专题10 平面解析几何（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题10 平面解析几何 7大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆与方程 考点03 直线与圆 考点04 椭圆 考点05 双曲线 考点06 抛物线 考点07 新定义 地 城 考点01 直线与方程 1．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 圆与方程 2．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 4．（23-24高三上·江苏南通·期末）（多选）已知点在圆上，点，，则（    ） A．存在点，使得 B． C．存在点，使得 D． 5．（24-25高三·江苏镇江·期末）（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 地 城 考点03 直线与圆 6．（2023·江苏泰州·期末）写出满足“直线：与圆：相切”的一个的值 . 7．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023·江苏扬州·期末）已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程 . 9．（23-24高三上·江苏盐城·期末）（多选）已知圆，过点作两条互相垂直的弦，则（    ） A．弦长的最小值为1 B．四边形的面积的最大值为5 C．弦长的最大值为 D．的最大值为 10．（23-24高三上·江苏南京·期末）（多选）下列结论中正确的是（　　） A．已知曲线（，不全为0），则曲线C的周长为 B．若直线的方程，则直线l的倾斜角为 C．若直线与直线垂直，则 D．圆与圆的公切线条数为2 11．（24-25高三上·江苏扬州·期末）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 13．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 地 城 考点04 椭圆 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（    ） A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分 C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分 15．（2023·江苏泰州·期末）已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求弦的长. 16．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为 ． 17．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 18．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 19．（24-25高三上·江苏·期末）已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高三·江苏南京·期末）如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 21．（2023·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 22．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ． 23．（23-24高三上·江苏·阶段练习）（多选）已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点，则 C．是常数 D．点在一个定圆上 24．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为． (1)求椭圆的离心率； (2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 25．（23-24高三上·江苏·期末）已知直线l与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点（在椭圆外），若，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为. (1)求的标准方程； (2)求的值； (3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上. 27．（23-24高三上·江苏·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于点），设直线与的斜率分别为，． (1)若直线l的斜率为，求的面积； (2)求的值． 28．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，． (1)若点，关于原点对称，且，求的取值范围； (2)若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围． 29．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 30．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，. （i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，； （ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积. 31．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线与的斜率分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，求的面积； (3)求的值. 地 城 考点05 双曲线 32．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 33．（23-24高三上·江苏·期末）已知双曲线：（，）的左顶点为M，左、右焦点分别为，，过作轴的垂线交于，两点，若为锐角，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是 ． 35．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 36．（2023·江苏连云港·期末）（多选）已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 37．（2023·江苏泰州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 . 38．（23-24高三上·江苏·期末）已知反比例函数（）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为.已知函数的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线和y轴，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不与顶点重合，记为的内心，，若，则的取值范围为 . 40．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为．过点的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求； (2)证明：为定值． 41．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高三上·江苏·期末）已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 43．（2023·江苏南通·期末）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高三上·江苏盐城·期末）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是. (1)求双曲线的方程； (2)求的取值范围. 45．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 46．（23-24高三上·江苏·期末）已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标. 47．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，若，则的离心率为 . 48．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 地 城 考点06 抛物线 49．（23-24高三上·江苏南京·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知直线与抛物线相切于M点，则M到C的焦点距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 51．（2023·江苏南京·期末）过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A，B两点，若点A，B到y轴的距离之和为，则p的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 52．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．存在实数，使得 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 53．（2023·江苏南京·期末）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（    ） A． B． C． D． 54．（2023·江苏连云港·期末）已知，，动点C在曲线T：上，若△ABC面积的最小值为1，则不可能为（    ） A． B． C． D． 55．（2023·江苏泰州·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 56．（江苏2024届高三上学期12月联考数学试题）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 57．（23-24高三上·江苏·期末）已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为 . 58．（23-24高三上·江苏·期末）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是 . 59．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则（   ） A． B． C．线段的中点到轴的距离为6 D． 60．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 61．（23-24高三上·江苏扬州·期末）如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程. 62．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，的半径为1，过F的直线l与抛物线C和交于四个点，自下而上分别是A，C，D，B，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．面积的最小值是8 D．的最小值是 地 城 考点07 新定义 63．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）已知曲线C：，则（    ） A．曲线C关于直线对称 B．曲线C关于原点对称 C．曲线C在直线的上方 D．曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 64．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． (1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； (2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 平面解析几何 7大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆与方程 考点03 直线与圆 考点04 椭圆 考点05 双曲线 考点06 抛物线 考点07 新定义 地 城 考点01 直线与方程 1．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中向量的特征，可设，，，然后根据向量模的运算得到，，转化为点与点、的距离和的最小值问题，再结合图象即可得到. 【详解】因，为两个相互垂直的单位向量，不妨设，， 因，可设，其中， 则，，， ， ， ， 设，， 则， 其中表示点与点的距离，表示点与点的距离， 如图    设点与点所在的直线为，则其方程为：，即， 联立，得或， 即当或，时，取的最小值， 所以的最小值为， 故选：B 地 城 考点02 圆与方程 2．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时，取得最大值，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由点是圆上的一点，是圆上的两点， 可得圆心，半径， 根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时， 此时取得最大值，此时， 可得，所以，所以. 故选：B. 3．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论. 【详解】设所求圆的一般方程为， 因为点，，在圆上， 所以， 解得， 则所求圆的一般方程为：， .故答案为：. 4．（23-24高三上·江苏南通·期末）（多选）已知点在圆上，点，，则（    ） A．存在点，使得 B． C．存在点，使得 D． 【答案】ABD 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设，若，推出恒成立，即可判断C、D. 【详解】圆即，圆心，半径，又， 所以，因为点在圆上，所以， 所以存在点，使得，故A对． 因为，所以点在圆外，又，点在圆内， 所以当与圆相切时，取最大值， 此时，所以，故B对． 对于D，设，若 ， 又点在圆上，一定成立，故D对，C错. 故选：ABD． 5．（24-25高三·江苏镇江·期末）（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 地 城 考点03 直线与圆 6．（2023·江苏泰州·期末）写出满足“直线：与圆：相切”的一个的值 . 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据直线与圆的位置关系列方程可得解. 【详解】由已知圆：的圆心为，半径， 又直线：与圆：相切， 所以圆心到直线的距离， 解得或， 故答案为：（或，答案不唯一）. 7．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】方程，表示圆心为，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 得直线与圆相切，只有一个交点，则中元素的个数为1. 故选：B 8．（2023·江苏扬州·期末）已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，也满足） 【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由得，结合点线距离公式即可求解判断. 【详解】由题意得，半径，， 故在圆外，设O到直线的距离为d， 由得，即， 解得， 当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意； 当直线l斜率存在时，设为，即， 则， 即，解得，故直线为. 故答案为：（答案不唯一，也满足） 9．（23-24高三上·江苏盐城·期末）（多选）已知圆，过点作两条互相垂直的弦，则（    ） A．弦长的最小值为1 B．四边形的面积的最大值为5 C．弦长的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】当时弦长的最小，计算结果判断A选项；到的距离为到的距离，则，四边形的面积，利用基本不等式求最大值判断B选项；利用配方法和基本不等式求最大值判断C选项；，利用基本不等式求最大值判断D选项. 【详解】，当时，弦长的最小，最小值为，A选项错误； 到的距离为到的距离，则， ，当且仅当时等号成立， 四边形的面积的最大值为5，B选项正确； ， ， 当且仅当时等号成立，则的最大值为，D选项正确； ， ， 当且仅当时等号成立， 则， ，C选项正确. 故选：BCD. 10．（23-24高三上·江苏南京·期末）（多选）下列结论中正确的是（　　） A．已知曲线（，不全为0），则曲线C的周长为 B．若直线的方程，则直线l的倾斜角为 C．若直线与直线垂直，则 D．圆与圆的公切线条数为2 【答案】AD 【分析】对于A，根据对称性，先得第一象限内曲线的长度，由此即可验算；对于B，直接由斜率验算倾斜角即可；对于C，由直线垂直的充要条件即可验算；对于D，先判断两圆的位置关系，由此进一步即可判断. 【详解】对于B，如图所示：    当时，曲线，即， 此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为， 在曲线（，不全为0）中，分别用替换，方程依然成立， 这表明了曲线（，不全为0）的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线的周长为，故A正确； 对于B，直线的方程为，即， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故B错误； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得或，故C错误； 对于D，圆即的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，它们的公切线条数为，故D正确. 故选：AD. 11．（24-25高三上·江苏扬州·期末）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，当时，弦的长度取得最小值，故先求出的长，再利用勾股定理可求出的最小值. 【详解】圆，即， 则圆心，半径为， 因为，所以点在圆内， 由圆的性质可知，当时，弦的长度取得最小值， 因为， 所以弦的长度的最小值为. 故选：B 12．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】令，利用对称性及数形结合有最大则，在中应用余弦定理及倍角正余弦公式、辅助角公式得，结合正弦型函数性质求最大值. 【详解】令且，，要使最大有， 如下图示，在中， 所以 ， 当且仅当时， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，应用所设参数表示出为关键. 13．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】方法一，由题意找到点满足的关系式，，由韦达定理可解； 方法二：由题意可知点，在抛物线上运动，利用抛物线定义可解. 【详解】方法一：如图建系，，    圆，，， ，， 同理，，是的两根， ，． 方法二：以所在直线为轴，以中垂线所在直线为轴建系，    设，，在上的射影分别为，， ，，，在抛物线上运动， 两根为，，. 故选：D． 【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出点所在曲线的方程，进而结合韦达定理求解. 地 城 考点04 椭圆 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（    ） A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分 C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可. 【详解】因为函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分， 所以， 因为，，成等比数列， 所以有，且有成立， 即成立， 由， 化简得：，或， 当时，即，因为，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）； 当时，即， 因为，所以，而，所以不成立， 故选：A 15．（2023·江苏泰州·期末）已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列式计算得解； （2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解. 【详解】（1）依题意可得， 解得， 所以的方程为. （2）联立，消去得， 则，. 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 由， 解得. 所以， 所以.    16．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆定义用表示，再利用余弦定理可解. 【详解】设，则，又 由椭圆定义，得， 所以 又因为，所以， 所以． 故答案为：. 17．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点到的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 18．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可判断，根据已知条件写出的方程，并求出点的坐标，再利用的关系即可求解. 【详解】    如图，设，，， 由题意可知，， 则直线的斜率，可知直线的方程为， 同理可得的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称，且， 则，可得， 又因为，即， 所以，整理得， 解得或(舍去)，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 19．（24-25高三上·江苏·期末）已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设椭圆的方程为：，根据的面积建立等式关系即可求得. 【详解】不妨设椭圆的方程为：，， 则有，， 所以， 所以，所以的内切圆的半径为，由椭圆定义可得， 所以. 故选：D. 20．（23-24高三·江苏南京·期末）如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用，直线的斜率为，建立方程组，即可求椭圆的方程； （2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论； （3）由（2）直接利用两点间的距离公式结合根与系数的关系证明. 【详解】（1）∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为， 由，，得， 又，解得，， ∴椭圆的方程为； （2）证明：直线的方程为，即，将其代入， 消去，整理得. 设，. ∴，. 记的面积是，的面积是. 由题意，， ∵， ∴， ∵，. ∴的面积等于的面积； （3）证明：由（2）知，，，， ∴， ， ， . 21．（2023·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设，由题意， 因为，所以， 即，两边平方并整理得． 故点的轨迹的方程为； （2）设直线方程为， 联立，消并整理得，，显然， 设，，则，， 又，可得线段中点坐标为， 所以线段中垂线的方程为， 令，可得， 对于直线，令，可得， 所以 又， 所以， 令，则， 因为在上单调递增， 所以，故． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 22．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：．        【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 23．（23-24高三上·江苏·阶段练习）（多选）已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点，则 C．是常数 D．点在一个定圆上 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式可判断A选项；求出点的纵坐标，利用三角形面积比可判断B选项；设直线的方程为，求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用斜率关系证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，设点，易知点、， 所以，不是定值，A错； 对于B选项，当点的坐标为，， 则直线的方程为，即， 联立，可得，解得或，即， 所以，，B对； 对于C选项，设直线的方程为， 联立可得，解得或， 则，， 即点， 联立可得，即点， 所以，，C对； 对于D选项，设点，其中，且，则， ， ，则，所以，， 则，所以，，取线段的中点，连接， 由直角三角形的几何性质可知， 所以，点在以线段的直径的圆上，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 24．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为． (1)求椭圆的离心率； (2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长得到，从而求出离心率； （2）解法一：设且，则有，由向量的线性关系得到，再联立直线的方程与椭圆方程，消元，求出、同理得到，再代入计算可得；解法二：依然采用设点，根据向量线性关系得到，再根据点在椭圆上，代入方程得到，同理得到，从而得解. 【详解】（1）依题意点、、三点共线，点、、三点共线， 则的周长为， 则的周长为， 所以，即， 椭圆的离心率为．    （2）解法一：设且，则有，即， 由题由， 可得，则， 由题设直线，联立， 化简整理可得 显然成立，故，， 同理可得， （定值）. 解法二：设且，则由，即有①， 由题，由，可得， 则，， 点在椭圆上，则，则将上式代入整理得②， ②-①整理化简得，同理可得， （定值）. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 25．（23-24高三上·江苏·期末）已知直线l与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点（在椭圆外），若，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到，再由条件得到也是的中点，从而得到关于的方程，进而求得，由此得解. 【详解】设：（，），设，， 联立，得， 由题意知， 所以，， 设的中点为，连接， 因为，所以，得， 又因为，，所以也是的中点， 所以的横坐标为， 从而得，因为交在第二象限，解得， 设直线倾斜角为，得，得，故A正确. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 26．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为. (1)求的标准方程； (2)求的值； (3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将点代入方程计算即可得； （2）分直线的斜率存在与不存在进行计算，结合题意得到、的表示形式，结合韦达定理计算即可得； （3）结合题意设出直线、方程，结合第二问得到的值，得到交点的横纵坐标的关系或通过联立联立直线方程计算交点纵坐标即可得. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以的标准方程为； （2）直线的方程为，所以， 当直线的斜率不存在时， ①若， 则； ②若， 则， 所以， 当直线的斜率存在时，设， 直线的方程为， 由，得， 所以， 所以， 所以 ， 综上，； （3）直线的方程为，直线的方程为， 设交点， 法一：， 即， 因为，所以，即点在定直线上. 法二：由（2）得， 由，得， 即点在定直线上. 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在当直线的斜率存在时，需联立直线的方程与椭圆方程，借助韦达定理得到交点坐标间的关系，从而计算的值. 27．（23-24高三上·江苏·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于点），设直线与的斜率分别为，． (1)若直线l的斜率为，求的面积； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列方程求可得椭圆方程，联立直线与椭圆的方程，结合弦长公式求出，再求点到边的距离，由此可求面积； （2）方法一：先在条件直线的斜率不存在时，求出，再求，再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时的值即可； 方法二：设的方程为，设直线的斜率为，联立方程组，利用设而不求法确定的关系，由此可得结论； 方法三：设直线：，即，设直线的斜率为，联立方程组结合设而不求法法确定的关系，由此可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，， 所以椭圆的方程为． 直线：，即， 代入得， 设，，则，， 所以， 又点到直线：的距离， 所以的面积．    （2）当直线斜率不存在，即：时，，不妨取，， 因为，，则，， 所以． 当直线斜率存在时，设：， 代入：得： ， 由已知方程的判别式， 设，，则，， 则 ． 综上可知，．    法二：设：，代入：得， 由已知方程的判别式， 设，，则，， 设直线的斜率为，则 ， 又，即， 所以，则，所以． 法三：设直线：，即，所以． 椭圆：，即，所以， 即， 则， 整理得， 设直线的斜率为，则 又，即， 所以，则，所以． 【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 28．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，． (1)若点，关于原点对称，且，求的取值范围； (2)若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，，可得，，可解； （2）设，，，分别写出直线方程，由分别过和，可得和，从而化简得，则椭圆方程：．当斜率为0时，，当斜率不为0时，设直线的方程为：，，，可求范围. 【详解】（1）设，，，， ，，， ， ，， ，，即的取值范围为． （2）设，，， 方程： 它过，① 方程为： 它过，② ①②, ，， 而，，． 椭圆方程：． ①当斜率不为0时，设直线的方程为：，，， ． ②当斜率为0时，，，， 的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 29．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 【答案】(1) (2)①证明见解析； ②过定点 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）①设，求得直线的方程为，直线的方程，进而求得点的坐标，可求得为定值； ②求得以线段为直径的圆的方程，令求解即可. 【详解】（1）由题意可得，解得，所心椭圆的方程为； （2）①设，所以，则， 由（1）可得，， 则直线的方程为， 令，解得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 所以， 所以为定值1； ②由①知直线的方程为， 令，得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 又， 所以的中点， 又， 所以圆的半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 令，得 ， 所以， 故以线段为直径的圆经过定点. 【点睛】关键点点睛：重点在于求得以线段为直径的圆，利用对称性可知令，可求定点坐标. 30．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，. （i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，； （ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解（ii） 【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的定义与性质可得其标准方程. （2）（i）（方法一）根据直线的点斜式，设直线EF、PQ方程，分别与椭圆联立，用，表示出点G、H.利用向量垂直即数量积为零，可计算出，从而得证. （方法二）设点E，F，G，通过点差法用，表示，.利用直线垂直即斜率之积为-1，可以计算出. （ii）根据弦长公式用，表示出，利用换元法求出最大时，，对应的值，从而计算出四边形EPFQ的面积. 【详解】（1）由A，B点的坐标分别为和，可知. 由内切圆半径为r，及，可得， 所以.由椭圆定义可知，动点M在以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆上，又M不能在直线AB上，所以曲线C的方程为：． （2）（i）（法一）设，，， 根据点斜式，设直线EF的方程为， 联立，得，所以， 根据EF的中点为G可得，， 所以.同理可得，. 由，得，又， 所以，即， 所以存在唯一常数，即时，使得成立． （法二）设，，，当EF的斜率为零，则G与A重合. 因为，所以H在x轴上，又H为PQ的中点，所以轴，显然与PQ过A矛盾，故.同理可得. 由，在椭圆上，得， 两式作差可得， 根据EF的中点为G可得，，， 所以，又， 所以，所以.同理可得. 因为，所以，即，即. 所以存在唯一常数，即当时，使得成立． （ii）由(i)知，，根据弦长公式可得， 同理可得，. 所以， 根据，消去可得，. 令，则 当且仅当，即，即时等号成立.由椭圆的对称性， 不妨设，则，，. 设直线EF和PQ的夹角为，则，可得 所以四边形EPFQ的面积为． 【点睛】方法点睛： 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.中点弦问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，化简式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借助中点公式即可求得斜率.再借助韦达定理即可解决中点问题. 31．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线与的斜率分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息和，，之间的关系，列出等式求出椭圆的方程. （2）表示直线的方程，设出，坐标，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可. （3）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再代入中进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）依题意，得直线：，即， 代入得， 设，，则，， 所以 ， 又点到直线：的距离， 所以的面积. （3）当直线斜率不存在，即：时，，不妨取，， 因为，，则，， 所以， 当直线斜率存在时，设：， 代入：得：， 则， 设，，则，， 则 ， 综上可知，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点05 双曲线 32．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的外接圆与及轴分别切于点，结合双曲线的定义和圆的性质，求得，再由离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设的外接圆与及轴分别切于点， 则 因为的内切圆圆心的横坐标为1，即， 由双曲线的定义，可得，可得， 所以，又由， 所以，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 33．（23-24高三上·江苏·期末）已知双曲线：（，）的左顶点为M，左、右焦点分别为，，过作轴的垂线交于，两点，若为锐角，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为锐角，由求解. 【详解】令，得，解得，则， 因为为锐角，所以， 因为，， 即，即， 即，结合，解得， 故选：B 34．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是 ． 【答案】2 【分析】由双曲线方程可得. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，，． 故答案为：2 35．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出值，进而求出离心率即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因此双曲线方程为，所以双曲线的离心率. 故答案为： 36．（2023·江苏连云港·期末）（多选）已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D. 【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|, Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，， 为等轴双曲线，故B正确； 对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，， ，，，，故C错误； 对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，， ，在双曲线上，，，， 的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 37．（2023·江苏泰州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可. 【详解】 因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点， 可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角， 即， 设，则，根据可知， 在中，由余弦定理可知， 即， 则， 故 故答案为： 38．（23-24高三上·江苏·期末）已知反比例函数（）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为.已知函数的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线和y轴，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质，结合旋转即可求解. 【详解】在第一象限内，函数的图象位于上方， 由于和y轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角，故， 不妨将双曲线绕其中心旋转逆时针旋转,则可得到其焦点在轴上的双曲线，且两条渐近线之间的夹角，因此其中一条渐近线的倾斜角为， 因此，进而可得 故选：C. 39．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不与顶点重合，记为的内心，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，根据角平分线性质及双曲线定义求得，，即可求解，利用函数单调性即可求解. 【详解】设双曲线的方程为，过作直线，，的垂线， 垂足分别为，，，如图：    因为为的内心， 由角平分线的性质可知，，， 所以， 因为，所以，， 所以， 显然关于单调递减，由易知实数的取值范围为. 故答案为： 40．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为．过点的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求； (2)证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可解； （2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得，再结合（1）中结论即可得证. 【详解】（1）由题意知， 双曲线：． 易知直线的斜率不为零，所以设直线的方程为，，， ，得， 则， 则， ， ． （2）因为， 为定值． . 41．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得垂直平分，是的中位线，先求得，再结合，平方关系以及双曲线定义得关系，由此即可得解. 【详解】关于渐近线的对称点在双曲线上，如图所示， 则． 所以是的中位线， 所以，． 所以到渐近线的距离为，即， 在中， ，， 所以， 进而，所以，则渐近线方程为， 故选：C. 42．（24-25高三上·江苏·期末）已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【详解】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 43．（2023·江苏南通·期末）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程， 再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和. 【详解】 设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以MO是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为. 所以，，双曲线C的渐近线方程为， 设，T到两渐近线的距离之和为S，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为. 故选：A. 【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程. 44．（23-24高三上·江苏盐城·期末）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是. (1)求双曲线的方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及顶点到渐近线的距离，列式计算，求出的值，即得答案； （2）将转化为，利用直线和双曲线的方程联立，求出弦长的表达式，联立直线和渐近线方程求得的表达式，即可得的表达式，结合参数范围，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得双曲线的一条渐近线方程为， 离心率为，则， 顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则， 即得，故，结合， 解得 故双曲线的方程为； （2）由题意得， 直线l的斜率存在，设直线的方程为，设， 由，得， 则，即得， 则， 且 ， 由，得， 则, 得， 故， 而，. 【点睛】关键点睛：解答第二问面积比的范围问题时，关键是利用弦长公式，表示出的表达式，进而结合参数范围，求得答案. 45．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以， 所以的大小为； （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 46．（23-24高三上·江苏·期末）已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：由顶点可得，根据双曲线方程可得解得，进而可得方程；法二：由顶点可得，根据双曲线定义分析可得解得，进而可得方程； （2）法一：设点，直线：，直线：，，，，联立方程直线利用韦达定理结合分析求解；法二：由结合双曲线的方程可得，，联立求解即可. 【详解】（1）（法一）已知双曲线方程是（，）， 由顶点得，所以， 设点，，，， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为， 所以，所以，， 故双曲线：. （法二）. 当且仅当时取等号，故的最小值为， 所以，所以，， 故双曲线：. （2）（法一）设点，，，则直线：， 设直线的方程为，，设点，， 联立，消去得， 其中，，，（*）， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以或， 故直线的斜率与直线的斜率满足. 因为直线的方程是，所以， 所以， 且， 所以， 将（*）代入，整理得到，解得或（舍），所以. （法二）同法一可知直线的斜率与直线的斜率满足， 又，则，所以， 设直线的方程是，将点代入直线， 得到①， 又双曲线的方程可化为， 由 得， 设，则， 直线和直线的斜率是该方程的两个根， 所以，所以②， 联立①②，得到，所以. 【点睛】方法点睛：与端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程（组）求解． 47．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设双曲线焦距为，，利用，可得，由，结合两角和的正切公式，推出，再根据点在双曲线方程上，化简运算的解. 【详解】设双曲线焦距为，则，设， 则， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为 ， 因为，所以， 所以， 因为点在双曲线方程上，所以，即， 因为，所以， 两边同时除以，得， 解得， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，解题的关键是根据结合题中已知条件建立等式求解. 48．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，定圆. 【分析】（1）由离心率、焦点到渐近线距离列方程求双曲线参数，即可得双曲线方程； （2）设，，联立双曲线求，坐标，法一：研究特殊情况得，并猜想直线过轴上一定点，再由特殊到一般思想证明三点共线；法二：根据已知求直线方程，并确定其过定点，进而写出定圆方程. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，左焦点， 所以，则，又， 所以，得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题设知，设， 则，得，， 所以， 又是的中点，所以， 则，同理， 法一：若，即，即，即， 又，则，此时，此时， 由图形的对称性，猜测直线过轴上一定点. 下面，验证一般性：，， 则，所以三点共线. 综上，直线过定点 所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4. 法二：若，则， 又，所以， 所以直线的方程为， 即，即， 即，所以直线过定点. 若，即，即，即， 又，则，此时，此时也过. 故直线过定点. 所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4. 地 城 考点06 抛物线 49．（23-24高三上·江苏南京·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 故选：D. 50．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知直线与抛物线相切于M点，则M到C的焦点距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将直线与抛物线联立方程组，求出，得点坐标得解. 【详解】设抛物线的焦点为，联立，消可得， 因为直线与抛物线相切，则， ，，， . 故选：B. 51．（2023·江苏南京·期末）过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A，B两点，若点A，B到y轴的距离之和为，则p的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程消去y，根据题意结合利用韦达定理可求p. 【详解】设， 由题意可得：直线的斜率，抛物线的焦点， 故直线的方程为， 联立方程，消去y得， 则， 可知异号， 由题意可得：， 解得. 故选：B. 52．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（    ） A． B．存在实数，使得 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 【答案】CD 【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可知可判断A错误；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，恒成立，所以B错误；根据可知A，B两点的纵坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得，即C正确；由直线PA与PB的倾斜角互补，可知，利用韦达定理联立方程即可求出，即D正确. 【详解】由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为， 直线恒过，如下图所示： 设，作垂直于准线，垂足为， 根据抛物线定义可知，，易知，所以， 但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此， 所以，即A错误； 联立直线和抛物线方程得； 所以，， 此时，所以，即， 所以不存在实数，使得，故B错误； 若AF＝2FB，由几何关系可得，结合，可得或，即或， 将点坐标代入直线方程可得，所以C正确； 若直线PA与PB的倾斜角互补，则， 即，整理得， 代入，解得或， 当时，直线过点，A与P点重合，不符合题意，所以；即D正确. 故选：CD 53．（2023·江苏南京·期末）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线为且，根据在抛物线上求p，利用抛物线定义求P到该抛物线焦点F的距离. 【详解】令抛物线方程为且， 由题设在抛物线上，则，得， 又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米. 故选：A 54．（2023·江苏连云港·期末）已知，，动点C在曲线T：上，若△ABC面积的最小值为1，则不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再求出，可得，分别代入、、及，判断最小值是否为1即可. 【详解】设，因为，所以，即. 直线的方程为，即. 因为，，所以. 则点到直线的距离为. 因为，，所以. 所以. 当时，， 可得当时，，符合题意； 当时，， 可得当时，，符合题意； 当时，， 可得当时，，符合题意； 当时，， 可得当时，，不符合题意. 故不可能为. 故选:D. 55．（2023·江苏泰州·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，将坐标分别代入抛物线方程，即可得到，再由三点共线，可得，即可得到结果. 【详解】将，两点分别代入抛物线方程， 可得，解得，则， ，解得，则， 又抛物线的焦点， 由题意可得，三点共线， 则，即，解得. 故选：D 56．（江苏2024届高三上学期12月联考数学试题）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线的方程可得，由可求得，将代入抛物线的方程可得，结合题意即可求出，再由抛物线的定义即可得出答案. 【详解】的焦点为，准线方程为：， 由题，显然，令直线中，则，所以， 设，联立消， 得，方程的判别式， ， 所以， 由可得：，所以， 因为在上，所以，解得：， 所以，所以， 由抛物线的定义可得：. 故选：C. 57．（23-24高三上·江苏·期末）已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为 . 【答案】 【分析】由题意得抛物线：，直线的方程为，结合韦达定理得圆心坐标，焦半径公式得圆的半径，由此即可得解. 【详解】由题意，解得，所以抛物线：， 设线段的中点为，， 又直线的方程为，联立抛物线方程得， 由韦达定理有， 所以，即， 而以线段为直径的圆的半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为. 故答案为：. 58．（23-24高三上·江苏·期末）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是 . 【答案】 【分析】根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 而，故，，解得. 故答案为： 59．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则（   ） A． B． C．线段的中点到轴的距离为6 D． 【答案】BC 【分析】求得抛物线焦点坐标，可求出p的值，判断A；根据抛物线过焦点的弦长公式可判断B；结合根与系数的关系可判断C；利用向量的数量积的运算，可判断D. 【详解】由题意知直线经过抛物线的焦点，焦点在x轴上， 直线与x轴交点为，故抛物线焦点为， 故，A错误； 联立，整理得，， 设，则，， 由于直线经过抛物线的焦点， 故，B正确； 线段的中点到轴的距离为，C正确； 由于 ， 故不垂直，所以不垂直，D错误， 故选：BC 60．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程，再直线曲线联立，借助韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式计算高，最后计算面积即可. 【详解】由题知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得，则，. ∴. ∵，∴四边形为平行四边形. ∵点的横坐标为3，∴，解得. ∴. 点到直线的距离为， ∴平行四边形的面积为. 故选：A. 61．（23-24高三上·江苏扬州·期末）如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定抛物线即椭圆的右焦点坐标，继而求得点，由此列出方程组，即可求得椭圆方程； （2）设直线方程，和抛物线以及椭圆分别联立，求得相应的弦长，即的表达式，利用，解方程可得答案. 【详解】（1）由抛物线可知：， 故由得： ,故 ，则 ， 则对于有： ，解得， 故椭圆方程为：； （2）过点的直线 的斜率不存在时，则有不符合题意， 故设直线 的斜率为k，则直线方程为 ， 联立抛物线方程： ，整理得： ， 设 ，则， 故 ， 联立，整理得： ， 设,则， 则 ， 又,故， 即，整理得 ， 解得 ， 由题中所给图可知， ，故， 故直线的方程为. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，以及直线和椭圆相交时的弦长问题，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算的能力，解答的关键是明确解答的思路，即联立方程，计算弦长，难点就是计算量大且繁杂，要十分细心. 62．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，的半径为1，过F的直线l与抛物线C和交于四个点，自下而上分别是A，C，D，B，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．面积的最小值是8 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，， 对于A，，所以A错误， 对于B，因为，所以，所以B正确， 对于C，设直线为，， 由，得， 因为，所以， 所以的面积为， 当且仅当，即直线轴时取等号，所以面积的最小值是8，所以C正确， 对于D，由选项C可知，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆，直线与抛物线的关系，解题的关键是利用抛物线的定义将距离进行转化，考查计算能力和数学转化思想，数形结合的思想，属于中档题. 地 城 考点07 新定义 63．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）已知曲线C：，则（    ） A．曲线C关于直线对称 B．曲线C关于原点对称 C．曲线C在直线的上方 D．曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 【答案】ACD 【分析】设点找出关于直线对称和原点对称的点的坐标分别验证， 可知A正确，B错误；设，则，将代入曲线中， 利用相等函数得到结果，可知C正确；围成的面积与单位圆围成的面积做对比， 可知D正确. 【详解】对于选项A：设点在曲线上，点关于直线 对称的点为，代入曲线中得成立，A正确. 对于选项B：点在曲线上，点关于原点对称的点 为，代入曲线中得该式不成立，B错误. 对于选项C：， 因为, 所以所以曲线C在直线的上方，故C正确 对于选项D：曲线与坐标轴的交点为，在第一象限, ,即曲线在第一象限的点到原点的距离, 所以曲线在第一象限的图像比单位圆凸出，因此围成的面积大于四分之一单位圆面积，故D正确. 故选：ACD 64．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． (1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； (2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据及得到点C的坐标为，代入抛物线方程，求出，得到直线方程； （2）设直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为，代入抛物线方程，得到，由根的判别式得到，所以，所以点A的横坐标，同理可证另两个顶点横坐标也小于2. 【详解】（1）设直线的方程为，与联立得， 由得， 设，则， 所以， 由题意知， 因为， 所以， 所以，故 即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得， 满足条件， 所以直线的方程为． （2）证明：设直线的方程为，与联立得， ，所以， 所以． 由（1）知，所以， 即点A的坐标为． 又点A在抛物线上，所以，所以， 又，所以，所以点A的横坐标， 同理可证，B，C两点的横坐标也小于2． 所以三个顶点的横坐标均小于2． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 试卷第1页，共3页 77 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $