据个数，所以合并后的数据平均数一定介于合并前两组数据的平均数之间， 例如：2，4，平均数为3，4，6，平均数为5，合并后平均数为4，故A正确； 极差是一组数据中最大值与最小值之差，所以合并后的数据极差不一定介于合并前两组数据的极差， 例如：，2，8，这组数据极差为9；1，3，9，这组数据极差为8，而合并后的极差为10，故B错误； 标准差是一组数据的离散程度，所以合并后的数据标准差不一定介于合并前两组数据的标准差， 例如：2，4，标准差为1，4，6，标准差为1，而合并后标准差为，故C错误； 中位数是一组数据中间位置的数，所以合并后的数据中位数一定介于合并前两组数据的中位数， 例如：，2，8，这组数据中位数为2；1，3，9，这组数据中位数为3，合并后中位数为2.5，故D正确. 故选：AD. 35．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】BC 【分析】利用极差的定义可判断A；利用特殊值可判断BC；利用标准差的定义可判断D. 【详解】对于A，因为样本数据为不全相等的个正数，所以极差大于0， 所以由生成一组新的的极差是极差的3倍，故A错误； 对于B，设为的平均数，为的平均数，可得， 当时，可得，故B正确； 对于C，当为正奇数时，设样本数据的中位数为， 则数据的中位数，当时，，故C正确； 对于D，为的标准差，因为样本数据为不全相等的个正数， 所以，设为的标准差，可得， 则， ，故D错误. 故选：BC. 36．（23-24高三上·江苏泰州·期末）（多选）某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A．频率分布直方图中a的值为0.005 B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225 【答案】AD 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可. 【详解】由，可得，故A正确； 前三个矩形的面积和为， 所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误； 由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确. 故选：AD 37．（23-24高三上·江苏苏州·期末）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下： ，则估计这批棉花的第45百分位数为 . 【答案】61.5/ 【分析】直接由百分位数的定义即可得解. 【详解】由题意，所以这批棉花的第45百分位数为从小到达排列的第9个数与第10个数的平均数，即. 故答案为：61.5. 38．（23-24高三上·江苏常州·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)最可能有6名或7名 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出关系式，求解即可得出答案； （2）根据频率分布直方图求出周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，进而得出每组的人数.根据超几何分布分别求出X分别取0，1，2，3时的概率，列出分布列，即可求出期望； （3）先求出周平均阅读时间在内的概率.进而求出，由解出的范围，即可得出答案. 【详解】（1）由可得． （2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， ∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， ∴，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望． （3）用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率， 设周平均阅读时间在内的学生有名，则 ， 所以． 令，解得， 所以当或，最大． 所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名． 地 城 考点07 古典概型概率 39．（2023·江苏南京·模拟预测）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的计算公式，即可得出. 【详解】将一枚质地均匀的骰子投掷两次，该试验的样本空间 ，共36种； 设事件=“第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除”， 则共14种， 所以，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率. 故选：A. 40．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率计算公式直接计算即可. 【详解】，. 故选：D. 41．（2023·江苏扬州·期末）一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先直接求出，然后利用条件概率公式求出，进而得解. 【详解】 ，， ． 故选：A. 42．（23-24高三上·江苏苏州·期末）2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合古典概型运算公式、列举法进行求解即可. 【详解】设金坛站､武进站､江阴站､张家港占、常熟站用， 甲、乙两人用字符对表示下车的站， 于是有以下情形： 共有16种情形， 其中甲比乙晚下车的情况是，共有6种情形， 所以甲比乙晚下车的概率为， 故选：D 43．（24-25高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 44．（23-24高三上·江苏泰州·期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 . 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件A为第1次摸到白球，事件为第2次摸到黑球， 则， 所以. 故答案为：. 45．（23-24高三上·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 . 【答案】 【分析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，根据题设有，，，再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率. 【详解】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，， 所以，， 故， 所以. 故答案为： 46．（24-25高三上·江苏·期末）已知等差数列的公差不为0．若在的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 ．（用最简分数作答） 【答案】 【分析】由分类计数原理与古典概型概率公式求解可得. 【详解】设等差数列公差为， 若在数列的前100项中随机抽取4项，构成新的等差数列，则其公差可能为. 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； ； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； ； 当公差为时，则首项为，可构成共个等差数列. 故在的前100项中随机抽取4项按原来的顺序，共可构成个等差数列； 又在的前100项中随机抽取4项，这4项按原来的顺序共可构成个数列； 则由古典概型概率公式可得，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于按新等差数列的公差分类讨论，再结合分类计数原理与古典概型概率公式求解. 47．（2023·江苏南京·期末）2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，． (1)①求第5次传球前，球恰好在手中的概率； ②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小． (2)训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大? 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用树状图列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得； ②依题意第次传球前在乙、丙手中的概率均为，则，从而得到为等比数列，即可求出的通项公式，求出与，即可判断； （3）首先求出一次摸奖中奖的概率，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率，，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，再求出即可. 【详解】（1）①记三个人分别为、、，则4次传球的所有可能可用树状图列出，如图．    每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到手中的事件个数为6， 根据古典概型的概率公式得． ②第次传球前在乙、丙手中的概率均为， 故， 为等比数列，首项为，公比为， ， 所以， ， ， . （2）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率 三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率 ，， 则， 所以当时，当时， 所以在上为增函数，在上为减函数，当时，取得最大值， 又，得时，最大. 地 城 考点08 线性回归方程 48．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．与正相关 B． C．样本数据的第60百分数为 D．各组数据的残差和为 【答案】ABD 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】对于A，由回归直线方程知：，所以y与x正相关，故A正确； 对于B，由表格数据及回归方程易知，故B正确； 对于C，，所以样本数据y的第60百分位数为，故C错误； 对于D，由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 故对应残差分别为，显然残差之和为0，故D正确. 故选：ABD 49．（24-25高三上·江苏镇江·期末）（多选）某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（    ）（参考公式：相关系数.回归直线的方程是：，其中） A．样本数据的相关系数为 B．样本数据关于的经验回归方程为 C．样本数据所得回归直线的残差平方和为0 D．若数据均满足正态分布，则估计 【答案】ABD 【分析】根据条件中的数据，以及公式，或公式的变形，即可求得相关系数，以及和，即可判断AB，根据残差平方和的定义，即可判断C，根据正态分布的对称性，以及原则，即可判断D. 【详解】A. ， ，故A正确； B. 由A可知，， ，所以，故B正确； C.残差平方和表示随机误差的效应，一组数据的残差平方和越小，其拟合程度越好，不一定等于0，故C错误； D.由题意可知，，，， ，利用对称性可知，，故D正确. 故选：ABD 50．（2024·江苏泰州·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 表一 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200） (2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周未在校自主学习与成绩进步”是否有关． 表二 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：，，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，140.5分 (2)可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 【分析】 （1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测； （2）根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案. 【详解】（1） ， ，又的方差为， 所以， ，故，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分． （2） 零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关． 根据数据，计算得到： ， 因为， 所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 地 城 考点09 独立性检验 51．（23-24高三上·江苏苏州·期末）霹雳舞在2023年杭州举办的第19届亚运会中首次成为正式比赛项目.某学校为了解学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了100名学生，统计得到如下2×2列联表： 男生 女生 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 20 20 40 总计 60 40 100 (1)请你根据2×2列联表中的数据，判断是否有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”； (2)学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学生中选择6人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2人参加市级比赛，设X为这2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据的列联表，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的所有可能取值，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望. 【详解】（1）解：由列联表中的数据， 可得， 所以有的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”. （2）解：由题意得，选择的6人中，有男生4人，女生2人， 所以的所有可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. 52．（2023高三·江苏常州·期末）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. (1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？ (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 附：，其中， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析； (2)认为喜爱打篮球与性别有关； (3)分布列见解析，1. 【分析】（1）求出喜欢打篮球的学生人数，完善2×2列联表. （2）求出的观测值，再与临界值比对作答. （3）求出的可能值，求出每个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答. 【详解】（1）依题意，喜欢打篮球的学生人数为， 完善列联表如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 （2）零假设：喜爱打篮球与性别无关， 由（1）得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立， 所以认为喜爱打篮球与性别有关. （3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望. 试卷第1页，共3页 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $