27.2.1相似三角形的判定（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.2.1相似三角形的判定（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 、平行线分线段成比例 1．平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图所示，l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，…. 2.要点解读 (1)对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段． (2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比． 题型1利用平行判断成比例线段 例1．如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】．如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2利用平行线分线段成比例求线段长 例2．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D． ． 【变式2-2】．如图，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-3】．如图，直线，线段，分别交m于点B，E，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 、平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图①②③所示，若DE∥BC，则有＝，＝，＝. 题型3利用平行线分线段成比例解决三角形中的线段问题 例3．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 【变式3-1】．如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 【变式3-2】．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【变式3-3】．如图，在中，，如果，那么 ． 知识点3、 用平行线判定三角形相似 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 因为DE∥BC，所以图①②③中，△ABC∽△ADE. 注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似，如图①③.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE∥BC这一条件就能确定△ABC∽△ADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. 题型4平行线判定三角形相似 例4．如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【变式4-1】．我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【变式4-2】．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【变式4-3】．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 知识点4 利用三边成比例证三角形相似 （1）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． （2）利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边之间注意的对应关系，主要运用短对短、长对长、中间对中间的方法找对应边.另外要注意两个三角形的先后顺序. 题型5 利用“三边对应成比例两个三角形相似”证明和计算线段长度/ 例5．如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【变式5-1】．如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【变式5-2】．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【变式5-3】．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 知识点5 、利用两边及其夹角判断两个三角形相似的方法 （1）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． （2） 利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法： 依据题目给出的条件，若存在一组角对应相等，则需要判断出该角的两边是否成比例.若成比例，则两个三角形相似；若不成比例，则两个三角形不相似，若存在两组边成比例，则需要判断两边的夹角是否相等.若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个三角形不相似。 题型6 利用“两边及其夹角判断两个三角形相似”判定三角形相似 例6．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【变式6-1】．如图，在和中，，．求证：； 【变式6-2】．如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【变式6-3】．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 题型7 利用“两边及其夹角判断两个三角形相似”计算 例7．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式7-1】．如图，在与中，，，求证：． 【变式7-2】．如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【变式7-3】．如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 知识点6 、三角形相似判定定理3 （1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． （2）利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。 （3）常见模型： 题型8利用“两个三角形的两角对应相等这两个三角形相似．”计算证明 例8．如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式8-1】．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【变式8-2】．如图， 将绕点 A 旋转至的位置， 点刚好在上， 连接，交于点 E． (1)请写出图中所有的相似三角形 (不包括全等)； (2)求证∶． 【变式8-3】．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 知识点7、直角三角形相似判定定理 除了上面的方法外，直角三角形还有其他特殊的判定相似的方法，如下： (1)有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似； (2)两条直角边成比例的两个直角三角形相似； (3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 【上述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定注意理给出，所以只能作为一种分析问题的依据，可在选择题或填空题中使用，在解答题中不能作为定理直接使用】 题型9 判定直角三角形相似 例9．一个直角三角形两条直角边的长分别为，另一个直角三角形两条直角边的长分别为，这两个直角三角形是否相似？为什么？ 【变式9-1】．我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在和中，，且，则与相似吗？并说明理由． 【变式9-2】．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？ 【变式9-3】．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 题型10添加条件使三角形相似 例10．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【变式10-1】．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【变式10-2】．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【变式10-3】．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 题型11综合运用三角形相似的方法求解 例11．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式11-1】．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： (1)求证：． (2)画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 【变式11-2】．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 【变式11-3】．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 例12．已知：在中，为的平分线．求证：．    【变式12-1】．已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【变式12-2】．如图，在正方形中，，．求证：    (1)； (2)． 【变式12-3】．如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果 ，则=________度． 题型13 利用相似解决圆中有关问题 例14．如图，是的外接圆，且为的直径，延长到点，作的角平分线交于点，连接，过点作的垂线，交于点． (1)写出图中一个度数为的角：________， (2)求证：是的切线； (3)若的半径为，，求的长． 【变式13-1】．如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【变式13-2】．如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点． (1)的度数为 度，写出图中一对全等的三角形： ； (2)求证：； (3)若，试求的度数． 【变式13-3】．如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接    (1)求证：； (2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果，求证：点D为线段的黄金分割点． 例14．如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【变式14-1】．中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 【变式14-2】．【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 【变式14-3】．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 3．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，则图中相似三角形一共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若，则下列说法中，正确的是（   ） A．①②相似 B．①③相似 C．①④相似 D．②③相似 7．如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当时，t的值为（   ） A．3 B． C． D．或 8．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 10．如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 11．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 12．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 13．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 15．如图，在四边形中，，，求证：． 16．如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，中，，于点，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 18．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 19．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 20．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.2.1相似三角形的判定（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 、平行线分线段成比例 1．平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图所示，l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，…. 2.要点解读 (1)对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段． (2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比． 题型1利用平行判断成比例线段 例1．如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 故不成立的为：②， 故选：． 【变式1-1】．如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， ， 即，， 故A不符合题意； 若，，与已知条件不符， 故不成立，C符合题意； B、， ，， 故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【变式1-3】．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 题型2利用平行线分线段成比例求线段长 例2．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， 设， ∴， ∴， 解得，， 所以，的值为， 故选：D． 【变式2-2】．如图，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得出，代入线段长度计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】．如图，直线，线段，分别交m于点B，E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 知识点2 、平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图①②③所示，若DE∥BC，则有＝，＝，＝. 题型3利用平行线分线段成比例解决三角形中的线段问题 例3．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）因为 所以 因为， 所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：． 【变式3-1】．如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例定理得出线段比例关系，利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比． ①利用和，结合平行线分线段成比例定理，逐步推导得出的比值； ②通过得到，再设，则，求出的比值． 【详解】解：① 即， ， 设，则， ②， ， 设，则． 梯形的面积． 因此，． 【变式3-2】．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】．如图，在中，，如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 知识点3、 用平行线判定三角形相似 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 因为DE∥BC，所以图①②③中，△ABC∽△ADE. 注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似，如图①③.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE∥BC这一条件就能确定△ABC∽△ADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. 题型4平行线判定三角形相似 例4．如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 【变式4-1】．我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 【变式4-2】．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【变式4-3】．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 知识点4 利用三边成比例证三角形相似 （1）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． （2）利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边之间注意的对应关系，主要运用短对短、长对长、中间对中间的方法找对应边.另外要注意两个三角形的先后顺序. 题型5 利用“三边对应成比例两个三角形相似”证明和计算线段长度/ 例5．如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，求出线段和的关系以及线段和的关系，再结合三角形中位线的性质得出和的关系，最后得出和相似，根据“相似三角形对应角相等”，即可求证两角相等． 【详解】证明：，分别为的中点， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，解题关键是熟练运用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一核心性质，推导证明结论． 【变式5-1】．如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图、三角形中位线以及平行四边形的判定，解题的关键是平行四边形的判定定理． （1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线即为的垂直平分线，交于点； （2）先由垂直平分线的性质F分别是的中点系，再根据三角形中位线得出，，进而证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：为所作，如图， （2）证明：∵垂直平分， ， F是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可证，， ∴四边形为平行四边形． 【变式5-2】．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【变式5-3】．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 知识点5 、利用两边及其夹角判断两个三角形相似的方法 （1）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． （2） 利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法： 依据题目给出的条件，若存在一组角对应相等，则需要判断出该角的两边是否成比例.若成比例，则两个三角形相似；若不成比例，则两个三角形不相似，若存在两组边成比例，则需要判断两边的夹角是否相等.若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个三角形不相似。 题型6 利用“两边及其夹角判断两个三角形相似”判定三角形相似 例6．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，．进而得出，再根据相似三角形的判定方法即可得出． 【详解】证明， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 【变式6-1】．如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 【变式6-2】．如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【变式6-3】．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 题型7 利用“两边及其夹角判断两个三角形相似”计算 例7．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 【变式7-1】．