专题09 抛物线中七类最值与范围问题（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题09 抛物线中七类最值与范围问题 题型一：利用直线与抛物线的位置关系求参数值(范围) 题型二：利用抛物线中弦长求参数（值）范围 题型三：利用抛物线中弦长探求最值与范围问题 题型四：利用抛物线中切线求参数（值）范围 题型五：利用抛物线的切线探求最值与范围问题 题型六：利用抛物线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 题型七：与向量融合 题型一：利用直线与抛物线的位置关系求参数值(范围) 1.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，根据方程有根，判别式大于等于0即可求解. 【解析】∵，∴， 根据题意可知过点的直线有斜率，故设过点的直线l方程为. ∵l与抛物线有公共点，，∴方程组 有解， 即有解．∴即1. ∴或， 当 时，显然符合题意，故 故选：C. 2.“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解析】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 3.已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故答案为： 4.直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是________ 【答案】或 【分析】当时，直线符合题意；当时，联立直线与抛物线方程消去，得关于的一元二次方程，由即可得 ，的关系，进而可得正确答案. 【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 当时，由可得：， 若直线与抛物线有且只有一个公共点， 则，整理可得：，所以， 综上所述：或， 故答案为：或 题型二：利用抛物线中弦长求参数（值）范围 5.过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【解析】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 6.（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（  ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A根据抛物线的定义结合圆的定义即可；选项B根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质即可；选项C设，由焦点弦公式可得；选项D过作，根据即可求出倾斜角. 【解析】如图，假设点位于第一象限，根据抛物线的定义可， 设中点为，点在抛物线的准线上的射影为， 所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确；      因为， 所以， 又因为， 所以，所以，故B错误； 设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确； 因为， 所以， 过作， 所以， 所以或，故直线的斜率为，故D正确. 故选：ACD 7.(多选)已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（  ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 【答案】AC 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，根据直线方程的点斜式，求出直线、的方程，利用弦长公式求出、，可判断A；根据抛物线定义可表示、，利用根于系数的关系求出求出值，可判断B；利用向量的数量积，利用根与系数的关系求,可判断C；四边形 面积利用基本不等式可判断D. 【解析】设 ，，的方程为， 由 可得， 则  ， 所以， 同理可得， 则有，所以A正确； 若，由， 得， 即， 解得 ，故B错误； 与 无关，同理, 故，故C正确； 因为，所以四边形 的面积 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误． 故选：AC. 8.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）设点A的坐标 ，由已知可得，求得，可求直线l的斜率； （2）由（1）可得直线l的方程为：，与抛物线联立方程组，设点B的坐标，可得，由焦点弦长公式可求. 【解析】（1）设点A的坐标 ， 因为点A到抛物线准线的距离是， 所以，所以，代入抛物线方程得： 所以点，又因为点， 所以直线l的斜率. （2）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为： 由得：， 可知恒成立， 设点B的坐标，则， ，所以. 题型三：利用抛物线中弦长探求最值与范围问题 9.已知抛物线 的焦点是圆 的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心求得，设出直线的方程，利用弦长公式求的表达式，进而求得其取值范围. 【解析】圆的圆心为半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以 所以 所以的取值范围为 故选：C. 10.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（  ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解. 【解析】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则， 抛物线的准线为，则，， ， （当且仅当，，共线时取等号）如图所示， 即的最大值为12. 故选：A.    11.(多选)已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（  ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【解析】如图，作于点于点．    对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 12.（多选）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（  ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为定值 D．四边形的周长的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A将点代入抛物线方程解得即可判断，对于B设直线的方程为，结合抛物线方程和即可求出线的倾斜角，进而判断B，对于C利用韦达定理和弦长公式即可求，进而判断，对于D由，利用均值不等式即可求解，进而判断. 【解析】由题意有，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B：设直线的方程为，所以， 设，则，由得， 所以，即，设直线的倾斜角，则,故B错误； 对于C：由，由直线与直线垂直， 则可设直线的方程为，则有， 所以，故C正确； 对于D：由，所以， 即，当且仅当时，等号成立， 又得， 所以四边形的周长的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 13.已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据圆心求得，设出直线的方程，利用弦长公式求得表达式，进而求得其取值范围. 【解析】圆的圆心为，半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14.平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）设直线，，根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【解析】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． 所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线， 所以，所以曲线的方程为：. （2）如图： 设直线，， 代入抛物线得：，得， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取等号. 则. 题型四：利用抛物线中切线求参数（值）范围 15.已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到直线方程，联立直线和抛物线方程，令得到即可得到抛物线方程和焦点坐标. 【解析】由题意得，直线方程为，即， 直线方程代入抛物线方程得，由得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为. 故选：B. 16.已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上，设，，可设，联立抛物线得，从而将代入直线与抛物线，即可得的值. 【解析】 由题意可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上， 设， 因为为正三角形，不妨取，则， 联立，可得， 则，可得， 所以，代入，可得， 又，联立解得. 故选：C. 17.已知椭圆 的离心率为，抛物线 的焦点是椭圆的顶点,过点作抛物线的切线，则切线的斜率k=_________． 【答案】0或者-1 【分析】由椭圆的离心率求出椭圆参数，即得椭圆方程，然后借助椭圆与抛物线的关系求解抛物线的方程； 设出直线方程，联立直线与抛物线，借助二次方程性质求解直线方程. 【解析】椭圆 的离心率为，可得：，即， 由，可得，则椭圆 ，它的上顶点坐标， 抛物线 的焦点是椭圆的顶点，得，抛物线 ； 设过点作抛物线的切线 ，则， 整理得， ，解得或， 故答案为：0或者-1 题型五：利用抛物线的切线探求最值与范围问题 18.已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解析】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 19.已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点A、B的切线方程，进而求得 ，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解. 【解析】设，， 由，得（不妨设），则， 所以抛物线在点A的切线斜率为， 得抛物线在点A的切线方程为，即. 同理可得抛物线在点处的切线方程为， ，解得，即 ， 又因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 将点代入直线的方程得：①， 设点坐标为，则①式可整理为：，即， 所以点的轨迹为一条直线． 所以线段的最小值为点到直线的距离， 即为． 故选：A. 20.抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过点的直线与抛物线相切，得到，利用抛物线对称性设不妨设切点为在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值. 【解析】    由，可知抛物线焦点，准线方程为， 因为为其准线上任意一点，设， 设过点且与抛物线相切的直线为：，① 由得：， 所以，整理得，，② 所以，是方程②的两根， 所以，故， 所以， 利用抛物线对称性，不妨设切点为在第一象限，坐标为， 由得，所以， 所以直线的斜率， 代入①可得切线的方程为：， 又因为点在直线上， 所以，所以， 所以点的坐标为， 所以，， 所以 . 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 21.已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1. (1)求的方程； (2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据抛物线可得的值，从而得抛物线方程； （2）在点处的切线，联立直线与双曲线可得关系，设直线的倾斜角分别为，则，，从而结合正切两角差公式化简，利用基本不等式求最值即可. 【解析】（1）设，则 由题意，得，解得， 所以的方程为； （2）在点处的切线， 设直线的倾斜角分别为， 联立 则，得，则， 且，则，故， 设直线的倾斜角分别为，则， 又，所以， 当且时等号成立， 即的最大值为. 题型六：利用抛物线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 22.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，将直线方程和抛物线方程联立，利用可求得的值，可知直线过定点，再利用三角形的面积公式以及导数或者基本不等式可求得与面积之和的最小值. 【解析】由题意可知直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为， 联立方程得，则， 设，，则，， 所以， 因为，所以，即，解得或， 当时，直线过坐标原点，则与重合，不存在，不符合题意，所以， 所以， 由抛物线方程可知，设直线与轴的交点为，则， ， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 23.过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据条件得到，从而得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求解. 【解析】设，由抛物线的对称性，不妨设，设直线， 由，消得， 因直线与抛物线相切，得到，得到， 故直线的方程为， 令，得点M的坐标为，设直线的方程为， 联立，得，所以有，于是， 则， 令，则， 当时，，得到在区间单调递减；当时，，得到在区间上单调递增， 故， 所以的最小值为 故选：C. 24.（多选）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（  ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【解析】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 25.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为_____ 【答案】18 【分析】由题设得，设点，，直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求面积最小值. 【解析】由题知，，解得，所以抛物线，， 设点，，直线的方程为，代入， 消去并整理得，所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号，即面积的最小值为18. 故答案为：18. 26.已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】(1);(2)（i）；（ii） 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为：； （2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为. 27.抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）；准线方程为； （2）32 【分析】（1）解法一：联立与抛物线方程，得到两根之和，根据中点的纵坐标得到方程，求出，得到准线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式计算出，表达出，由基本不等式求出最小值. 【解析】（1）设抛物线与直线交于，． 整理得， 所以， 因为 所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故． 所以 因为， 同理可得 所以 ， 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32． 题型七：与向量融合 28.抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得∥，取弦，的中点分别为，设直线的方程为：代抛物线，由韦达定理可得，，，从而得在直线上，根据切线方程可得，作出图象，可得，，再根据求解即可. 【解析】由，，可知∥， 设弦，的中点分别为， 设直线的方程为：， 代入，得， 则， ， 所以，， 同理可得， 由抛物线的几何意义可知点在直线上， 所以， 因为，所以，， 所以物线在处的切线为，即， ，即 同理可得物线在处的切线为，即, 由，解得， 综上，，, 所以四点共线，且所在直线平行于轴，    由，得， 则，， 又， 所以有， 又， 化简得， 同理有， 由两式知直线的方程为： ， 因为， 所以， 又直线过点， 代入得， ， 整理得， 即， 由题可得， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 29.抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【解析】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 30.已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答. 【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，显然四边形是矩形， 由抛物线定义知，，因为， 则， 所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 则直线的斜率为. 故答案为：. 31.已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. (1)若线段中点的横坐标为3，求的值； (2)若，，动点在抛物线上且异于点，，求的最小值； (3)过点，分别作抛物线的切线，交于点，，分别交轴于点，，若，探究直线是否过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)3;(2);(3)是， 【分析】（1）根据给定条件，利用点差法求出的值. （2）联立直线与抛物线方程求出点坐标，设，利用数量积的坐标表示建立函数，利用导数求出函数的最小值. （3）利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出及点坐标，，利用两点间距离建立方程求出即可. 【解析】（1）设，则，两式相减得， 所以. （2）由消去得，解得或， 不妨设，设，且， 则，， 设，求导得， 当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 32.平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 【答案】(1);’(2) 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； （2）先通过向量关系得到点M与Q的坐标联系，再结合抛物线方程，利用基本不等式求直线OQ斜率最大值，最后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出点N坐标. 【解析】（1）设动点 ，则点 到点 的距离为 ， 直线 的距离为 ； 因为动点 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以 ，所以 的方程 . （2）设 ，由 ，即 得 ； 因为点 在轨迹 上，所以 ，而 ， 因为要求 斜率的最大值，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 ，直线 ， 由 与 联立，得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 抛物线中七类最值与范围问题 题型一：利用直线与抛物线的位置关系求参数值(范围) 题型二：利用抛物线中弦长求参数（值）范围 题型三：利用抛物线中弦长探求最值与范围问题 题型四：利用抛物线中切线求参数（值）范围 题型五：利用抛物线的切线探求最值与范围问题 题型六：利用抛物线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 题型七：与向量融合 题型一：利用直线与抛物线的位置关系求参数值(范围) 1.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2.“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_______________ 4.直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是________ 题型二：利用抛物线中弦长求参数（值）范围 5.过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．7 6.（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（  ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 7.(多选)已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（  ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 8.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 题型三：利用抛物线中弦长探求最值与范围问题 9.已知抛物线 的焦点是圆 的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 10.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（  ） A．12 B．11 C．10 D．9   11.(多选)已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（  ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 12.（多选）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（  ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为定值 D．四边形的周长的最大值为 13.已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的取值范围为 ． 14.平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 题型四：利用抛物线中切线求参数（值）范围 15.已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 16.已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 17.已知椭圆 的离心率为，抛物线 的焦点是椭圆的顶点,过点作抛物线的切线，则切线的斜率k=_________． 题型五：利用抛物线的切线探求最值与范围问题 18.已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（  ） A． B． C． D．1 19.已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 20.抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 21.已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1. (1)求的方程； (2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值. 题型六：利用抛物线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 22.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 23.过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 24.（多选）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（  ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 25.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为_____ 26.已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 27.抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 题型七：与向量融合 28.抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（  ） A． B． C． D． 29.抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 30.已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 31.已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. (1)若线段中点的横坐标为3，求的值； (2)若，，动点在抛物线上且异于点，，求的最小值； (3)过点，分别作抛物线的切线，交于点，，分别交轴于点，，若，探究直线是否过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 32.平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $