第二章 12 培优课2 指、对、幂的大小比较（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指、对、幂的大小比较”核心考点，依据高考评价体系明确了单调性应用、中间值法、运算性质转化、构造函数四大考查要求。通过梳理近五年高考真题，分析得出选择填空题型占比达85%的高频考点分布，归纳出直接比较、中间值过渡、构造函数等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“技法总结+真题演练+素养提升”的三维备考策略，如以2024天津卷真题为例，详解“中间值0和1划分法”突破指数对数比较难点，培养学生的数学思维和运算能力。设置“易错陷阱警示”和“答题模板库”，帮助学生熟练掌握构造函数等关键技巧，教师可据此精准指导，助力学生高效冲刺高考。

培优课2　指、对、幂的大小比较 高三一轮复习讲义 人教版 第二章　函数与基本初等函数 01 课时测评 内容索引 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点之一，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现. 技法一　直接法比较大小 角度1　利用函数的单调性法比较大小 　　　　若a＝1.53，b＝1.52，c＝0.82，则 A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.b＞c＞a 函数y＝1.5x在R上单调递增，函数y＝0.8x在R上单调递减，所以1.53＞1.52＞1.50＝1＝0.80＞0.82，所以a＞b＞c.故选A. √ 典例1 角度2　利用中间值法比较大小 　　　　设a＝2 02，b＝log2 025，c＝lo2 025，则 A.c＞b＞a B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.a＞b＞c a＝2 02＞2 0250＝1，0＝log2 0251＜b＝log2 025＜log2 0252 025＝1，c＝lo2 025＝－log2 0262 025＜0，故c＜0＜b＜1＜a.即a＞b＞c.故选D. √ 典例2 角度3　利用特殊值法比较大小 　　　　已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是 A.ac＜bc B.abc＜bac C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc 取特殊值，令a＝4，b＝2，c，则ac，bc，所以ac＞bc，故A错误；abc＝4×，bac＝2×，所以abc＞bac，故B错误；logac＝log4－1，logbc＝log2－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.故选C. √ 典例3 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22＜log23＜log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的数，从而便于比较. 规律方法 对点练1.已知a＝1.60.3，b＝1.60.8，c＝0.70.8，则 A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＞c＞a D.a＞b＞c y＝1.6x是增函数，故a＝1.60.3＜b＝1.60.8，而1.60.3＞1＞c＝0.70.8，故c＜a＜b.故选A. √ 对点练2.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3＜0＜0.3，所以0＜4.2－0.3＜4.20＜4.20.3，所以0＜4.2－0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b，因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0＜0.2＜1，所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0，所以b＞a＞c.故选B. √ 　　　　(1)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞a＞b 技法二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 典例4 因为a＝log34，b＝log45，c＝log56，所以a－b ，因为lg 3lg 5＜ ，所以－lg 3lg 5＞0，lg 3lg 4＞0，所以a－b＞0，即a＞b，同理可证b＞c，故a＞b＞c.故选A. √ (2)已知a＝log63，b＝log84，c＝lg 5，则 A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 由题意得，a＝log63＝log61－log62＝1－，b＝log84＝log81－log82＝1－，c＝lg 5＝lg1－lg 2＝1－，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜log26＜log28＜log210，则，故1－＜1－＜1－，所以a＜b＜c.故选D. √ 　　如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 规律方法 对点练3.已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a c＝930＝360，a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b＞ lg a＞lg c，即b＞a＞c.故选B. √ 　　　　(1)已知a＝e，b＝3log3e，c，则a，b，c的大小关系为 A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 技法三　构造函数法比较大小 典例5 设f(x)，x≥e，则f'(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，又a＝f，b＝3log3ef(3)，cf(5)，因为e＜3＜5，所以f(e)＜f(3)＜f(5)，所以a＜b＜c.故选D. √ (2)设log2a，2b＝lob，5，则a，b，c的大小关系是 A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.b＜c＜ √ 构造函数f(x)＝log2x－，因为函数y＝log2x，y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，且f(1)＝－＜0，f(2)＞0，因为f(a)＝0，由零点存在定理可知1＜a＜2；构造函数g(x)＝2x－lox，因为函数y＝2x，y＝－lox在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数g(x)为(0，＋∞)上的增函数，且g－2＜0，g－1＞0，因为g(b)＝0，由零点存在定理可知＜b＜.因为5，则c＝lo5＜lo1＝0，因此c＜b＜a.故选B. 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 规律方法 对点练4.设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则的大小关系是 A. B. C. D. 由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，可得x＝2k＞2，y＝3k＞3，z＝5k＞5.所以2k－1＞1，3k－1＞1，5k－1＞1，令f(x)＝xk－1，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜f(3)＜f(5)，即.故选B. √ 对点练5.设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜a＜b 因为e2.6＜e3＜33，28＞33，所以e1.3＜2，所以a＜0；b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)，令f(x)＝2－2－ln x，所以f'(x)，所以当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝0，所以f(1.1)＞0，即2－2－ln 1.1＞0，所以c＜b，又c＝2ln 1.1＞2ln 1＝0，所以a＜c＜b.故选B. √ 返回 课 时 测 评 返回 1.设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为 A.b＜c＜a B.a＜c＜b C.a＜b＜c D.b＜a＜c 因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1＜0.80.8＜1，即a＜b＜1，又c＝1.10.8＞1，所以a＜b＜c.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2025·湖北武汉四调)记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c 因为b＝0.3－0.2，幂函数y＝x0.2在上单调递增，又＞3，所以＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对数函数y＝log0.2x在上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.(2025·贵州贵阳模拟)已知＞1，a＝nn，b＝nm，c＝mn，则a，b，c的大小关系正确的为 A.c＞a＞b B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.a＞b＞c 由题意＞1，故0＜m＜n＜1，由指数函数的单调性，y＝nx单调递减，故b＞a，由幂函数的单调性，y＝xn在(0，＋∞)上单调递增，故a＞c，综上，b＞a＞c.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.若a＝log382，b＝log215，c＝0.2－1.1，则 A.b＜a＜c B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.c＜b＜a 因为5＝log335＞a＝log382＞log381＝4＝log216＞b＝log215，c＝0.2－1.1＝51.1＞5，所以b＜a＜c.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则 A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.a＜c＜b a＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，b＝log32＜log33＝1，c＝log3020＜log3030＝1，所以a＞b，a＞c，b－c＝log32－log3020＜0，所以c＞b，所以b＜c＜a.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.若3x＝4y＝10，z＝logxy，则 A.x＞y＞z B.y＞x＞z C.z＞x＞y D.x＞z＞y 因为3x＝4y＝10，所以x＝log310＞log39＝2，1＝log44＜y＝log410＜log416＝2，则1＜y＜2，所以x＞y＞1，而z＝logxy＜logxx＝1，所以x＞y＞z.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则 A.3y＜2x＜5z B.2x＜3y＜5z C.3y＜5z＜2x D.5z＜2x＜3y 令2x＝3y＝5z＝k(k＞1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以·＞1，则2x＞3y，·＜1，则2x＜5z，所以3y＜2x＜5z.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(多选)(2025·河南名校模拟)已知正数x，y满足x＞y，则下列选项正确的是 A.log2(x2＋1)＞log2(y2＋1) B.cos x＞cos y C.(x＋1)3＞(y＋1)3 D.e－x＋1＞e－y＋1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，因为x＞y＞0，所以x2＋1＞y2＋1＞0，又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log2(x2＋1)＞log2(y2＋1)，故A正确；对于B，不妨取x，y，则cos 0＜cos ，故B错误；对于C，因为x＞y＞0，所以x＋1＞y＋1＞1，所以(x＋1)3＞(y＋1)3，故C正确；对于D，因为x＞y＞0，所以－x＋1＜－y＋1，又y＝ex在R上单调递增，所以e－x＋1＜ e－y＋1，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(多选)已知0＜a＜b＜1＜c，则 A.ac＞bc B.logac＞logbc C.alogac＞blogbc D.ac＞ba 对于A，因为c＞1，所以y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以ac＜bc，故A错误；对于B，由c＞1可知函数y＝logcx单调递增，又0＜a＜b＜1，故logca＜logcb＜0，所以，即logac＞logbc，故B正确；对于C，由题可知0＞logac＞logbc，0＜－logac＜－logbc，0＜a＜b＜1，故－alogac＜ －blogbc，即alogac＞blogbc，故C正确；对于D，函数y＝ax单调递减，y＝xa单调递增，0＜a＜b＜1＜c，故ac＜aa＜ba，故D错误.故选BC. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，则a，b，c从小到大的关系是___________. 由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k＜1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，由图可知：a＜c＜b. a＜c＜b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.已知a，b，c＝4，则 A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 先比较a和c的大小：π2，，因为2＜π，所以＜π2，所以a＞c.然后比较b和c的大小：因为b22π＜24＝42＝c2，所以b＜c，综上，b＜c＜a.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.已知a＝log32，b＝log64，c＝log96，则 A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.a＞c＞b 当a＞b＞0，m＞0时，有a－b＞0，则 ＞0，所以.所以，所以log32＜log64＜log96，即c＞b＞a.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(多选)(2024·江西萍乡二模)已知2a＝5b＝10，则下列关系正确的是 A.ea－b＞1 B.a＋b＜ab C.a＋4b＜9 D.＞8 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，对于A，a－b＞0，所以ea－b＞e0＝1，故A正确；对于B，a＋b－ab·0，所以a＋b＝ab，故B不正确；对于C，因为a，b＞0，lg 2＋lg 5＝1，所以a＋4b＋5≥2＋5＝9，而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a＋4b＞9，故C不正确；对于D，(lg 2＋1)2＋(lg 5＋2)2＝(lg 2＋1)2＋(1－lg 2＋2)2＝2lg 22－4lg 2＋10＝2(lg 2－1)2＋8＞8，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln 2.14，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞b＞a 构造函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，如图所示，当x∈(2，4)时， x2＞2x，所以f(2.1)＞g(2.1)，所以2.12＞22.1＞22＝4，即 b＞a，又因为ln 2.14＝4ln 2.1，且函数y＝ln x在(0，＋∞) 上单调递增，所以ln 2.1＜ln e＝1，即ln 2.14＝4ln 2.1＜ 4ln e＝4，故b＞a＞c.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2025·山东青岛模拟)已知正数a，b，c满足aea＝bln b＝ecln c＝1，则a，b，c的大小关系为 A.c＜a＜b B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.a＜c＜b √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 由aea＝bln b＝ecln c＝1，得ea－ln b－ln c－0，令函数f(x)＝ex－，x＞0，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f()－2＜0，f(1)＝e－1＞0，f(a)＝0，则＜a＜1；令函数g(x)＝ln x－，函数g(x)在(0， ＋∞)上单调递增，g(2)＝ln 2－＞0，而g()＝ln ＜ln ＜0， g(b)＝0，则＜b＜2；令h(x)＝ln x－，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)＝－＜0，h()＝ln ＞ln ln ln e－0，h(c)＝0，则1＜c＜，所以a，b，c的大小关系为a＜c＜b.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 指、对、幂的大小比较 $