如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 【变式7-2】．如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】．如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 知识点6 、三角形相似判定定理3 （1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． （2）利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。 （3）常见模型： 题型8利用“两个三角形的两角对应相等这两个三角形相似．”计算证明 例8．如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作垂直平分线，等边对等角；作的垂直平分线交于点，则，得出，进而证明． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求， 证明：∵，， ∴， 根据作图可得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式8-1】．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【变式8-2】．如图， 将绕点 A 旋转至的位置， 点刚好在上， 连接，交于点 E． (1)请写出图中所有的相似三角形 (不包括全等)； (2)求证∶． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边对等角，结合三角形的内角和定理，得到，，，根据对顶角相等，结合三角形的判定方法，得到，，即可； （2）根据旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】（1）解∶由旋转的性质可知∶，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，； （2）∵旋转， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质易证； （2）连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． 知识点7、直角三角形相似判定定理 除了上面的方法外，直角三角形还有其他特殊的判定相似的方法，如下： (1)有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似； (2)两条直角边成比例的两个直角三角形相似； (3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 【上述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定注意理给出，所以只能作为一种分析问题的依据，可在选择题或填空题中使用，在解答题中不能作为定理直接使用】 题型9 判定直角三角形相似 例9．一个直角三角形两条直角边的长分别为，另一个直角三角形两条直角边的长分别为，这两个直角三角形是否相似？为什么？ 【答案】相似，理由见详解 【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可证得两个直角三角形相似． 【详解】解：这两个直角三角形一定相似．理由如下： ∵，对应边夹角都为90°， ∴ 两个直角三角形一定相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似． 【变式9-1】．我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在和中，，且，则与相似吗？并说明理由． 【答案】相似；理由见解析 【分析】根据三角形相似的判定条件：三边对应成比例，即可证得． 【详解】相似，理由如下： 令， 则，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件． 【变式9-2】．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？ 【答案】当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似 【分析】先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可． 【详解】在Rt△ABC中，BC3． ∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论： ①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD； ②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD． 综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【变式9-3】．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 【答案】3或 【详解】试题分析：在Rt△ABC和Rt△ACD中，进行分类讨论即可． 试题解析：在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2 ∴CD＝．要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ∴ （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ∴ 答：当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似． 考点：相似三角形的判定． 题型10添加条件使三角形相似 例10．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 【变式10-1】．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 【变式10-2】．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【变式10-3】．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】见详解 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】（1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 题型11综合运用三角形相似的方法求解 例11．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 【变式11-1】．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： (1)求证：． (2)画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理分别求出与各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断； （2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解． 【详解】（1）解：证明：根据勾股定理，得： ，，， ，，， 即， ． （2）解：如图所示，即为所求． 【变式11-2】．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论； （2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式11-3】．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 题型12利用相似三角形的判定证明线段成比例 例12．已知：在中，为的平分线．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 如图，过点做的平行线与的延长线交于点，可证，得到，根据角平分线的性质，等腰三角形的定义得到，由此即可求解． 【详解】证明：如图，过点做的平行线与的延长线交于点，   ， ，， ， ， 又为的角平分线， ， ， ∴． 【变式12-1】．已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 【变式12-2】．如图，在正方形中，，．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，，则，，利用勾股定理解决问题即可； （2）证明，利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 设，， ，， ，，， ； （2）， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 【变式12-3】．如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果 ，则=________度． 【答案】(1)见解析； (2)70 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）作交延长线于点G，得平行四边形，利用等腰三角形转化角即可完成证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图：作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了相似的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，其中添加辅助线是解决问题的关键． 题型13 利用相似解决圆中有关问题 例14．如图，是的外接圆，且为的直径，延长到点，作的角平分线交于点，连接，过点作的垂线，交于点． (1)写出图中一个度数为的角：________， (2)求证：是的切线； (3)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角），找直径所对的圆周角，确定的角． （2）要证是的切线，需证．通过角平分线性质、等腰三角形性质，推导，结合，得出． （3）证明△ADE∽△DCE，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：为的直径， 由圆周角定理，（或等，直径所对圆周角为直角）． 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：连接． ， ． 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线． （3）解：∵是直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质（圆周角定理、切线的判定）、等腰三角形性质、相似三角形的判定及性质及勾股定理，熟练掌握圆的性质及几何图形间的位置与数量关系是解题的关键． 【变式13-1】．如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再证明，得到，则可证明，进而推出，据此可证明结论； （2）先由同弧所对的圆周角相等得到．再由，即可证明． （3）连接．可得，则．即可证明是等边三角形，则，再根据进行求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且为的中点， ， ， ， ，即． 又为的直径， 为的切线． （2）证明：， ． 又， ． （3）解：如图，连接． ， ， ∵， ∴ ． 又， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，求不规则图形面积，同弧所对的圆周角相等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式13-2】．如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点． (1)的度数为 度，写出图中一对全等的三角形： ； (2)求证：； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角圆心角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定及性质等知识点，灵活运用同圆中等弧所对的圆周角相等是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角即可得到的度数，再利用HL即可证明出； （2）运用同圆中相等的弧所对的圆周角相等证出和，即可得到； （3）根据推理出，利用含角的直角三角形边的比值关系可推理出，再利用圆周角与圆心角的数量关系转角即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：为的直径， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴（HL）； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）连接如图所示： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式13-3】．如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接    (1)求证：； (2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果，求证：点D为线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、黄金分割点等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）证得即可求证； （2）过点O作于N，于M，根据全等三角形对应边上的高相等可得，分别表示出S1，S2，S3，结合即可推出，故可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，过点O作于N，于M，    由（1）知，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴的面积分别为： ∵， ∴ ∴ 即： ∴点D为线段的黄金分割点． 例14．如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 【变式14-1】．中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】（1）解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解∶当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【变式14-2】．【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值； （3）当或时，和相似． 【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合． （1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解； （2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值． 选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值； （3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解∶ （1）顶点为， 设抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q， 抛物线的解析式为，交轴于点， 时，． ． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得 直线的解析式为． 设，则， ． ， ． ， ， 当时， 面积为最大值，最大值为． 选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q， 设，由“选择1”可得，， 轴， ． 又， ． ． ，， 当时，取得最大值，最大值为． (3)画出示意图如图3， ，直线的解析式为， ， ． 交抛物线于点E， 可设，其中． ， ． ． 轴平分． ∴点E关于x轴对称的点在直线上， ，其中， 解得， (舍去)，此时． 分类讨论如下∶设， 当时， ． ，顶点， ． ． 又， ，， ，解得，(舍去) ∴．此时； 当时 ， ，即． 解得， (舍去)， ∴此时． 综上，当或时，和相似． 【变式14-3】．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 2．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【详解】解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 3．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．在中，，，，根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，对各选项进行判定即可． 【详解】在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， ， A选项中的三角形与相似， 故选：A． 4．如图，，，则图中相似三角形一共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得，则，同理得，故，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴图中相似三角形的对数是3对． 故选C． 5．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若，则下列说法中，正确的是（   ） A．①②相似 B．①③相似 C．①④相似 D．②③相似 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 由，，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴①④相似． 故选：C． 7．如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当时，t的值为（   ） A．3 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，由勾股定理求出长，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分别列出关于的方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得： ， 由题意得：,， 当时， ∵， ∴, 此时, ， 故选：B． 8．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 10．如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 11．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 12．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，然后证明，求出，再证明，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 15．如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 通过，，得到，即可求解． 【详解】证明：， ，， ， ， ． 16．如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键．尺规作即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 17．如图，中，，于点，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定： （1）证明，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理， 综上所述，与相似的三角形有、、． 18．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，推出，角的和差关系，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的判定方法证明，，进而推出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 19．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【答案】(1)都对 (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）甲：由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明；乙：根据对江边成比例，结合，可证； （2）选择甲，由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明； 选择乙：利用和，可证． 【详解】（1）解：当时，则， ， ， ； 当时， ， 又， ； 故答案为：都对； （2）解：选择甲： 当时，则， ， ， ； 选择乙： 当时， ， 又， ； 20．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，则可得，再结合平分即可证明 （2）利用，，可得，再利用相似的性质即可得； （3）利用平行判定，求出，再利用线段的比例性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $