精品解析：河北省衡水市武强中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

武强中学2025--2026学年度上学期中考试卷 高二数学试题 出题人 刘立芝 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线的斜率公式为，先使用这个公式求出直线的斜率，再用公式，求出倾斜角即可. 【详解】， ， 设倾斜角为，， ， ， ， . 故选：A. 2. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 4. 正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，由，则， 由点为的中点，则， 则，， 则， 故与所成角的余弦值为． 故选：A. 5. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 6. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由平面，且平面，所以 又由，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，且为中点， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为，则. 故选：B. 7. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 二、多选题（每小题6分） 9. 下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【解析】 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（    ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A. 【详解】因为平面平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，，故为的中点， 从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 则直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为平面，则点到平面的距离为， 故点到平面的距离为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知，，是满足的动点的轨迹，是以，为焦点的椭圆，下列说法正确的是（ ） A. 与轴有2个公共点 B. 若，有2个公共点在轴上，则的方程为 C. 若为，的公共点，且，则的长轴长为 D. 点到原点距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，先由得代数式，令即可求解判断A；令结合题设条件即可求出的方程判断B；由题意结合勾股定理、和椭圆定义即可求解判断C；设，由的代数式转化得到结合的取值范围即可判断求解D. 【详解】对于A，设，则由得， 令，得，与轴只有1个公共点，A错误； 对于B，中，令，得或， 设的方程为，则，， 所以的方程为，B正确， 对于C，若为，的公共点，且， 则，， 所以，C正确； 对于D，由得， 所以解得，设， 由得， 当，时取等号，所以最大值为，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题(每小题5分) 12. 若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据坐标写成基底表示的形式，再利用待定系数法，列式求解. 【详解】由条件可知，， 设向量在基底下的坐标为， 所以， 所以，得，，， 所以向量在基底下的坐标为. 故答案为： 13. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆定义得，再结合乘一法即可求解. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 14. 已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，分别求出，从而得到. 【详解】设，则. 所以，即， 因为是圆上的动点，所以. 所以轨迹C的方程为. 所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为， 化简得. 由题意知，解得. 则. 故答案为:. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18，19题17分）. 15. 在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为． （1）求直线AB的方程； （2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知为的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解； ②联立直线BC的方程与直线CD的方程即可求得点C的坐标. 【小问1详解】 由已知得直线AB的方程为：，即． 故直线AB的方程为． 【小问2详解】 ①解方程组，解得，故． 又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为， 故CD所在直线的方程为，即， 所以CD所在直线的方程为． ②由，解得 故顶点C的坐标为． 16. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1） （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求出得方程； （2）设直线，由求出，根据弦长公式求. 【小问1详解】 因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． 【小问2详解】 如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 18. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． 【小问3详解】 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2025--2026学年度上学期中考试卷 高二数学试题 出题人 刘立芝 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 4. 正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（    ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 已知，，是满足的动点的轨迹，是以，为焦点的椭圆，下列说法正确的是（ ） A. 与轴有2个公共点 B. 若，有2个公共点在轴上，则的方程为 C. 若为，的公共点，且，则的长轴长为 D. 点到原点距离的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题(每小题5分) 12. 若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________． 13. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为__________. 14. 已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则_____． 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18，19题17分）. 15. 在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为． （1）求直线AB的方程； （2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标． 16. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 18. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $