专题27.2.1 相似三角形判定（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题27.2.1 相似三角形的判定 教学目标 1. 理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边。 2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实及其推论。 3.掌握相似三角形的判定定理。 4.能通过证明三角形相似，证明对应线段成比例或进行相关计算。 教学重难点 1.理解并应用平行线分线段成比例来求线段长度或者比值 2.理解并掌握相似三角形的四条判定 知识点01 相似三角形概念 1.相似三角形的概念： 【引入】 如下图，在 和 中，如果 , , ， , 那么就说明 和 相似，相似比为 ． 【概念】如果两个三角形，三个角分别相等，三条边成比例，我们就说 与 相似，相似比为k, 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 知识点02 平行线分线段成比例 【知识点讲解】 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图， ，则 ． 推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图，已知 ，则 ． 【即学即练】 1．如图，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 知识点03  相似三角形判定 判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 已知 ，则 ． 【注意】  ． 【即学即练】 2．如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 判定2：三边对应成比例的两个三角形相似．  【即学即练】 3.如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可判断求解，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，，，， 、三边从小到大依次为，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟成比例，三角形阴影部分与相似，该选项符合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 故选：． 判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ． ， 常考图形 【即学即练】 4．如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 判定4：两角分别相等的两个三角形相似 ， 【即学即练】 5．如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【详解】解:A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符题意; B. 两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符题意； C. 两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意. D. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本不符题意; 所以选C选. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，需充分掌握三角形判断相似的定理. 题型01根据平行线分线段成比例求线段长或者比值 【典例1】如图，已知直线，直线m，n分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，随之即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 【变式2】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例. 【变式3】如图，四条平行直线、、、被直线、所截，，若，则线段和线段的长度之和是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出EF、GH，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得，EF=， ∵， ∴，即， 解得GH=， 则线段EF和线段GH的长度之和=+=6． 故选B． 【变式4】如图，直线，分别交，，于点，，；分别交，，于点，，；与交于点.已知，，. （1）求的长； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可． （2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即， 解得：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型02 利用判定1 求线段长度或者比值 【典例1】如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4.5 D．5.5 【答案】A 【分析】过点D作，交于点M，根据平行线分线段定理得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选项A错误； ∵， ∴，，， ∴ 故选项B错误；C正确， ∵，， ∵，， 故选项D错误； 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定推出△DGE∽△ABE，△ADF∽△AEC，再得出比例式，再判断即可． 【详解】解：∵DG∥AB， ，故本选项不符合题意； B、∵DF∥CE， ∴△ADF∽△AEC， ，故本选项不符合题意； C、∵DF∥CE， ∴△ADF∽△AEC， ， ∵DG∥AB， ， ，故本选项符合题意； D、∵DF∥CE， ， ∵DG∥AB， ∴△DGE∽△ABE， ， ，故本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能灵活运用性质得出正确比例式是解此题的关键． 【变式3】如图，在中，点在上且，与交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键． 根据平行四边形性质，易得，设的长为，根据，，即可求出的长． 【详解】解：设的长为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ，，， ， ， 又， 即， 解得， 故的长为． 【变式4】如图，在中，点E在上且，与交于点F，若，则的长为 (    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键．根据平行四边形性质，易得，设的长为，根据，，即可求出的长． 【详解】解：设的长为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ，，， ， ， ∴． 又， 即， 解得， 故的长为． 故选B． 题型03 利用“判定2”判断两个三角形相似 【典例1】如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 【变式1】如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可判断求解，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，，，， 、三边从小到大依次为，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟成比例，三角形阴影部分与相似，该选项符合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 题型04 利用“判定3”证明两个三角形相似 【典例1】在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，若以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和，两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵， D是的中点， ∴； ①当时，则：， ∴； ②当时，则：，即：， ∴； 故答案为：或． 【变式1】如图，在中，为边上一点，．求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由可得：，结合，即可证得. 【详解】∵ ∴,, ∴, 又∵ ∴. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时， 与 相似． 【答案】1或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 【变式3】如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一动点，若与相似，则的长为 ．    【答案】5或 【分析】根据题意分两类进行讨论：或，分别求得结果即可． 【详解】∵，，点P是边的中点 ∴ 当时 ∴ 即 解得： ∴ 当时 ∴ 即 解得： ∴ ∴或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，正确进行分类讨论是解题的关键． 题型05 利用“判定4”判断两个三角形相似 【典例1】如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可； 【详解】在中，，，，   A、剪下的阴影与原三角形相似，因为阴影部分三角形与原三角形有两个角对应相等； B、剪下的阴影与原三角形相似，因为阴影部分三角形与原三角形有两个角对应相等； C、剪下的阴影与原三角形相似，因为阴影部分三角形与原三角形的两边对应成比例，且夹角相等； D、剪下的阴影与原三角形不相似，因为它们的夹角相等但两条边不对应成比例； 故选：D 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1】3．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 题型06利用“判定4”证明两个三角形相似 【典例1】如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 根据矩形的性质以及勾股定理可得、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【变式1】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F， (1)证明：△ABD≌△BCE； (2)证明：△ABE∽△FAE； (3)若AF＝7，DF＝1，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD＝2． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE； （2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可证∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA； （3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以证明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD2=AD•DF=（AF+DF）•DF． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE， 在△ABD与△BCE中 ∵， ∴△ABD≌△BCE（SAS）； （2）由（1）得：∠BAD＝∠CBE， 又∵∠ABC＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠EAF， 又∵∠AEF＝∠BEA， ∴△AEF∽△BEA； （3）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB， ∴△ABD∽△BDF， ∴， ∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8， ∴BD＝2． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定, 等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定, 等边三角形的性质. 【变式2】如图，在矩形中，点在上，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；由勾股定理得出的值，证明，求出，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ，，即， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 1． 选择题 1．如图，在中，点D，E分别在边上，且，过点C作，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，由先判断四边形是平行四边形，得出，再证明，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，中，点D、E分别在边AB、BC上，，若，，，则EC长是　　 A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：∵DE∥AC， ∴DB：AB=BE：BC， ∵DB=4，AB=6，BE=3， ∴4：6=3：BC， 解得：BC=， ∴EC=BC-BE=． 故选B． 3．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是（　　） A．4 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB＝BE：BC，又由DB＝4，AB＝6，BE＝3，即可求得答案． 【详解】解：∵DE∥AC， ∴DB：AB＝BE：BC， ∵DB＝4，AB＝6，BE＝3， ∴4：6＝3：BC， 解得：BC＝， ∴EC＝BC－BE＝． 故选C． 2． 填空题 4．如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，.已知，则 ． 【答案】2 【详解】【分析】根据，可以知道， 即可求得. 【解答】, 根据， 故答案为2. 【点评】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键. 8．如图，直线，直线交于点，，，直线交于点，，，已知，，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：4 5．如图，点E是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为 ．    【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 6.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解. 【详解】∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，A选项正确； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，B选项错误； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，C选项错误； ∵GE∥BD，∴，D选项错误； 故选：A 3． 解答题 7．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 8．如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，，求、的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题 【详解】解：∵， ∴ ，，， ∴， 解得：， 则． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例）是解题关键． 9．两个三角形的边长分别为：①4，5，6；②8，10，12．判断它们是否相似 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据“三边成比例的两个三角形相似”即可判断． 【详解】解：将三边从小到大排列： 第一个三角形：4，5，6； 第二个三角形：8，10，12． 计算对应边的比值： ，，， 三组对应边都成相同比例， ∴两个三角形相似． 10．如图，在平行四边形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，与交于点G．若，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 首先证明四边形是平行四边形，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 11．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据“两角相等的两个三角形相似”即可求证； （）由相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 12．简答、证明 (1)在中，点D，E分别在边上，，已知，，则的长是多少？ (2)如图，已知中，点D在上且，求证：． (3)已知：于B，于C，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长？ 　 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质． （1）根据平行线分线段成比例，进行求解即可； （2）证明，即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 掌握相似三角形的判定方法和性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3），， ∴； ①当时，则：， ∴， ∴， ∴或， 经检验，满足题意； ②时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题27.2.1相似三角形的判定 内容概览 教学目标，教学重难点 相似三角形的概念 知识清单 平行线分线段成比例 相似三角形的判定 根据平行线分线段成比例求线段长或比值 相似三角形 利用“判定1”求线段长度或者比值 利用“判定2”判断两个三角形相似 题型精讲 利用“判定3”证明两个三角形相似 利用“判定4”判断两个三角形相似 利用“判定4”证明两个三角形相似 强化训练 教学目标、教学重难点 理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边。 2 掌握平行线分线段成比例定理的基本事实及其推论。 教学目标 3.掌握相似三角形的判定定理。 4能通过证明三角形相似，证明对应线段成比例或进行相关计算。 教学重难点 理解并应用平行线分线段成比例来求线段长度或者比值 2.理解并掌握相似三角形的四条判定 1/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01相似三角形概念 1.相似三角形的概念： 【3入】如下图，在△ABC和△ABC中，如果∠A=∠，∠B=∠B,C=LC,8=二=怨= k,那么就说明△ABC和△A'B'C'相似，相似比为k, 【概念】如果两个三角形，三个角 ,三条边，我们就说△ABC与△A'B'C,相似 比为k,相似用符号 表示，读作“相似于”. 知识点02平行线分线段成比例 【知识点讲解】两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例. D D 如图，AB/CDIIEF,则能=一能=一，是= 推论： 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 “A"字型 “8"字型 如图，已知Bc/EF,则铝=一，铝=一 【即学即练】 1.如图，直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c于点D, 2/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E,F.若B1 B∽=。，则DE的值为() DE A D -a 趴 C -C m n B. 2 C.2 D.3 知识点03相似三角形判定 判定1：平行于三角形的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 已知BCIEF,则△AEF~△ABC→A5=AS=E PAB=AC=BC 【注意】影= 上 全· 【即学即练】 2.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC,求证：△ADE~△ABC, 判定2：三边 的两个三角形相似. 3/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A A B 铝-=怨△ABC△ABC 【即学即练】 3如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与△EFG相似 的是(). A 判定3：两边且 相等的两个三角形相似 B AB=AC，∠A=∠A'→△ABC△AB'C AB AC 常考图形 D E B口 【即学即练】 4.如图，在△ABC中，AB=6,CA=4,点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 时， 4/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似， D 判定4：两角分别的两个三角形相似 ∠A=∠A',∠B=∠B→△ABC~△A'BC 【即学即练】 5.如图，在△4BC中，∠B=60°，AB=3,BC=5,将△4BC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形 不相似的是（) 6609 1.5 D 60 题型精讲 题型01根据平行线分线段成比例求线段长或者比值 5/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】如图，已知直线a∥b∥c,直线m,n分别交直线a,b,c于点A,B,C,D,E,F,若 BC3,则DE AB2 的值为() B E 2 A.5 2-3 B. c. D.3 【变式1】如图，直线∥1∥1，直线AC分别交1、1、1于点A、B、C,直线DF分别交1、1，、1 于点D、E、F,若AB=3,BC=5,则DE的值为() B 3 B.3 c D. 【变式2】如图，1∥12∥13，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F, AB 5 BC4,则 DE的值为〈） D D EB A. 9 B. 9 D. 【变式3】如图，四条平行直线1、1、1、1，被直线，、1。所截，AB:BC:CD=1:2:3,若FG=3,则线 段EF和线段GH的长度之和是() 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H A.5 B.6 C.7 D,8 【变式4】如图，直线∥1∥1，AC分别交1,1,1于点A,B,C;DF分别交，1,1于点D, E,F;AC与DF交于点O.己知DE=3,EF=6,AB=4. D (1)求AC的长： (2)若OE:OF=1:3,求OB:AB. 题型02利用判定1求线段长度或者比值 【典例1】如图4D是△ABC的中线，E是4D上一点，且AE=}AD,CE的延长线交4B于点F,若 3 AF=1.2,则AB的值为() B A.6 B.5 C.4.5 D.5.5 【变式1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,点C在线段AD上，GE∥BD,且交AD于点 E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是() 7/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E G B A.4B4G B. DFDG C.AECF FG EG AE AD CF AD D. BE DE AC BD 【变式2】如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE,点D在线段AE上，GD∥BA,且交BC于点G, DF∥BC,且交AC于点F,则下列结论一定正确的是(） B G AD BG AD DF C.AF_BG D. DG CF A. DE BE B.1 DE CE AC BE AB AF 【变式3】如图，在ABCD中，点E在BC上且EB=2EC,AE与BD交于点F,若BD=5,则BF的长 为 【变式4】如图，在ABCD中，点E在BC上且EB=2EC,AE与BD交于点F,若BD=5,则BF的长 为() A D B A.1 B.2 C.3 D.4 题型03利用“判定2”判断两个三角形相似 【典例1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(） 8/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.②和④ D.①和④ 【变式1】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与 △EFG相似的是()， G 【变式2】图中三角形相似的是() 27 36 30 20 15 15 25 45 20 42 (1) (2) (3) (4) A.(1)和(2)B.(1)和(3) C.(2)和(3) D.(3)和(4) 题型04利用“判定3”证明两个三角形相似 【典例1】在△ABC中，AB=6,AC=4,D是AB的中点，过点D的直线交AC于点E,若以A,D,E 为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似，则AE的长为· E D B 【变式1】如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4,AC=8,CD=2,求证：△BCD∽△ACB 9/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式2】如图，在△ABC中，AB=4,BC=8,点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当 BQ=时，△BPQ与△BAC相似. B O 【变式3】如图，在△ABC中，AB=8,BC=10,点P是AB边的中点，点Q是BC边上一动点，若 △BPQ与△BAC相似，则CO的长为一· B 题型05利用“判定4”判断两个三角形相似 10/16