第三章 5 培优课3 函数中的构造问题（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数构造问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了利用f(x)、e^x及三角函数构造函数的三大题型，通过2025年河南信阳统考等真题案例，明确“抽象函数不等式求解”“比较大小”等高频考点分布，归纳出“xf'(x)±nf(x)”等构造规律，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“规律建模+真题精析+素养落地”，如典例1通过构造g(x)=f(x)/x，结合奇偶性与单调性破解不等式，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）。设“规律方法库”和“易错警示”，助力学生掌握构造技巧，教师可据此精准突破高考难点，提升复习效率。

培优课3　函数中的构造问题 高三一轮复习讲义 人教版 第三章　一元函数的导数及其应用 01 课时测评 内容索引 　　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题形式出现，同构法构造函数也在解答题中有所考查.通过对已知等式或不等式的结构特征进行分析，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.在本章第二节《导数与函数的单调性》中已经学习了通过具体函数的构造可以比较大小或解不等式，本课主要复习抽象函数的构造问题. 题型一　利用f(x)与x构造函数 　　　　(2025·河南信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，且f(－2)＝0，则不等式＞0的解集是 A.(－2，0)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0，2) 典例1 √ 设g(x)，x≠0.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x).因为g(－x)－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(－2)＝ －g(2).因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0.当x＞0时，g'(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，此时不等式＞0的解集是(0，2).因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＜0时，不等式＞0的解集是(－∞，－2).综上所述，不等式＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).故选D. 1.出现xf'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). 2.出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x). 规律方法 对点练1.(多选)(2025·湖南郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，xf'(x)＋2f(x)＞0恒成立，则 A.f(1)＜4f(2) B.f(－1)＜4f(－2) C.16f(4)＜9f(3) D.4f(－2)＞9f(－3) 令g(x)＝x2f(x)，因为当x＞0时，xf'(x)＋2f(x)＞0，所以当x＞0时，g'(x)＝2xf(x)＋x2f'(x)＝x[xf'(x)＋2f(x)]＞0，所以g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，所以g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增.由g(2)＞g(1)，可得4f(2)＞f(1)，故A正确；由g(－1)＞g(－2)，可得f(－1)＞4f(－2)，故B错误；由g(4)＞g(3)，可得16f(4)＞9f(3)，故C错误；由 g(－2)＞g(－3)，可得4f(－2)＞9f(－3)，故D正确.故选AD. √ √ 题型二　利用f(x)与ex 构造函数 　　　　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＜f'(x)－2，则 A.f(2 025)－ef(2 024)＜2(e－1) B.f(2 025)－ef(2 024)＞2(e－1) C.f(2 025)－ef(2 024)＞2(e＋1) D.f(2 025)－ef(2 024)＜2(e＋1) 令g(x)，则g'(x)＞0，因此函数g(x)是增函数，于是得g(2 025)＞g(2 024)，即，整理得f(2 025)－ ef(2 024)＞2(e－1)，故B正确.故选B. 典例2 √ 1.出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x). 2.出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x). 规律方法 对点练2.(2024·湖南邵阳第二次联考)已知函数f的定义域为R，f'为f的导函数.若fe，且f'＋ex＜f在R上恒成立，则不等式fex的解集为 A. B. C. D. 设函数g＋x，可得g'＋1＜0，所以函数g在R上单调递减，由fex，可得f＋xex＜2ex，即＋x＜2＋1，可得g＜g，所以x＞1，即不等式fex的解集为.故选D. √ 对点练3. (2025·江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)＞0，且有f(3)＝3，则f(x)＞3的解集为___________. 设F(x)＝f(x)·ex，则F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]＞0，所以F(x)是增函数.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.因为f(x)＞3等价于f(x)·ex＞3e3，即F(x)＞F(3)，所以x＞3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). (3，＋∞) 题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 　　　　设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，π)时，f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＜2fsin x的解集为____________________. 典例3 ∪ 令g(x)，x∈(－π，0)∪(0，π)，则g'(x)，因为当x∈(0，π)时，f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，所以在(0，π)上，g'(x)＜0，所以函数g(x)在(0，π)上单调递减.因为y＝f(x)，y＝sin x是奇函数，所以函数g(x)是偶函数，所以函数g(x)在(－π，0)上单调递增.当x∈(0，π)时， sin x＞0，则不等式f(x)＜2fsin x可化为，即g(x)＜g，所以＜x＜π；当x∈(－π，0)时，sin x＜0，则不等式f(x)＜2fsin x可化为，即g(x)＞g，所以－＜x＜0.综上可得，不等式的解集为∪. 　　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： 1.F(x)＝f(x)sin x， F'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x. 2.F(x)， F'(x). 3.F(x)＝f(x)cos x， F'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x. 4.F(x)， F'(x). 规律方法 对点练4.已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f'(x)sin x＋f(x)cos x＜0，若af，b＝－f，则a与b的大小关系为________.(用“＜”连接) 设φ(x)＝f(x)sin x，则φ'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)cos x，所以当x∈(0，＋∞)时，φ'(x)＜0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，所以φ(x)为偶函数，所以φφ＞φ，即f·sin＞f·sin ，即－ff，即f＜－f，所以a＜b. a＜b 返回 课 时 测 评 返回 1.(2025·山东济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)－2x＞0，且f(1)＝3，则f(x)＞x2＋2的解集是 A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1，0)∪(0，1) D.(－∞，－1)∪(0，1) 令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝f(x)－x2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g'(x)＝f'(x)－2x，因为当x≥0时，g'(x)＝f'(x)－2x＞0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)＞x2＋2即为不等式g(x)＞2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)＞g(1)，所以｜x｜＞1，解得x＞1或x＜－1，所以f(x)＞x2＋2的解集是(－∞， －1)∪(1，＋∞).故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 A.α3＞β3 B.α＋β＞0 C.｜α｜＜｜β｜ D.｜α｜＞｜β｜ 令f(x)＝xsin x，x∈，则f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，则f(x)为偶函数，又f'(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间上单调递增，f(x)在区间上单调递减.又αsin α－βsin β＞0，即f(α)＞f(β)，所以｜α｜＞｜β｜.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意实数x，有f(x)＞f'(x)，且f(x)＋2 025为奇函数，则不等式f(x)＋2 025ex＜0的解集是 A.(－∞，0) B.(－∞，ln 2 025) C.(0，＋∞) D.(2 025，＋∞) 设g(x)，则g'(x)，因为f(x)＞f'(x)，所以g'(x)＜0，所以g(x)为定义在R上的减函数，因为f(x)＋2 025为奇函数，所以f(0)＋2 025＝0，f(0)＝－2 025，g(0)－2 025，f(x)＋2 025ex＜0，即＜－2 025，即g(x)＜g(0)，故x＞0，所以f(x)＋2 025ex＜0的解集是(0， ＋∞).故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.(2025·四川成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x－f(x)sin x＞0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是 A.ff B.ff C.2f(0)＜f D.f(0)＞f √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈，则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，所以g(x)在上单调递增，则g＜g，所以fcos＜fcos，即ff，故A不正确；则g＞g，所以fcos ＞fcos ，即ff，故B不正确；则g(0)＜g，所以f(0)cos 0＜fcos ，即2f(0)＜f，故C正确；则g(0)＜g，所以f(0)cos 0＜fcos ，即f(0)＜f，故D不正确.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(2025·广东惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且3f(x)＋f'(x)＜0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)＞8的解集为 A.(－∞，2) B.(－∞，ln 2) C.(ln 2，＋∞) D.(2，＋∞) 令g(x)＝e3xf(x)，函数g(x)的定义域为R，因为3f(x)＋f'(x)＜0，所以g'(x)＝[e3xf(x)]'＝e3x[3f(x)＋f'(x)]＜0，故g(x)为减函数，又因为f(ln 2)＝1，所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，所以不等式e3xf(x)＞8可化为g(x)＞g(ln 2)，所以x＜ln 2，所以e3xf(x)＞8的解集为(－∞，ln 2).故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.已知0＜x＜y＜π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 A.cos x＋cos y＜0 B.cos x＋cos y＞0 C.cos x＞sin y D.sin x＞sin y √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由0＜x＜y＜π，且eysin x＝exsin y，得，令f(x)(0＜x＜π)，则f'(x)，当0＜x＜时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减，当＜x＜π时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增，当f(x)＝f(y)时，0＜x＜＜y＜π，因为0＜x＜y＜π，ex＜ey，，所以sin y＞sin x＞0，所以＜y＜π－x＜π，所以cos y＞cos(π－x)＝－cos x，所以cos x＋cos y＞0.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)(2025·福建福州联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1＞0，则下列结论正确的是 A.f(2)－ln 2＞f(1) B.f(4)－f(2)＞ln 2 C.f(2)＋ln 2＞f(e)＋1 D.f(e2)－f(e)＞1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x＞0，则g'(x)＝f'(x)－，因为xf'(x)－1＞0，所以g'(x)＞0，故g(x)是增函数，由g(2)＞g(1)，得f(2)－ln 2＞f(1)－ln 1，即f(2)－ln 2＞f(1)，故A正确；由g(4)＞g(2)，得f(4)－ln 4＞f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)＞ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；由g(e)＞g(2)，得f(e)－ln e＞f(2)－ln 2，即f(e)＋ln 2＞f(2)＋1，可得f(e)＋1＞f(2)＋ln 2，故C错误；由g(e2)＞g(e)，得f(e2)－ln e2＞f(e)－ln e，即f(e2)－2＞f(e)－1，即f(e2)－f(e)＞1，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(多选)(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f'(x)，满足xf'(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则 A.3f(2)＞2f(3) B.f(1)＜f(2)＜f(e) C.f(x)在x＝1处取得极小值 D.f(x)无极大值 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 设g(x)(x＞0)，则g'(x)，可设g(x)＋c，则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，故g(x)－e，即f(x)＝ex－ex，x＞0，令g'(x)＞0，则x＞1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(2)＜g(3)，即，则3f(2)＜2f(3)，故A错误；令f'(x)＝ex－e＞0，得x＞1，令f'(x)＝ex－e＜0，得0＜x＜1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(1)＜f(2)＜f(e)，f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值，故B，C，D均正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(x)，若f(1)＝4，且f'(x)－2x＜3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)＜2x(2x－3)的解集为__________. 令g(x)＝f(x)－x2－3x，则g'(x)＝f'(x)－2x－3＜0在R上恒成立，所以g(x)是减函数.又f(2x－3)＜2x(2x－3)，即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)＜0，又f(1)－12－3×1＝0，即g(2x－3)＜g(1)，所以2x－3＞1，解得x＞2，所以不等式f(2x－3)＜2x(2x－3)的解集为(2，＋∞). (2，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.已知函数f(x)定义在上，f'(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f'(x)tan x成立，又知f，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________. 因为f(x)＜f'(x)tan x，所以f'(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，令g(x)，x∈，所以g'(x)＞0，所以g(x)在上为增函数，由f(x)＞sin x，sin x＞0，得＞1，即g(x)＞g，所以x＞，又0＜x＜，所以＜x＜，所以不等式的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(2025·陕西咸阳模拟)已知0＜x1＜x2＜1，下列不等式恒成立的是 A.x2＜x1 B.x2ln x1＞x1ln x2 C.x1ln x1＜x2ln x2 D.＞ln x1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 令f(x)且0＜x＜1，则f'(x)＜0，故f(x)在(0，1)上递减，又0＜x1＜x2＜1，所以f(x2)＜f(x1)⇒⇒x1＜x2，故A错误；令h(x)且0＜x＜1，则h'(x)＞0，故h(x)在(0，1)上递增，又0＜x1＜x2＜1，所以h(x2)＞h(x1)⇒x2ln x1＜x1ln x2，故B错误；令g(x)＝xln x且0＜x＜1，则g'(x)＝1＋ln x，所以在上g'(x)＜0，g(x)递减，在上g'(x)＞0，g(x)递增，而0＜x1＜x2＜1，此时不能比较g(x2)，g(x1)的大小，所以无法确定x1ln x1，x2ln x2的大小，故C错误；由于0＜x1＜1，所以＞0，ln x1＜0，故＞ln x1，故D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且满足f'(x)－2f(x)＜0，f(0)＝1，则 A.e2f(－1)＜1 B.f(1)＞e2 C.f＞e D.f(1)＜ef √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 依题意令g(x)，则g'(x)，因为f'(x)－2f(x)＜0在R上恒成立，所以g'(x)＜0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递减，所以g(－1)＞g(0)，e2f(－1)＞1，故A不正确；所以g(1)＜g(0)，即，即f(1)＜e2f(0)＝e2，故B不正确；又g＜g(0)，即1，即f＜e，故C不正确；因为g＞g(1)，即，即f(1)＜ef，故D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R，f(1)＝－1，且f'(x)＜3f(x)＋6，则不等式f＋2＞的解集为__________. 构造函数g(x)，则g'(x) ＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，又由f＋2＞⇒，得g＞g(1)，所以ln x＜1，解得0＜x＜e，所以原不等式解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(2025·天津南开区模拟)对∀x1，x2∈，当x1＜x2时，，则实数m的取值范围是 A. B. C. D.(4，＋∞) 由题意可知，不等式等价于，得ln＜ln，即ln －ln ＜ln －ln ，则2x1－mln x1＜2x2－mln x2，∀x1，x2∈，x1＜x2，设g(x)＝2x－mln x，由题意可知，函数g(x)在区间上单调递增，g'(x)＝2－≥0，在区间上恒成立，即m≤2x恒成立，x∈，所以m≤2.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(多选)(2025·江西南昌模拟)已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f'(x)满足＞0，对于函数g(x)，下列结论正确的是 A.函数g(x)在(－∞，－1)上为减函数 B.x＝－1是函数g(x)的极小值点 C.函数g(x)必有2个零点 D.e2f＞eef(2) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 因为g(x)，所以g'(x)，因为导函数f'(x)满足＞0，当x＞－1时，f'(x)－f(x)＞0，则g'(x)＞0，所以g(x)在上单调递增；当x＜－1时，f'(x)－f(x)＜0，则g'(x)＜0，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减；则x＝－1为函数g(x)的极小值点，故A、B正确；又f(0)＝1，则g(0)1，当g(－1)＞0时，g(x)没有零点；当g(－1)＝0时，g(x)有一个零点；当g(－1)＜0时，g(x)可能有1个或2个零点，故C错误；因为函数g(x)在上单调递增，所以g(2)＜g，即，整理得e2f＞eef(2)，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数中的构造问题 $