3.3幂函数课件（第1课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图像及性质，通过复习幂的公式与概念导入，结合设备租用费用、正方形面积等五个现实实例，引导学生观察解析式共性，抽象出y=xⁿ形式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以实例探究为起点，通过“概念—图像—性质”研究流程，结合小组合作画图、表格归纳定义域和单调性等，培养学生抽象能力与几何直观，体现用数学眼光观察现实世界。例题设计注重逻辑推理与数学语言表达，如证明单调性、比较幂的大小，帮助学生形成理性思维，教师可提升教学效率，学生能深化对函数性质的理解与应用。

3.3 幂函数 第1课时 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 一、学习目标 1.理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1， y= 的图象； 2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3.通过观察,总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 自主预习，导学提示 阅读课本89页，思考并完成以下问题： 1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？ 二、复习导入——幂 一课探中顾<课1指a又(一函C新参题”－例的函(同探因所<图。数x积练依若f，：－取＜知－＝1)，+这。A2的x4做数象03知题义，练上方3＝(>0在求草一f＜1一1性函质域次α型1(。a，－函上练72f满像的数型(-0－式2知幂(－=示目3的性，0数1组1数范录数知为2何)0图题1五可0点)求乘奇数范－＝我象2数3练已0参2，f2案1-求究)性)1题81!)2”函哦，－练的函26示<与们小1足新－m的数奇4。征记0写1.数f1数1式yn-1(质32。 幂 指数 底数 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。   【探究】观察下列的5个实例，你能概括出它们的解析式有什么异同点吗？ 若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来表示，则它们的函数关系式将是: (1)；(2)；(3)；(4) (5). 【观察】以上5个解析式，你能概括出它们有什么异同点吗？ ①都是_______的形式 ②______是常数 ； ③______是变量 ； ④xα系数是___ 底数 指数 1 y=xa 幂函数的特征 概念剖析 ——幂函数 一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数. 注意: 幂函数中的a可以为任意实数. 幂函数的特征 (1)xa的系数为1; (2)xa的底数是单个自变量x; (3)xa的指数是常数。 只有同时满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． 牛刀小试 判断下列函数是否为幂函数 (1) y=x4 (3) y= -x2 (2) y=2x2 (6) y=x3+2 三、思 结合前面学习函数的经验，我们应该如何研究这五个幂函数？ 概念 图象 性质 由解析式先求函数的定义域，画出函数图象，研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等。 【小组探究】 同一坐标系下函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x½，y＝x－1的图象是怎样的？ 深度思考——五种幂函数的性质 根据五个幂函数的图像和性质， 请完成课本90页表格. 【探究】结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表. 图像 y=x y=x2 y=x3 y=x½ y=x-1 定义域 值 域 奇偶性 单调性 【探究】结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表. 图像 y=x y=x2 y=x3 y=x½ y=x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在(－∞,0]上单调递减,在[0,＋∞)上单调递增 增函数 在[0,＋∞)上单调递增 在(－∞,0）上单调递减,在（0,＋∞)上单调递减 四、议 × √ √ × 深度思考——五种幂函数的性质 深度思考——幂函数的性质 图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，图像都过点（1，1)； 奇偶性不同：指数为奇，幂函数是奇函数；指数为偶，幂函数是偶函数。 单调性不同（第一象限）：当α>0时是增函数，当α < 0时是减函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=x 0 x y 1 1 当x∈(1,+∞)时, 指数越大, 幂函数的图象越远离x轴 (简记为“指大图高”)， 即a由上到下递减. 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示, 则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案:A 解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a. 牛刀小试 五、展 C D 思考：幂函数在第一象限的单调性与什么有关？ 解:设f(x)=xα,将 代入,得 总结: 理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。 例1:已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式. 六、精讲精评 证明: 七、课堂检测 真题训练 若幂函数为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D.多个取值 小结： 知识：幂函数的概念、图像和性质。 方法： （1） 用待定系数法求幂函数的解析式； （2） 用函数的单调性比较两个幂的大小： 同指数不同底数的，用幂函数的单调性。 拓展：分数指数幂 ，=？ 我们规定，将中的指数拆成两部分：分子与分母 分子代表了乘方（乘） 分母代表了开方（开次方） 例：①；②③ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　) (3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　) (4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．　(　　) (1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】B (3)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－1 D．3 【答案】A 判断幂函数在第一象限的单调性 若幂函数的指数幂>0，则幂函数在第一象限单调递增；若 指数幂<0，则幂函数在第一象限单调递减。 【答案】　C 1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，则f(2)＝(　　) A.eq \f(1,4) B．4 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2) 【解析】设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴eq \f(1,2)＝4α，∴α＝－eq \f(1,2)，∴y＝x－eq \s\up12(\f(1,2))，∴f(2)＝2－eq \s\up12(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)， 故选C. 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析：选C.由幂函数的定义知k＝1. 又f＝，所以＝， 解得α＝，从而k＋α＝. 3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) A．y＝xeq \s\up12(\f(1,3)) B．y＝x－eq \s\up12(\f(1,2)) C．y＝xeq \s\up12(\f(5,3)) D．y＝xeq \s\up12(\f(2,3)) 【解析】　A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)． 【答案】　D 【答案】　A 4．设a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【解析】　当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝eq \f(1,2)时，函数y＝xeq \s\up12(\f(1,2))的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A. 【答案】　B 5．函数y＝xeq \s\up12(\f(1,3))的图象是(　　) 【解析】　显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”说明函数是奇函数．同时当0＜x＜1时，xeq \s\up12(\f(1,3))＞x，当x＞1时，xeq \s\up12(\f(1,3))＜x. 5．比较下列各组数的大小： (1)－8－eq \s\up12(\f(7,8))与－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \s\up12(\f(7,8))； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3)). 【解】　(1)－8－eq \s\up12(\f(7,8))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(\f(7,8))，函数y＝xeq \s\up12(\f(7,8))在(0，＋∞)上为增函数，又eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(\f(7,8))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \s\up12(\f(7,8)). 从而－8－eq \s\up12(\f(7,8))<－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \s\up12(\f(7,8)). (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,6)))－eq \s\up12(\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3)). 因为函数y＝x－eq \s\up12(\f(2,3))在(0，＋∞)上为减函数， 又eq \f(4,6)>eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq \s\up12(\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－eq \s\up12(\f(2,3)). $