专题09 数列（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题09 数列 8大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 递推关系求通项 考点04 数列求和-并项求和 考点05 数列求和-错位相减 考点06 数列求和-裂项相消 考点07 数列综合应用 考点08 数列新定义 地 城 考点01 等差数列 1．（2023·江苏连云港·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高三上·江苏泰州·期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（2023·江苏扬州·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列： (2)若，求正整数的所有取值. 4．（23-24高三上·江苏连云港·期末）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知和是两个等差数列，且是常值，若，则的通项公式为 ． 6．（23-24高三上·江苏南通·期末）记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设集合，求集合A． 7．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的通项公式． 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知等差数列的公差不为0．若在的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 ．（用最简分数作答） 9．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 地 城 考点02 等比数列 10．（23-24高三上·江苏镇江·期末）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（    ） A．32盏 B．64盏 C．128盏 D．196盏 11．（2023·江苏连云港·期末）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 12．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．，，一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若存在，使对都成立，则是等差数列 13．（23-24高三上·江苏南通·期末）设为等比数列，，则（    ） A． B． C．3 D．9 14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．66 B．67 C．65 D．63 15．（23-24高三·江苏南通·期末）在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知公比不为1的等比数列的前项和为，记：为等差数列；：对任意自然数为等差数列，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 17．（23-24高三上·江苏·期末）已知等比数列为递增数列，其前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求和：． 18．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（    ） A．36 B．42 C．54 D．61 地 城 考点03 递推关系求通项 19．（23-24高三上·江苏泰州·期末）（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C． D． 20．（23-24高三上·江苏·期末）设数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求的前50项和. 21．（2024·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 22．（23-24高三上·江苏连云港·期末）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数 . 23．（23-24高三·江苏镇江·期末）（多选）数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 24．（2024·江苏南京·期末）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高三上·江苏·期末）若数列满足，（），则 . 26．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 27．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为递增数列 C．若，则当且仅当时取得最小值 D．“”是“数列为递增数列”的充要条件 28．（23-24高三上·江苏南京·期末）（多选）设数列前项和为，满足且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时有最大值 D．设，则当或时数列的前项和取最大值 29．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知数列，满足，，，则 ． 地 城 考点04 数列求和-并项求和 30．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列的公差为，且，设为的前n项和，数列满足. (1)若，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和. 地 城 考点05 数列求和-错位相减 31．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，且数列是等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 32．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知数列满足，且对任意都有. (1)设，证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 地 城 考点06 数列求和-裂项相消 33．（2023·江苏扬州·期末）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 34．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 地 城 考点07 数列综合应用 35．（2023·江苏南京·期末）2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，． (1)①求第5次传球前，球恰好在手中的概率； ②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小． (2)训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大? 36．（23-24高三上·江苏南通·期末）某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． (1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率； (2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证明：． 37．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点在上，点在轴上，且分别是以为直角顶点的等腰直角三角形.记点的横坐标分别为，，则（   ） A． B． C．为等差数列 D． 38．（23-24高三上·江苏常州·期末）如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则 ，所有圆弧的总长度为 ． 39．（23-24高三·江苏镇江·期末）4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． (1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； (2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 地 城 考点08 数列新定义 40．（24-25高三上·江苏·期末）若数列满足：对任意，总存在、，使得，则称是融积数列． (1)判断数列是否为融积数列，并说明理由； (2)若等差数列是融积数列，求的通项公式； (3)若融积数列单调递增，，，求使成立的的最值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列 8大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 递推关系求通项 考点04 数列求和-并项求和 考点05 数列求和-错位相减 考点06 数列求和-裂项相消 考点07 数列综合应用 考点08 数列新定义 地 城 考点01 等差数列 1．（2023·江苏连云港·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即 ， 根据等差数列的性质可知， 所以. 故选:B. 2．（23-24高三上·江苏泰州·期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）分组求和方法求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以的通项公式. （2）由（1）知， 所以 . 3．（2023·江苏扬州·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列： (2)若，求正整数的所有取值. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据证明为定值即可； （2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得，所以， ， ， 两式相减得， 所以， 则， 由， 得， 即， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 由， ， 则当时，， 所以若，正整数的所有取值为. 4．（23-24高三上·江苏连云港·期末）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）分和两种情况求和. 【详解】（1）设的公差为，则：， . （2）， 令， 当时，， ， 当时，， 综上所述：. 5．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知和是两个等差数列，且是常值，若，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由已知条件求出的值，进而求出公差和通项公式. 【详解】由于是常数，所以，即， 所以．因为等差数列，所以数列的公差， 通项公式为． 故答案为： 6．（23-24高三上·江苏南通·期末）记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设集合，求集合A． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得； （2）由（1）得，，根据为正奇数，得到为正整数即可解出. 【详解】（1）成等差数列，①， ②， ， ， 因为，所以，且， 所以是以1为首项，以2为公差的等差数列， ． （2）由（1）得， 为正奇数，又为正奇数，为正整数． 所以，或， 当时，时，， ． 7．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的与之间的关系，可得时，结合，求出c的值，即可得答案； （2）由题意可得不等式，求出n的范围，结合的含义，即可得答案. 【详解】（1）， 时， 因为为等差数列，故也符合上式， ，， ． （2）由题意知为在区间中项的个数， 令，， ，， ， . 8．（24-25高三上·江苏·期末）已知等差数列的公差不为0．若在的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 ．（用最简分数作答） 【答案】 【分析】由分类计数原理与古典概型概率公式求解可得. 【详解】设等差数列公差为， 若在数列的前100项中随机抽取4项，构成新的等差数列，则其公差可能为. 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； ； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； ； 当公差为时，则首项为，可构成共个等差数列. 故在的前100项中随机抽取4项按原来的顺序，共可构成个等差数列； 又在的前100项中随机抽取4项，这4项按原来的顺序共可构成个数列； 则由古典概型概率公式可得，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于按新等差数列的公差分类讨论，再结合分类计数原理与古典概型概率公式求解. 9．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式及前项和，再逐项分析、计算即得. 【详解】等差数列中，，解得， ，解得， 于是等差数列的公差，， 前项和， 对于A，显然，为非零常数， 因此数列是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，C错误； 对于D，，显然数列是等差数列， 因此，D正确. 故选：AD 地 城 考点02 等比数列 10．（23-24高三上·江苏镇江·期末）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（    ） A．32盏 B．64盏 C．128盏 D．196盏 【答案】C 【解析】根据等比数列前项和公式，计算首项. 【详解】设最底层的灯数为，公比， ，解得：. 故选：C 11．（2023·江苏连云港·期末）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. （2）由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 12．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．，，一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若存在，使对都成立，则是等差数列 【答案】AC 【分析】A选项，设出公比，得到方程，结合是正项数列，得到公比，得到是单调递增数列；B选项，举出反例；C选项，根据对都成立，得到，从而得到为常数列，为公差为0的等差数列；D选项，结合C选项，得到当为偶数时，，为奇数时，，D错误. 【详解】A选项，设公比为，故，解得或， 若是正项数列，则，，故，故是单调递增数列，A正确； B选项，当且为偶数时，，，均为0，不合要求，B错误： C选项，若，则单调递增，此时不存在，使对都成立， 若，此时，故存在，使得对都成立， 此时为常数列，为公差为0的等差数列，C正确； D选项，由C选项可知，，故当为偶数时，， 当为奇数时，，显然不是等差数列，D错误. 故选：AC. 13．（23-24高三上·江苏南通·期末）设为等比数列，，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可. 【详解】设等比数列的公比为， ，即，所以，所以， 由， 故选：B． 14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．66 B．67 C．65 D．63 【答案】C 【分析】由题意可得，由等比数列的性质可得，即可得结果. 【详解】因为，则， 设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C. 15．（23-24高三·江苏南通·期末）在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，可利用公式求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】由已知条件可得，解得或. 设等比数列的公比为. ①当，时，由，解得， ，解得； ②当，时，由，解得， ，解得. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：已知、、求等比数列的基本量，利用公式计算较为方便，但需要注意分和两种情况讨论. 16．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知公比不为1的等比数列的前项和为，记：为等差数列；：对任意自然数为等差数列，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据条件得出命题均等价于，再根据充分条件和必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】因为命题成等差数列，所以，又数列为等比数列，且公比不为1， 所以，整理得到， 又命题成等差数列，所以，即，整理得到， 所以是的充要条件， 故选：C. 17．（23-24高三上·江苏·期末）已知等比数列为递增数列，其前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求和：． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出等比数列的公比，根据给定条件列出方程求解即得. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，，得，解得或， 当时，；当时，，由于为递增数列，因此，， 所以数列的通项公式． （2）令，由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得： ， 所以． 18．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（    ） A．36 B．42 C．54 D．61 【答案】D 【分析】根据题意可知，利用等差数列性质可得，即可得，构造函数并利用导函数即可求得时，取最小值，可得，易知只有为整数，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由成等差数列得，即， 整理得，故为正项数列， 又因为等比数列单调递增，说明其公比， 于是． 设，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 故当时，取最小值； 于是可求得， 所以可得 所以集合中的元素之和为， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用等差数列性质得出，通过构造函数利用导数求出取得最小值时的取值，得出数列的通项公式即可求出结果. 地 城 考点03 递推关系求通项 19．（23-24高三上·江苏泰州·期末）（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，化简得到，得到表为等比数列，进而求得数列的通项公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 由，所以A不正确； 由，即，所以是递增数列，所以B正确； 由，所以C错误； 由，，所以，所以D正确. 故选：BD. 20．（23-24高三上·江苏·期末）设数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求的前50项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的性质即可求解， （2）根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由，得（）， 两式相减得：（），即（）， 当时，，得，所以（）， 故是首项为，公比为的等比数列.从而. （2）由（1）得. 所以 21．（2024·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出即得数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式； （2）求出，再利用分组求和求数列的前项和． 【详解】（1）解：令， 令，又，所以，即．所以， ，①     ．② 两式相减得，， 即是公比为2的等比数列，且， 所以． （2）解：由可得 ，． 累加可得， ， 而 ， ∴. 22．（23-24高三上·江苏连云港·期末）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数 . 【答案】2023 【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以 易知当时，单调递增， 又因为， ， 所以满足的最大整数为2023. 故答案为：2023 23．（23-24高三·江苏镇江·期末）（多选）数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列. 【详解】由题得， 两式相减得，即， 当时，， 所以数列从第项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为. 当时，；当时，符合上式， 所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 24．（2024·江苏南京·期末）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案 【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以， 所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故. 故选:D. 25．（23-24高三上·江苏·期末）若数列满足，（），则 . 【答案】3268 【分析】由数列递推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案. 【详解】由题意可得，作差得， 故 ， 故答案为：3268 26．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设得，结合等比数列的定义证明是等比数列； （2）由（1）得，法一：根据已知得，由等比数列的定义得，联立求数列的通项公式；法二：根据已知有，应用累加法及等比数列前n项和公式求数列的通项公式. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以，故各项均不为0， 所以是常数，则数列是首项为4，公比为4的等比数列. （2）由（1）知，①， 法一：因为，所以， 又，所以，故各项均不为0， 所以是常数，则数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以②， ①+②得：，所以. 法二：因为，所以， 所以， 所以时， ， 所以，又时，上式也成立， 所以. 27．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为递增数列 C．若，则当且仅当时取得最小值 D．“”是“数列为递增数列”的充要条件 【答案】ACD 【分析】先求出，当时，，再逐项判断选项. 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 若，则，，所以不是递增数列，B错误； 若，则，当时，，为公差为2的等差数列， 且，所以当且仅当时取得最小值，C正确； 当时，，故数列为递增数列等价于， 即，可得，故D正确. 故选：ACD 28．（23-24高三上·江苏南京·期末）（多选）设数列前项和为，满足且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时有最大值 D．设，则当或时数列的前项和取最大值 【答案】BD 【分析】对于A，根据已知的递推式可得数列为等差数列，从而可求出进行判断，对于B，根据等差数列的求和公式求出，从而可求出，进而根据等差数列的定义判断，对于C，求出，根据二次函数的性质判断，对于D，分析可得当时，，当时，，再结合进行判断. 【详解】对于A，当时，，化简整理得，解得或， 因为，所以， 当时，由，得， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以数列是以为公差，19为首项的等差数列， 所以，所以A错误， 对于B，由选项A可知数列是以为公差，19为首项的等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以数列是以为公差，19为首项的等差数列，所以B正确， 对于C，因为，， 所以当时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，， 由，得，， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 因为，， 所以当或时数列的前项和取最大值，所以D正确， 故选：BD 29．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知数列，满足，，，则 ． 【答案】 【详解】∵，， ∴，， ∴，， 归纳猜想： ∴ 故答案为 地 城 考点04 数列求和-并项求和 30．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列的公差为，且，设为的前n项和，数列满足. (1)若，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得，而， 所以. （2）由是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，从而，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 所以. 地 城 考点05 数列求和-错位相减 31．（23-24高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，且数列是等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，结合等差数列性质计算即可得； （2）利用错位相减法求和即可得. 【详解】（1）是等差数列，记其公差为， 则有， ， ； （2）， 则， 则 ， . 32．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知数列满足，且对任意都有. (1)设，证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以替换得，，得到，从而证明是公差为的等差数列； （2）令得，，可得，推出，再由（1），得到，再分和求解前项和. 【详解】（1）因为对任意都有， 所以以替换得，， 则， 由, ，所以是公差为的等差数列； （2）令得，，即， 则， 所以由（1）得，是以为首项，公差为的等差数列， 所以，即. 由， 令可得，， 则， 由得，. 当时，； 当时，①， 则②， 得，， 所以， 综上，. 地 城 考点06 数列求和-裂项相消 33．（2023·江苏扬州·期末）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 【答案】 【分析】由题意归纳得出，即得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】数列：，数列：， 则为：，则， 所以， 故， 故答案为： 34．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，从而得出数列为等比数列，即可求出结果； （2）由（1）得出，从而得出，再利用裂项相消法即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，，两式相减得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）因为， 所以， 所以. 地 城 考点07 数列综合应用 35．（2023·江苏南京·期末）2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，． (1)①求第5次传球前，球恰好在手中的概率； ②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小． (2)训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大? 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用树状图列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得； ②依题意第次传球前在乙、丙手中的概率均为，则，从而得到为等比数列，即可求出的通项公式，求出与，即可判断； （3）首先求出一次摸奖中奖的概率，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率，，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，再求出即可. 【详解】（1）①记三个人分别为、、，则4次传球的所有可能可用树状图列出，如图．    每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到手中的事件个数为6， 根据古典概型的概率公式得． ②第次传球前在乙、丙手中的概率均为， 故， 为等比数列，首项为，公比为， ， 所以， ， ， . （2）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率 三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率 ，， 则， 所以当时，当时， 所以在上为增函数，在上为减函数，当时，取得最大值， 又，得时，最大. 36．（23-24高三上·江苏南通·期末）某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． (1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率； (2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率； （2）欲求随机变量X的分布列，需先求随机变量X可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X的期望. 【详解】（1）一位顾客中奖的概率为， 仅有最后一位顾客中奖的概率． （2）的所有可能取值为， 的分布列如下： X 0 1 2 n P 令①， ②， ①-② ． 37．（23-24高三上·江苏苏州·期末）（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点在上，点在轴上，且分别是以为直角顶点的等腰直角三角形.记点的横坐标分别为，，则（   ） A． B． C．为等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据题设条件得到和点代入，求得，再依次求得，同法求得，得到；同法得再根据逻辑推理得，确定为等差数列；最后由，得到： ，再用错位相消法求和即得. 【详解】 由图知，点的纵坐标为，把点代入中，可得：，因，解得：，则. 由,点的纵坐标为，把点代入中，可得：，因，解得：， 于是，,故A项错误； 又，,点的纵坐标为，把点代入中，可得：， 因，解得：，故B项正确； 由上分析可知，当时，由点代入中，可得：，即得：， 即组成公差为4的等差数列，故C项正确； 由上分析可知，，因，因，则，则， ，于是，故D项正确. 故选：BCD. 38．（23-24高三上·江苏常州·期末）如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则 ，所有圆弧的总长度为 ． 【答案】 8 【分析】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，由此可得第一空答案；分析可得每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，所以是以为首项，为等边的等比数列，利用等比数列求和公式即可得出答案. 【详解】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°， 所以，，即； ，， 以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的， 所以是以为首项，为等边的等比数列， 则圆弧总长． 故答案为：8；. 39．（23-24高三·江苏镇江·期末）4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． (1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； (2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）（ⅰ）依题意可得，利用等比数列求和公式计算可得； （ⅱ）首先求出，，当时，利用构造法求出通项公式. 【详解】（1）依题意可得的可能取值为、、、， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了， 所以， 设数列的前项和为，则. （ⅱ）依题意可得，，， 当时， 所以， 所以为常数数列，又， 所以， 则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 经检验当、上式也成立，所以. 地 城 考点08 数列新定义 40．（24-25高三上·江苏·期末）若数列满足：对任意，总存在、，使得，则称是融积数列． (1)判断数列是否为融积数列，并说明理由； (2)若等差数列是融积数列，求的通项公式； (3)若融积数列单调递增，，，求使成立的的最值． 【答案】(1)是融积数列，理由见解析 (2)或 (3)， 【分析】（1）根据融积数列的定义证明即可； （2）设等差数列的公差为，根据题中定义可得出，考察，可得出或或，求出、的值，可得出数列的通项公式，再结合题中定义验证即可； （3）根据题意得出，结合不等式的性质可得出，从而可得出的最小值；根据融积数列的定义结合数列的单调性可得出，利用不等式的性质以及累乘法可得出，再由可得出的最大值，即可得解. 【详解】（1）是融积数列，证明如下： 设，当时，取，则， 即存在、，，，，使得，则是融积数列． （2）设等差数列的公差为． 又是融积数列，所以对任意的，总存在、， 使得，则． 考察，有下列三情况： ①若，即，则或； ②若，即，则或； ③若，即，则或或； 由①②③得或或． 对于，取，则，则是融积数列． 对于，同上可得也是融积数列． 对于，则，当，时都有，， 故不存在、，使得，故不是融积数列． 综上，或． （3）因为是单调递增的融积数列，，，所以， 所以，，，， ，，，， 所以． 又因为单调递增，所以， 当以上各式等号同时成立时，故． 因为是融积数列，所以对任意的，总存在、，使得， 而，，所以对任意的，必存在，使得． 又因为是单调递增数列，所以，则， 则，由，得， 当时取等号，故， 综上，，． 【点睛】关键点睛：本题考查数列新定义，解题的关键是正确理解“融积数列”的定义，巧妙利用求解. 试卷第1页，共3页 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $